если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника то такие треугольники

3 признак равенства треугольников

(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

Приложим треугольник A₁B₁C₁ к треугольнику ABC так, чтобы

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC₁ и угла ACB.

I. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.

Проведём отрезок CC₁.

По условию AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, поэтому треугольники ACC₁ и BCC₁ — равнобедренные с основанием CC₁.

Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC₁B.

Точки A₁ и A, B₁ и B совмещены, то есть ∠AC₁B и ∠A₁C₁B₁ — один и тот же угол.

Для треугольников ABC и A₁B₁C₁ имеем:

Следовательно, ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

II. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, треугольники ACC₁ и BCC₁ — равнобедренные с основанием CC₁ и ∠ACC₁=∠AC₁C и ∠BCC₁=∠BC₁C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

III. Луч CC₁ совпадает со стороной угла ACB.

По условию BC=B₁C₁, поэтому треугольник BCC₁ — равнобедренный с основанием CC₁.

Отсюда ∠C₁=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

Источник

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник