Какая пирамида называется правильной что такое ось правильной пирамиды

Какая пирамида называется правильной что такое ось правильной пирамиды

Ключевые слова: пирамида, многогранник, правильная пирамида, грань, объем, боковая поверхность

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, – многоугольник,
а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Грани, отличные от основания, называются боковыми.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает ее на подобную пирамиду и усеченную пирамиду.

Если все боковые ребра равны, то

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то

См. также:
Усеченная пирамида

Источник

Геометрические фигуры. Правильная пирамида.

В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.

Правильная пирамида обладает следующими свойствами:

Формулы для правильной пирамиды.

Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:

Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:

где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),

n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),

h — высота правильной пирамиды (OS).

Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.

Правильная треугольная пирамида.

Формулы для правильной треугольной пирамиды.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.

Источник

Какая пирамида называется правильной: подробный ответ и примеры

Знание определений различных объектов в геометрии является ключом к правильному и успешному решению многих задач. Данную статью посвятим ответу на вопросы, что такое пирамида с геометрической точки зрения и какая пирамида называется правильной.

Фигура пирамида

Услышав название этой пространственной фигуры, многие люди вспоминают о великой пирамиде Хеопса. Действительно, она относится к рассматриваемому классу геометрических объектов. Тем не менее, понятие пирамиды является более широким. В геометрии под ней полагают объемный объект, который является многогранником и состоит из одного n-угольника произвольного типа и n-треугольников, пересекающихся в одной точке. Эта точка является вершиной пирамиды.

Вам будет интересно: Интеграция дополнительного образования и общего образования: виды, механизм, условия

Чтобы построить рассматриваемую фигуру, достаточно взять n-угольник на плоскости и соединить все его вершины с выбранной в пространстве единственной точкой. Несложно догадаться, что эта точка будет вершиной пирамиды, n-угольник будет ее основанием, а получившиеся треугольники образуют поверхность боковую. Рисунок ниже демонстрирует четырехугольную пирамиду.

Виды пирамиды

Прежде чем давать определение, какая пирамида называется правильной, рассмотрим возможные виды этой фигуры.

В зависимости от того, сколько сторон (углов) имеет основание пирамиды, различают треугольные, четырехугольные и другие n-угольные фигуры. Скажем сразу, что каждая из них может быть как правильной, так и неправильной.

Важным классификационным делением пирамид является относительное положение их вершины и основания. Если перпендикуляр, который соединяет основание с вершиной, проходит точно через центр n-угольника, то такая фигура будет прямой пирамидой, а длина перпендикуляра является ее высотой. Если же перпендикуляр основание пересекает не в его геометрическом центре, то говорят о наклонной фигуре.

Существует еще один тип классификации пирамид, знание которого является ключом к ответу на вопрос, какая пирамида правильной называется. Речь идет о типе многоугольного основания. Оно может быть правильным и неправильным. Рассмотрим этот вопрос далее в статье.

Многоугольники правильные и неправильные

В планиметрии правильным называют плоский выпуклый многоугольник, все стороны которого друг другу равны и все углы являются одинаковыми. Если хотя бы одно из названных условий не выполняется, то многоугольник уже полагают неправильным.

Какая пирамида называется правильной?

Выше мы рассмотрели ряд вопросов, которые призваны были подготовить вас к пониманию ответа на главный вопрос статьи. Итак, когда просят: «Объясните, какая пирамида называется правильной», следует ответить, что это такая пирамида, у которой основание представляет собой многоугольник правильный, а сама фигура является прямой.

Согласно данному определению можно выделить два критерия правильности пирамиды:

Если зафиксировать число сторон у многоугольника, то с его помощью можно построить бесконечное количество пирамид, изменяя при этом их высоту. Наоборот, зафиксировав высоту, можно построить бесконечное число пирамид правильных, увеличивая количество сторон основания. Заметим, что если число этих сторон будет приближаться к бесконечности, то сама пирамида преобразится в прямой круговой конус.

Самая известная правильная пирамида

Конечно же, это упомянутый в начале статьи каменный гигант в египетской Гизе. Пирамида Хеопса в геометрии называется правильной четырехугольной. Основанием ее является квадрат, сторона которого равна 230,363 метра. Высота сооружения изначально составляла 146,50 метров (в настоящее время 136,86 метров). Пирамида Хеопса состоит из четырех боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками с длинами боковых ребер около 213 метров. Сооружение покрывает площадь в 53 000 квадратных метров, то есть 5,3 гектара.

Точность механической обработки многотонных каменных блоков, из которых сделано сооружение, а также точность их подгонки друг к другу до сих пор не находят объяснения в современной науке.

Источник

Объем пирамиды (ЕГЭ 2022)

В этой статье вы поймете что такое пирамида и какими они бывают.

Вы научитесь вычислять объем пирамиды, высоту и другие ее параметры.

Вы научитесь решать задачу на доказательство (ЕГЭ №14) и записывать доказательства так, чтобы не сняли баллы на ЕГЭ.

Объем пирамиды — коротко о главном

Определение пирамиды:

Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Треугольники, в которые «сливаются» эти отрезки, называются боковыми гранями, а отрезки, проведённые к вершинам основания — это боковые ребра.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

Объем пирамиды:

Что такое пирамида

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания.

Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Высота пирамиды

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты.

Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды.

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида

Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов?

Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно.

А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная правильная пирамида

В основании – правильный шестиугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в центр основания.

Четырехугольная правильная пирамида

В основании – квадрат, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная правильная пирамида

В основании – правильный треугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Очень важные свойства правильной пирамиды

В правильной пирамиде:

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды

Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac<1><3>\)?

Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac<1><3>\), а у цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle <_<осн>>\) и \( \displaystyle H\).

\( \displaystyle <_<осн>>\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

Вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac<1><2>ab\cdot \sin \gamma \)

У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» — это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60<>^\circ =\frac<\sqrt<3>><2>\)

Теперь найдем \( \displaystyle H\).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOC\)

Чему же равно \( \displaystyle OC\)?

Это радиус описанной окружности в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамида правильная и, значит, \( \displaystyle O\) — центр \( \displaystyle \Delta ABC\)

Найдем \( \displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

\( \displaystyle OC=\frac<2><3>CK\), так как \( \displaystyle O\) — точка пересечения и медиан тоже.

\( \displaystyle C<^<2>>=A<^<2>>-A<^<2>>\) (теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta ACK\))

Подставим \( \displaystyle OC\) в формулу для \( \displaystyle H\).

И подставим все в формулу объема:

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

Здесь \( \displaystyle <_>\) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle <_>=<^<2>>\).

Найдем \( \displaystyle H\). По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOD\)

Известно ли нам \( \displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:

Подставляем \( \displaystyle OD\) в формулу для \( \displaystyle H\):

А теперь и \( \displaystyle H\) и \( \displaystyle <_>\) подставляем в формулу объема.

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).

Как найти \( \displaystyle <_>\)? Смотри, шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем \( \displaystyle H\) (это \( \displaystyle SO\)).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOE\)

Но чему же равно \( \displaystyle OE\)? Это просто \( \displaystyle a\), потому что \( \displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020

В этом видео мы разобрали следующие вопросы:

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

А теперь попробуй ты!

Мы рассказали тебе все о пирамидах. Не о тех, что строили инопланетяне и рептилоиды, но все же… Сделали это не хуже всяких конспирологических каналов!

Теперь ты можешь быть уверен, что у тебя есть хорошая база для решения большинства задач стереометрии. И ты не зайдешь в тупик прямо со слов «В правильном тетрадэдре PABCD…»

А теперь слово тебе. Расскажи нам, понравилась ли тебе статья? Были ли трудности?

Напиши нам ниже в комментариях!

А еще можешь задавать любые вопросы. Мы читаем все и обязательно ответим.

Источник

Пирамида

:cut Узнать, как это доказывается

Для решения задания 8 эту формулу помнить не нужно, а вот для задания 14 она может пригодиться.

Во многих задачах требуется найти площадь полной или боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность складывается из поверхностей боковых граней. Полная поверхность состоит из боковой поверхности и основания пирамиды.

Поскольку боковые грани пирамиды — это треугольники, то площадь боковой грани равна половине произведения основания этой грани на высоту этой грани.

Далее мы рассмотрим особый случай пирамиды — правильную пирамиду.

Правильная пирамида

Воспользуйтесь этой формулой, чтобы решить следующие две задачи:

У некоторых многогранников (не у всех) существует вписанная или описанная сфера.

Вписанная сфера — это сфера, которая касается всех граней многогранника. Описанная сфера — сфера, на которой лежат все вершины многогранника.

Проверьте свою пространственную интуицию, ответив на следующий вопрос:

Отметьте все свойства, которые обязательно должны быть выполнены в правильной пирамиде. То есть свойства, которые следуют из определения пирамиды:

Все боковые ребра пирамиды равны друг другу;

Все боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания;

Все ребра пирамиды равны друг другу;

Боковые грани являются равными треугольниками;

Боковые грани являются равнобедренными треугольниками;

Боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания;

Боковые грани являются правильными треугольниками;

В правильную пирамиду можно вписать сферу;

Вокруг правильной пирамиды можно описать сферу.

:cut Узнать доказательства некоторых свойств

Остальные свойства можете попробовать доказать самостоятельно. Для того, чтобы доказать, что боковые грани одинаково наклоненые к плоскости основания и что ребра одинаково наклонены к плоскости основания, нужно знать, что такое угол между плоскостями и угол между прямой и плоскостью. Об этом рассказывается в уроке Основные теоремы стереометрии

Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.

Площадь поверхности, объем, высоту и другие элементы правильного тетраэдра можно найти, если знать, чему равно ребро правильного тетраэдра. Зная только лишь длину одного ребра правильного тетраэдра, мы знаем о нем все.

Для правильного тетраэдра выполняются следующие свойства:

Заучивать все формулы без разбора — это довольно бесполезное занятие. Формулы, записанные выше, используются не так часто, и при этом их можно легко вывести из основных формул.

Например, площадь поверхности правильного тетраэдра можно найти, если умножить площадь равностороннего треугольника со стороной a a a на число граней тетраэдра: 4 ⋅ 3 4 a 2 4\cdot \frac<\sqrt<3>> <4>a^2 4 ⋅ 4 3

В стереометрии важно понимать, как связаны друг с другом различные элементы тел, и помнить основные формулы планиметрии, такие как формула площади треугольника и параллелограмма. Выучите самые основные формулы стереометрии, такие как формула объема пирамиды и призмы, и научитесь выводить все остальные формулы.

Очень часто ключом к решению является первый шаг, который позволит свести задачу по стереометрии к планиметрии.

Рассмотреть сечение, проходящее через высоту и боковое ребро пирамиды

Выразить высоту, используя формулу площади грани

Применить теорему Пифагора к треугольнику в основании пирамиды

:cut Узнать, как вывести остальные формулы

Задачи для самостоятельного решения: #пирамида

Источник