Как понять что число рациональное или иррациональное

Калькулятор определения рационального и иррационального числа

Используемые нами числа подразделяются на различные множества: натуральные, целые, рациональные, комплексные или действительные. Существует также особый пласт бесконечных непериодических чисел, которые составляют иррациональное множество. Определить категорию выбранного числа можно при помощи онлайн-калькулятора.

Рациональные числа

Также любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. К примеру, 0,6666… является рациональным, так как представляется в замкнутом виде в форме дроби 2/3, а также является бесконечным и периодичным. Число 0,25 легко записать в виде 1/4, а бесконечность и периодичность легко выразить при помощи нулей — 0,2500000.

Таким образом, любая обыкновенная дробь — рациональное число. Любое число, представленное в замкнутом виде, также рациональное. Однако существует целый спектр чисел, которые невозможно представить в виде дробного соотношения или периодической десятичной дроби.

Иррациональные числа

Иррациональное число — это элемент иррационального множества, которое невозможно представить в виде дроби m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Об иррациональности некоторых чисел знали с давних времен: античные геометры определили проблему несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, что соответствует иррациональности корня из 2. Кроме того, древние ученые впервые встретились с проблемой подсчета иррационального числа Пи, которое определяется как соотношение длины окружности к ее диаметру.

На протяжении веков предпринимались попытки представить Пи в замкнутом виде, например как 22/7 или 355/113, однако с течением времени математики определяли Пи все точнее и точнее. Сегодня при помощи мощных компьютеров найдено число Пи с точностью 10 триллионов цифр после запятой. Представить Пи в виде соотношения целых чисел или периодичной десятичной дроби невозможно.

К данному множеству относятся следующие элементы:

Также к иррациональному множеству относятся различные математические константы, такие как золотое и серебряное сечение, экспонента, постоянная Эйлера — Маскерони или постоянная Апери.

Свойства чисел

Арифметические операции с иррациональными числами могут приводить к разным результатам. Так, действия с рациональными и иррациональными числами всегда приводит к образованию новой иррациональности. Однако арифметические операции с двумя иррациональными элементами могут заканчиваться образованием рациональной дроби.

Например, числа 0,3003000300003 и 0,033033303333 иррациональны. Первое образуется по принципу, что после каждой тройки количество нулей постоянно увеличивается. Второе формируется по принципу увеличения количества троек после каждого нуля. Эти числа невозможно представить в виде обыкновенных дробей по отдельности, однако, если сложить их мы получим следующий результат:

0,3003000300003 + 0,033033303333 = 0,3333333333 = 1/3.

В сухом остатке бесконечная периодичная дробь, которую легко выразить в замкнутом виде.

Наш калькулятор позволяет определить тип числа, которое вы можете выразить в виде обыкновенной дроби или корня любой степени из произвольного числа. Программа мгновенно определит множество, к которому относится выбранный элемент. Давайте попробуем на практике.

Примеры использования калькулятора

Определим рациональность нескольких чисел. Калькулятор предлагает нам задать число в виде правильной дроби, которое по определению является рациональным числом. Поэтому определять иррациональность при помощи калькулятора целесообразно только для чисел, выраженных в виде корняn-ной степени. Определим рациональность для следующих выражений:

Очевидно, что в некоторых случаях корни могут быть рациональными, что верно для квадратных и кубических чисел.

Заключение

Математические объекты разделяются на разные классы. В повседневной жизни мы оперируем натуральными числами, то есть целыми и положительными числами, которые используем при счете. Рациональные числа используются при измерениях, а иррациональные практически не находят распространения в быту — область их применения лежит в высокой науке. При помощи нашего онлайн-калькулятора вы можете проверить принадлежность любого числа к определенному множеству.

Источник

Иррациональные числа

Определение иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби:

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры иррациональных чисел:

Множество иррациональных чисел договорились обозначать латинской буквой I.

Действительныеили вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Свойства иррациональных чисел

Какие числа являются иррациональными мы уже поняли, но это еще не все. Есть еще важная тема для изучения: их основные свойства.

Свойства иррациональных чисел:

Определение рациональных чисел

А теперь наоборот: рассмотрим противоположное заданной теме определение.

Рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или нуля. Если число можно получить делением двух целых чисел — это число точно рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде:

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства действий с рациональными числами

Источник

Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа

Содержание

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

Иррациональность числа

Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

Каждое из рациональных чисел можно представить в виде

,

где m – целое число, а n – натуральное число.

и т.п. являются примерами иррациональных чисел.

Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.

При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.

Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.

Иррациональность числа

Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида

,

и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.

Используя данное равенство, получаем:

Отсюда вытекает, что число n 2 является четным, а, значит, и число n является четным числом.

Итак, число m является четным, и число n является четным, значит, число 2 является общим делителем числителя и знаменателя дроби

.

Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению

не существует. Следовательно, число является иррациональным числом, что и требовалось доказать.

Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число

Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической десятичной дробью.

Последовательностью десятичных приближений числа с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.

Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.

Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:

Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.

Источник

Рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел

Понятие рационального числа

Примеры рациональных чисел:

Любое рациональное число представимо в виде конечной или периодической бесконечной десятичной дроби.

Алгоритм перевода десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь

Для смешанной периодической дроби – в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде и справа дописать столько нулей, сколько цифр в дробной части до периода.

Шаг 3. Если необходимо, сократить полученную дробь

Чистые периодические дроби:

Смешанные периодические дроби:

Иррациональные числа

Примеры иррациональных чисел:

Множество иррациональных чисел не замкнуто относительно операции сложения.

Мера иррациональности действительного числа a – действительное число μ, которое показывает, насколько хорошо число a может быть приближено рациональными числами.

$μ(a) = 1 \iff a$ – рациональное число

Для многих трансцендентных чисел мера иррациональности неизвестна, есть только верхняя оценка.

Алгебраические и трансцендентные числа

Если действительное число является корнем уравнения вида

Алгебраические числа бывают рациональными и иррациональными.

Примеры трансцендентных чисел:$ π,2^<\sqrt2>, sin10^0, e^4$

Все трансцендентные числа иррациональны.

Т.е., трансцендентных чисел «больше», чем алгебраических. Их слишком много, чтобы можно было представить в виде последовательности.

Структура множества действительных чисел

Из-за несовпадения подмножеств, структуру множества действительных чисел можно представить двумя равносильными схемами:

Множество действительных чисел несчётно.

Множество действительных чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления (исключая деление на 0).

В алгебре говорят, что действительные числа образуют непрерывное упорядоченное поле.

Примеры

Пример 1. Найдите рациональные дроби, равные данным бесконечным периодическим десятичным дробям:

Источник

math4school.ru

Рациональные и иррациональные числа

Немного теории

Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Любое рациональное число представимо в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.

Если действительное число не является рациональным, то оно иррациональное число. Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа бесконечны и не периодичны. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I.

Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена (ненулевой степени) с рациональными коэффициентами. Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.

Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел Q и множество натуральных чисел N эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (все элементы множества рациональных чисел можно перенумеровать).

Множество Q рациональных чисел является замкнутым относительно сложения, вычитания, умножения и деления, то есть сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными числами.

Все рациональные числа являются алгебраическими (обратное утверждение – неверное).

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число (а значит, и бесконечное множество иррациональных чисел).

Множество иррациональных чисел несчётно.

При решении задач бывает удобно вместе с иррациональным числом a + b √ c (где a, b – рациональные числа, с – целое, не являющееся квадратом натурального числа) рассмотреть «сопряжённое» с ним число a – b √ c : его сумма и произведение с исходным – рациональные числа. Так что a + b √ c и a – b √ c являются корнями квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Задачи с решениями

Итак, предположение ложно, значит, число √ 7 иррациональное.

Итак, предположение ложно, значит, число lg 80 иррациональное.

в) Обозначим данное число через х.

Тогда (х – √ 2 ) 3 = 3, или х 3 + 6х – 3 = √ 2· (3х 2 + 2). После возведения этого уравнения в квадрат получаем, что х должен удовлетворять уравнению

х 6 – 6х 4 – 6х 3 + 12х 2 – 36х + 1 = 0.

Его рациональными корнями могут быть только числа 1 и –1. Проверка же показывает, что 1 и –1 не являются корнями.

Итак, данное число √ 2 + 3 √ 3 является иррациональным.

( √ a – √ b )·( √ a + √ b ) = a – b.

½ ( √ a + √ b ) + ½ ( √ a – √ b ) = √ a

– число рациональное, их разность,

тоже рациональное число, что и требовалось доказать.

3. Докажите, что существуют положительные иррациональные числа a и b, для которых число a b является натуральным.

4. Существуют ли рациональные числа a, b, c, d, удовлетворяющие равенству

где n – натуральное число?

Если выполнено равенство, данное в условии, а числа a, b, c, d – рациональные, то выполнено и равенство:

Но 5 – 4 √ 2 (a – b √ 2 ) 2n + (c – d √ 2 ) 2n > 0. Полученное противоречие доказывает то, что исходное равенство невозможно.

Ответ: не существуют.

Если отрезки с длинами a, b, c образуют треугольник, то неравенство треугольника даёт

Остальные случаи проверки неравенства треугольника рассматриваются аналогично, откуда и следует заключение.

6. Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314. (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

8. Доказать, что в каждой бесконечной десятичной дроби существует последовательность десятичных знаков произвольной длины, которая в разложении дроби встречается бесконечно много раз.

9. Докажите элементарным путём, что положительный корень уравнения

Для х > 0 левая часть уравнения возрастает с возрастанием х, и легко заметить, что при х = 1,5 она меньше 10, а при х = 1,6 – больше 10. Поэтому единственный положительный корень уравнения лежит внутри интервала (1,5; 1,6).

Запишем корень как несократимую дробь p/q, где p и q – некоторые взаимно простые натуральные числа. Тогда при х = p/q уравнение примет следующий вид:

откуда следует, что р – делитель 10, следовательно, р равно одному из чисел 1, 2, 5, 10. Однако выписывая дроби с числителями 1, 2, 5, 10, сразу же замечаем, что ни одна из них не попадает внутрь интервала (1,5; 1,6).

Итак, положительный корень исходного уравнения не может быть представлен в виде обыкновенной дроби, а значит является иррациональным числом.

10. а) Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?

б) Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

а) Да, существуют. Пусть C – середина отрезка AB. Тогда XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2 )/2. Если число AB 2 иррационально, то числа XA, XB и XC не могут одновременно быть рациональными.

б) Пусть (a₁; b₁), (a₂; b₂) и (a₃; b₃) – координаты вершин треугольника. Координаты центра его описанной окружности задаются системой уравнений:

Легко проверить, что эти уравнения линейные, а значит, решение рассматриваемой системы уравнений рационально.

в) Такая сфера существует. Например, сфера с уравнением

(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Точка O с координатами (0; 0; 0) – рациональная точка, лежащая на этой сфере. Остальные точки сферы иррациональные. Докажем это.

Допустим противное: пусть (x; y; z) – рациональная точка сферы, отличная от точки O. Понятно, что х отличен от 0, так как при x = 0 имеется единственное решение (0; 0; 0), которое нас сейчас не интересует. Раскроем скобки и выразим √ 2 :

x 2 – 2 √ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2 )/(2x),

Задачи без решений

1. Докажите, что число

3. Существует ли такое число а, чтобы числа а – √ 3 и 1/а + √ 3 были целыми?

5. Докажите, что при любом натуральном n уравнение (х + у √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 не имеет решений в рациональных числах (х; у).

Источник