если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника то такие
Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника то такие
Какие из следующих утверждений верны?
1) Диагонали ромба равны.
2) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
2) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
3) Сумма углов любого треугольника равна 360 
.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
2) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
3) Смежные углы равны.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
2) Все квадраты имеют равные площади.
3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2) В параллелограмме есть два равных угла.
3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Любые два равносторонних треугольника подобны.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Все диаметры окружности равны между собой.
Какие из следующих утверждений верны?
1) У любой трапеции боковые стороны равны.
2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
3) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
2) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
3) Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
2) Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
2) Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб.
3) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Через заданную точку плоскости можно провести единственную прямую.
2) Любые два равносторонних треугольника подобны.
3) Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
2) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Подготовка к ОГЭ. Задача № 20
Разделы: Математика
Цели: повторение и закрепление, практическое применение усвоенных теоретических знаний при решении заданий модуля геометрия, № 20.
Задачи:
Оборудование: мультимедийная установка, презентация.
Ход урока
Организационный момент
1. Актуализация знаний.
Краткие методические рекомендации
Задание 20 ОГЭ по математике заключается в выборе одного или нескольких верных утверждений из множества данных (в настоящее время — из трёх данных). В большинстве случаев правильный ответ на вопрос задачи связан со знанием простейших геометрических фактов и утверждений. Такие задачи позволяют организовать экспресс повторение большинства определений и теорем школьного курса геометрии с целью быстрой диагностики имеющихся пробелов в знания и последующего устранения этих пробелов. В качестве примеров рассмотрим чуть более сложные задания на выбор верных утверждений из шести данных.
Пример 1. Укажите в порядке возрастания без пробелов, запятых и прочих дополнительных символов номера верных утверждений.
1) Существует прямоугольник, диагонали которого различны.
2) В любом прямоугольнике диагонали равны.
3) Существует ромб, диагонали которого различны.
4) В любом ромбе диагонали равны.
5) Существует трапеция, диагонали которой различны.
6) В любой трапеции диагонали равны.
Решение: По свойству прямоугольника второе утверждение является верным, а первое—нет. Аналогично из оставшихся утверждений верными являются 3 и 5.
Ответ. 235.
Пример 2. Укажите в порядке возрастания без пробелов, запятых и прочих дополнительных символов номера верных утверждений.
1) Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого острые.
2) В любом выпуклом четырёхугольнике все углы острые.
3) Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого прямые.
4) В любом выпуклом четырёхугольнике все углы прямые.
5) Существует выпуклый четырёхугольник, все углы которого тупые.
6) В любом выпуклом четырёхугольнике все углы тупые.
Ответ. Первое утверждение не является верным, поскольку сумма любых четырёх острых углов меньше 360◦ — суммы углов выпуклого четырёхугольника. Второе утверждение не является верным, пример — квадрат. Третье утверждение является верным, пример — прямоугольник. Четвёртое утверждение не является верным, пример — трапеция. Пятое утверждение не является верным, поскольку сумма любых четырёх тупых углов больше 360◦ — суммы углов выпуклого четырёхугольника. По этой же причине не является верным и шестое утверждение.
Ответ. 3.
Формулировка темы и целей урока.
2. Закрепление знаний
Подготовительные задачи
1. Какие из следующих утверждений верны?
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
2. Какое из следующих утверждений верно?
2) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
3) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
3. Какое из следующих утверждений верно?
1) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
2) В параллелограмме есть два равных угла.
3) Боковые стороны любой трапеции равны.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
4. Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
2) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
3) Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
5. Какие из следующих утверждений верны?
1) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
2) Боковые стороны любой трапеции равны.
3) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
6. Какие из следующих утверждений верны?
1) Треугольника со сторонами 1 см, 2 см, 4 см не существует.
2) Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
3) Все диаметры окружности равны между собой.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
7. Какое из следующих утверждений верно?
1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2) В параллелограмме есть два равных угла.
3) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
8. Какие из следующих утверждений верны?
1) Любые два равносторонних треугольника подобны.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Все диаметры окружности равны между собой.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
9. Какие из следующих утверждений верны?
1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.
2) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
3) Все диаметры окружности равны между собой.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
10. Какое из следующих утверждений верно?
1) Любой параллелограмм можно вписать в окружность.
2) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
3. Зачетные задачи
1. Какие из следующих утверждений верны?
1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.
2) Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
2. Какое из следующих утверждений верно?
1) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
2) Все углы ромба равны.
3) Треугольник со сторонами 1, 2, 3 существует.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
3. Какое из следующих утверждений верно?
2) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
3) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
4. Какое из следующих утверждений верно?
1) Основания любой трапеции параллельны.
2) Диагонали ромба равны.
3) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
5. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
3) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
6. Какие из следующих утверждений верны?
1) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
2) Все углы прямоугольника равны.
3) Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
7. Какое из следующих утверждений верно?
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой.
2) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
3) Смежные углы всегда равны.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
8. Какое из следующих утверждений верно?
1) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
2) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
3) Смежные углы всегда равны.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
9. Какие из следующих утверждений верны?
1) В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла.
2) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
3) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
10. Какое из следующих утверждений верно?
1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
4. Домашнее задание: (ФИПИ, ОГЭ, модуль геометрия, стр 161-164).
Признаки равенства четырехугольников
При изучении признаков равенства треугольников в курсе геометрии 7 класса возникли вопросы: Существуют ли признаки равенства четырёхугольников? Если да, то по скольким элементам? Можно ли их сформулировать и доказать, опираясь на признаки равенства треугольников?
Цель: Сформулировать и доказать признаки равенства четырёхугольников.
Задачи: 1) Изучить литературу по данной теме.
2) Исследовать все различные комбинации наборов сторон и углов из четырёх элементов и, либо доказать признак, либо опро- вергнуть его, приведя контрпример.
3) Исследовать все случаи различных комбинаций из 5 элементов, сформулировать и доказать признак, либо опровергнуть.
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Два четырехугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
Существуют признаки равенства четырехугольников по четырем элементам.
2)ПО ТРЁМ УГЛАМ И СТОРОНЕ а)
3)ПО ДВУМ УГЛАМ И ДВУМ СТОРОНАМ а)
4) ПО УГЛУ И ТРЁМ СТОРОНАМ а) BC=BC1
5)ПО ЧЕТЫРЁМ СТОРОНАМ
ПРИЗНАКОВ РАВЕНСТВА ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ ПО ЧЕТЫРЁМ
ЭЛЕМЕНТАМ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Существуют признаки равенства четырёхугольников по пяти элементам.
Если четыре стороны и угол одного четырёхугольника соответственно равны четырём сторонам и углу другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
ABCD И A[]B[]C[]D[]- четырёхугольники. AB=A[]B[], BC= B[]C[], CD=C[]D[],
Если три стороны и два угла между ними одного четырёхугольника соответственно равны трём сторонам и двум углам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
Т. к. соответственные стороны и углы четырёхугольников равны, то они совместятся наложением, а значит- по определению равных
Если три стороны и два угла, не лежащие между ними, одного четырёхугольника соответственно равны трём сторонам и двум углам, не лежащим между ними, другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
Случай, где углы четырёхугольника тупые доказывается аналогично, достаточно перейти к смежным, соответственно равным углам.
Если два противолежащих угла и три стороны одного четырёхугольника соответственно равны двум противолежащим углам и трём сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
Если три угла и две стороны между ними одного четырёхугольника соответственно равны трём углам и двум сторонам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
Если три угла и две смежные стороны, одна из которых лежит между данными углами, одного четырёхугольника, соответственно равны трём углам и двум смежным сторонам, одна из которых лежит между двумя данными углами другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
По стороне и четырём углам
1) Эмпирические (изучение литературы, сбор сведений, сбор и обработка статистического материала)
2) Теоретические (сравнение и обобщение данных, составление таблиц)
3) Практические (построения с помощью циркуля и линейки, доказательства).
1) Изучение и исследование материала по теме.
2) Изучение проблемы.
3) Обработка материала и выработка практических рекомендаций.
1) Рассмотрев все различные наборы из четырёх элементов (сторон и углов) четырёхугольника, получили 12 случаев, к каждому из них с помощью циркуля и линейки привели контрпример, построив 2 неравных четырёхугольника по данным элементам.
2) Рассмотрев все различные наборы из 5 элементов четырёхугольника, получили 10 случаев, 7 из которых стали признаками равенства четырёхугольников, а к 3 случаям привели контрпример, построив неравные между собой четырёхугольники.
При изучении данной темы было установлено: существуют признаки равенства четырёхугольников по 5 элементам.
1. По 4 сторонам и углу: если четыре стороны и угол одного четырёхугольника соответственно равны четырем сторонам и углу другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
2. По 3 сторонам и 2 углам между ними: если три стороны и два угла между ними одного четырёхугольника соответственно равны трем сторонам и двум углам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
3. По 3 сторонам и 2 углам, не лежащим между ними: если три стороны и два угла, не лежащие между ними, одного четырёхугольника соответственно равны трем сторонам и двум углам, не лежащим между ними, другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
4. По 2 противолежащим углам и 3 сторонам: если два противолежащих угла и три стороны одного четырёхугольника соответственно равны двум противолежащим углам и трем сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
5. По 3 углам и 2 сторонам между ними: если три угла и две стороны между ними одного четырёхугольника соответственно равны трем углам и двум сторонам между ними другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
6. По 3 углам и 2 смежным сторонам, не лежащим между ними: если три угла и две смежные стороны, не лежащие между ними, одного четырёхугольника соответственно равны трем углам и двум смежным сторонам, не лежащим между ними, другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
7. По 3 углам и 2 смежным сторонам, одна из которых лежит между данными углами: если три угла и две смежные стороны, одна из которых лежит между данными углами, одного четырёхугольника соответственно равны трем углам и двум смежным сторонам, одна из которых лежит между данными углами другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
Была проделана работа по доказательству признаков равенства четырёхугольников. Для доказательства были использованы признаки равенства треугольников, определение равных фигур, геометрические построения с помощью циркуля и линейки.
В результате работы сформулировали и доказали 7 признаков по пяти элементам. Эти признаки могут быть полезны для тех, кто начинает изучать геометрию, учится сам формулировать и доказывать теоремы, а также в практической деятельности человека, например, при нахождении площадей.
Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника то такие
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.
3) Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны» — неверно; верным будет утверждение: «Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны».
2) «Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра» — верно, поскольку площадь круга равна 
, а 
.
3) «Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб» — неверно; верным являлось бы утверждение «Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то такой параллелограмм — ромб», но не любой четырёхугольник — параллелограмм.
Если стороны одного четырехугольника соответственно равны сторонам другого четырехугольника то такие
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.
3) Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны» — неверно; верным будет утверждение: «Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны».
2) «Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра» — верно, поскольку площадь круга равна , а .
3) «Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб» — неверно; верным являлось бы утверждение «Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то такой параллелограмм — ромб», но не любой четырёхугольник — параллелограмм.