Какие свойства действий позволяют утверждать что тождественно равны
Тождество. Тождественные преобразования выражений
Тождество. Тождественные преобразования выражений
переместительный закон сложения
сочетательный закон сложения
переместительный закон умножения
распределительный закон сложения относительно умножения
Тождество. Тождественные преобразования выражений
переместительный и сочетательный законы умножения
переместительные законы сложения и умножения
сочетательный закон умножения и распределительный закон сложения относительно умножения
Тождество. Тождественные преобразования выражений
при 
≠ 0
при ≠ –1
при ≠ 1
5. Тождества. Тождественные преобразования выражений
Найдём значения выражений 3(х + у) и Зх + Зу при х = 5, у = 4:
3(х + y) = 3(5 + 4) = 3 • 9 = 27,
3x + Зу = 3 • 5 + 3 • 4 = 15 + 12 = 27.
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х + у) и 3x + 3у равны.
Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При х = 1, у = 2 они принимают равные значения:
2х + у = 2 • 1 + 2 = 4,
2ху = 2 • 1 • 2 = 4.
Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, у = 4, то
2х + у = 2 • 3 + 4 = 10,
2ху = 2 • 3 • 4 = 24.
Определение. Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Выражения 3(х + у) и Зх + Зу являются тождественно равными, а выражения 2х + у и 2ху не являются тождественно равными.
верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.
Определение.Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством*.
Тождествами считают и верные числовые равенства.
С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:
а + b = b + а, (а + b) + с = а + (b + с),
ab = ba, (аb)с = а(bс),
а(b + с) = аЬ + ас.
Можно привести и другие примеры тождеств:
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным, преобразова нием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач.
Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:
чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;
если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме
Решение: Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:
Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Пример 2. Раскроем скобки в выражении
Решение: Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»:
Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Решение: Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:
Применив указанные свойства действий, получим
а) У Игоря 3 альбома с марками. В первом альбоме а марок, во втором — на 15 марок больше, чем в нервом, а в третьем — втрое больше, чем во втором. Сколько марок в трёх альбомах?
Ответ запишите в виде неравенства.
Контрольные вопросы и задания
*В дальнейшем понятия «тождественно равные выражения» и «тождество» будут уточнены.