докажите что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других что такое неравенство треугольника

Существующие треугольники

Определение

Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.

Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Теорема

Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:

Доказательство теоремы

Источник

Неравенство треугольника

Урок 22. Геометрия 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Неравенство треугольника»

Вспомним теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Воспользуемся этой теоремой при доказательстве неравенства треугольника.

Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Отложим на луче АС отрезок СЕ=ВС.

В треугольнике АВЕ угол ∠АВЕ>∠1, следовательно, ∠АВЕ>∠2.

А так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то АВ Оцените видеоурок

Источник

Содержание:

Неравенство треугольника:

Опыт нам подсказывает, что путь из точки А в точку С по прямой АС короче, чем по ломаной ABC (рис. 255), т. е. АС 12+21 (рис. 258).

Замечание. Из неравенств треугольника следует, что то есть любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Так, для стороны а справедливо

Пример:

Внутри треугольника ABC взята точка М (рис. 259). Доказать, что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника ABC.

Решение:

Так как у треугольников ABC и АМС сторона АС — общая, то достаточно доказать, что AM + МС B (рис. 108, а).

2) Отложим на стороне АВ отрезок АF, равный стороне AC (рис. 108, б).

3) Так как АF 1.

4) Угол 2 является внешним углом треугольника ВFС, следовательно, 2 > B.

5) Так как треугольник FАС является равнобедренным, то 1 = 2.

Таким образом, BСА > 1, 1 = 2 и 2 > B.

Отсюда получаем, что ВСА > B.

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

1) Пусть в треугольнике АBС С > B. Докажем, что АВ > АС (см. рис. 108, а). Доказательство проведем методом от противного.

2) Предположим, что это не так. Тогда: либо АВ = АС, либо АВ C.

В каждом из этих случаев получаем противоречие с условием: C > B. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, АВ > АС.

Из данной теоремы следует утверждение: в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.

Действительно, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Поскольку прямой угол больше острого, то по теореме 2 получаем, что гипотенуза больше катета.

Теорема 3 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны стороны, лежащие против этих углов. В самом деле, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то по теореме 1 угол, лежащий против этой стороны, будет больше угла, лежащего против другой стороны, что противоречит условию равенства углов.

Значит, наше предположение неверно и в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник является равнобедренным.

Неравенство треугольника

Докажем, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

Теорема 4. Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

1) Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, например, что выполняется неравенство АВ l, следовательно, верно неравенство АВF > 2.

4) Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 2), то АВ

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

П. 33) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

(по условию). Отсюда или х = 17,6.

Ответ:гипотенуза АС = 17,6см.

3.Через середину отрезка проведена прямая. Доказать, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

Дано: О – середина АВ, l – прямая, проходящая через О.

Доказательство: АА₁ l и ВВ₁ l. Рассмотрим прямоугольные треугольники АОА₁ и ВОВ₁. Они равны по гипотенузе и острому углу (АО = ОВ по условию, ∠1 =∠2, как вертикальные).

Следовательно, АА₁ = ВВ₁. Ч.т.д.

2. (п. 11) Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 2311 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемАркадий Бурмин

Похожие презентации

Презентация на тему: » Теорема Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.» — Транскрипт:

2 Упражнение 1 Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 13 см, 2 см, 8 см; б) 1 м, 0,5 м, 0,5 м? Ответ: а), б) Нет.

3 Упражнение 2 Могут ли стороны треугольника относится как: а) 1 : 2 : 3; б) 2 : 3 : 6; в) 1 : 1 : 2? Ответ: а), б), в) Нет.

4 Упражнение 3 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая 10 см. Какая из них является основанием? Ответ: 10 см.

5 Упражнение 4 Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 6 см и 3 см; б) 8 см и 2 см. Ответ: а) 6 см; б) 8 см.

6 Упражнение 5 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 12 см, а другая – 5 см. Найдите периметр данного треугольника. Ответ: 29 см.

7 Упражнение 6 Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Одна из сторон больше другой в два раза. Найдите длины сторон этого треугольника. Ответ: 4 см, 8 см, 8 см.

8 Упражнение 7 Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника. Ответ: 11 см, 7 см, 7 см.

9 Упражнение 8 В треугольнике ABC AC = 3,8 см, AB = 0,6 см. Длина стороны BC выражается целым числом. Найдите его. Ответ: 4 см.

AC. Вычитая из обеих частей этого» title=»Упражнение 9 Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон. Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. По доказанной теореме, выполняется неравенство AB+BC > AC. Вычитая из обеих частей этого» > 10 Упражнение 9 Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон. Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. По доказанной теореме, выполняется неравенство AB+BC > AC. Вычитая из обеих частей этого нера­венства ВС, получим неравенство АВ > АС – ВС, означающее, что сторона AB треугольника больше разности двух сторон AC и BC. AC. Вычитая из обеих частей этого»> AC. Вычитая из обеих частей этого нера­венства ВС, получим неравенство АВ > АС – ВС, означающее, что сторона AB треугольника больше разности двух сторон AC и BC.»> AC. Вычитая из обеих частей этого» title=»Упражнение 9 Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон. Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. По доказанной теореме, выполняется неравенство AB+BC > AC. Вычитая из обеих частей этого»>

11 Упражнение 10 В каких пределах может изменяться периметр P треугольника, если две его стороны равны a и b (a

12 Упражнение 11 Докажите, что каждая сторона треугольника меньше его полупериметра. Решение: Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В треугольнике ABC имеем: AB

13 Упражнение 12 Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра. Решение: Пусть в треугольнике ABC CD – медиана. Тогда CD

14 Упражнение 13 Докажите, что биссектриса треугольника меньше его полупериметра. Решение: Пусть в треугольнике ABC CD – биссектриса. Тогда CD

15 Упражнение 14 Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается. Решение: Пусть CC 1 – медиана треугольника ABC. Отложим на продолжении этой медианы отрезок C 1 D, равный CC 1. В четырехугольнике ACBD AD = BC. Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Тогда CD

Источник