Какова вероятность что они встретятся

Примеры решённых задач

Пример 1. (Задача о встрече.)

Два человека договорились о встрече между 9 и 10 часами утра. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего уходит (если не встретились). Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый наудачу выбирает момент своего прихода.

(в качестве единиц масштаба возьмем минуты), которые на плоскости Оху определяют квадрат со стороной, равной 60. Точки этого квадрата изображают время встречающихся (смотри рисунок).

определяет область, заштрихованную на рисунке, т. е. точки полосы есть исходы, благоприятствующие встрече.

Найдём площадь всей фигуры: т.к. это квадрат, то площадь соответственно будет равна |G|= 60 2 =3600. Площадь заштрихованной фигуры равна разности всей фигуры и двух незаштрихованных прямоугольных треугольника:

По формуле для геометрического определения вероятности, получим:

Решение: Рассмотрим событие: A – брошенная на отрезок [0;1] точка, попала в промежуток [0,4;0,7]. Очевидно, что общее число исходов выражается длиной большего отрезка: G =1-0=1 ед., а благоприятствующие событию A исходы – длиной вложенного отрезка: D =0,7-0,4=0,3 ед. По геометрическому определению вероятности:

Источник

Теория вероятностей, формулы и примеры

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы — приглашаем на вводный урок!

Сложение и умножение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂. A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

По теореме умножения вероятностей:

Аналогично, для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

P₁₀₀₀(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Кроме того, пусть P_n(k₁;k₂) — вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Источник

Аж дух захватывает — 12 фактов о вероятности, доказывающих, что математика невероятно интересна!

Один французский рыцарь, де Мере, был страстным игроком в кости. Он всячески старался разбогатеть и придумывал для этого разные усложненные правила. Он, в частности, придумал такие правила: бросают 4 кости и он бьется об заклад, что хотя бы на одной выпадет 6. Он считал, что в большей части случаев он останется в выигрыше. Чтобы подтвердить это, он обратился к своему старому знакомому – Блезу Паскалю с просьбой рассчитать, какова вероятность выигрыша в этой игре.

Людмила Коваленко

Задача о встрече. Два студента обедают в одном кафе, которое открыто с 12 до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи? —

Почему мы много листаем, но мало читаем

Случайная встреча в Нью-Йорке двух голливудских звезд — Джессики Альбы и Дианы Крюгер — ProBomond.RU — Новости шоу бизнеса и светские новости

Какова вероятность случайно встретиться с человеком в многомиллионном городе? Как оказывается вполне большая, если люди одинакового круга общения и достатка, что доказывает пример Джессики Альбы и Дианы Крюгер. Две звезды встретились в Большом яблоке совершено случайно, когда Диана покидала свой отель, а Джессика после похода по магазинам в него возвращалась.

Когнитивные искажения в образовании

Сообщение об ошибке успешно отправлено, благодарим вас за помощь!

– Oбразование как Стиль Жизни

Теория-вероятностей / Задача о встрече / Математика

291183 2010-01-06 18:16:10 K.Stemmler инженеру Андрееву — Yuli: Вероятность того, что вам случайно встретится человек, день рождения которого совпадает с вашим равна 1/365 х 1/365 = 0,00001. —————————————————— K.Stemmler: Вероятность встретить человека, родившегося в определенный день, составляет 1/365=0,003. При условии, что все дни рождения равновероятны, а дней в году 365.

Присылайте свои колонки
и предложения

У вас есть интересная новость или материал из сферы образования или популярной науки?
Расскажите нам!

© 2014-2019 Newtonew. 12+

Просветительский медиа-проект об образовании, посвящённый самым актуальным и полезным концепциям, теориям и методикам, технологиям и исследованиям, продуктам и сервисам. Мы говорим о том, как развиваются и изменяются образование и наука.
Копирование материалов возможно только с разрешения редакции Newtonew.

Мы используем файлы cookie для улучшения пользовательского опыта. Подробнее вы можете посмотреть в нашем пользовательском соглашении.

Какова вероятность встретить бывшего в мегаполисе?

Авторизация на сайте

Вход через соц.сети:

Как вычислить вероятность

4 части:Подсчет вероятности наступления единичного случайного событияВычисление вероятности множества случайных событийКак перевести шансы в вероятностьПравила подсчета вероятностей Вероятность – это мера, выражающая то, насколько возможно данное событие по отношению к другим исходам. Вычисление вероятности дает вам возможность логически оценивать и анализировать события, даже если в задаче есть большая мера неопределенности. Прочтите данную статью, и вы научитесь математически вычислять вероятность.

Пароль выслан

Мы выслали ваш пароль для входа в систему на указанный email.

Вход через соц.сети:

Задача о встрече. Два студента обедают в одном кафе, которое…

Задача 1: В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга? Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е.

Подтвердите регистрацию

Вход через соц.сети:

Еще по теме 4.Геометрическая вероятность. Задача о встрече

Иллюстрируя, насколько драгоценен каждый человек, Мэл Роббинс объяснил на конференции Ted Talk в 2011 г., что вероятность появления на свет конкретного отдельно взятого человека — 1 к 400 триллионам. Д-р Али Банизир был на Ted Talk и после этого решил сделать собственные подсчёты. Д-р Биназир — автор и консультант по личностному росту. Он обучался в Гарварде, получил степень по медицине в Калифорнийском университете и изучал философию в Кембридже.

Регистрация подтверждена

Вы успешно зарегистрировались

Какова вероятность случайной встречи в многомиллионном…

Данное приложение позволяет разместить в Вашем блоге или профиле блок, содержащий записи о 5 Ваших друзьях. Содержание подписи может быть любым — от признания в любви, до СтенаСтена: мини-гостевая книга, позволяет посетителям Вашего дневника оставлять Вам сообщения.

Какова Вероятность Случайной Встречи В Многомиллионном…

Решение задачи на геометрическое определение вероятности…

Классическое определение вероятности применимо лишь тогда, когда число всех равновозможных исходов конечно. Однако иногда удается и для бесконечного числа возможных событий использовать принцип «равновозможности», т.е. выделить такую характеристику допустимых случайных событий, которая указывала бы на одинаковые шансы произойти в одном и том же испытании.

Аж дух захватывает: 12 фактов о вероятности, доказывающих, что математика невероятно интересна!

1. Вероятность того, что при игре в «орлянку» монетка встанет на ребро, не так мала, как может показаться. Например, если вы совершите миллион бросков, то это случится около 150 раз, то есть в среднем 1 раз в 2 дня если вы будете кидать целый год по 8 часов в день.

Какова вероятность встретить одного человека случайно…

1 Тут надо считать. Себя одного любимого разделить на (количество миллионов населения города плюс гости). Потом эту вероятность разделить на площадь города. И если вы приезжий, то еще стоит учесть удаленность от вашего города/поселка. Думаю, цифра получится не очень большая, скорее микроскопическая. Но тем не менее, живя в трехстах километрах от Москвы, несколько раз встречался со своими земляками в столице (как с приезжающими, так и постоянно там работающими). Значит, чудеса все же существуют.

Вероятность случайной встречи равна судьбе. Обсуждение на…

Источник

Теннисный турнир. Определить вероятность встречи участников в очном поединке

подскажите, пожалуйста, как решать/ с чего начать задачу:

Теннисный турнир по олимпийской схеме, среди равных по силе участниц (шансы на победу в каждой встрече равны), слуйчайно распределенных по турнирной сетке, есть две сестры Вильямс. С какой вероятностью они встретятся в очном поединке?

Шахматный турнир. Сформировать файл фамилий участников и файл результатов
Помогите исправить ошибки. Задание: В шахматном турнире участвуют 10 шахматистов. Сформировать.

Найти вероятность встречи
ДОбрый день, подскажите пожалуйста туплю что то я, вот задача казалось бы стандартная найти.

Записи с вариантами: Определить список студентов, пересдавших задолженность, учащихся на очном отделении
Имя входного файла: z1211.in Имя выходного файла:z1211.out Во время сессии несколько студентов не.

Пойдём с обратной стороны, от финала.

Пусть n=1. Тогда всего две участницы, сестрички встретятся сразу в финале с вероятностью 1. P(1)=1.

Пусть n=2. Тогда в финал обе сестрички пробьются с вероятностью 0,25, с вероятностью 0,75 хотя бы одна не пробьётся, но при этом с вероятностью 1/3 они встретятся в первом круге. P(2) = P(1)/4 + [1-P(1)/4]/3 = 1/4 + 1/4 = 1/2.

Пусть n=3. Тогда в полуфинал обе сестрички пробьются с вероятностью 0,25, с вероятностью 0,75 хотя бы одна не пробьётся, но при этом с вероятностью 1/7 они встретятся в первом круге. P(3) = P(2)/4 + [1-P(2)/4]/7 = 1/8 + 1/8 = 1/4.

При n=4: P(4) = P(3)/4 + [1-P(3)/4]/15 = 1/16 + 1/16 = 1/8.

Ну, короче вы поняли.

Я не очень понял как выводится эта формула:
P(1)/4 + [1-P(1)/4]/3

И как для n = 2 получилось значение 0.75?

В условии сестры должны встретиться в очном поединке. А про финал я написал к фразе:

Сначала берём турнир с двумя участниками (n=1). Выясняем, что сестрички в нём встретятся стопудово, так как больше не с кем. То есть P(1)=1.

Далее берём турнир с четырьмя участниками (n=2). Эта та же самая задача, только немного расширенная. Здесь к финалу прибавляется ещё две игры в первом круге. Возможны следующие варианты:

а) Сестрички встретятся в первом круге — p1 = 1/3.

б) Сестрички не встретятся в первом круге (p2 = 2/3), но обе выиграют свои матчи и выйдут в финал (p3 = 1/4), где встретятся с вероятностью P(1).

Итого вероятность встречи P(2) = p1 + p2*p3*P(1) = 1/3 + (2/3)(1/4)P(1) =(1+2*P(1)/4)/3 = 0,5

Аналогично, случай n=3 — это случай для n=2, к которому прибавляется первый круг из 4 встреч. Возможны следующие варианты:

а) Сестрички встретятся в первом круге — p1 = 1/7.

б) Сестрички не встретятся в первом круге (p2 = 6/7), но обе выиграют свои матчи и выйдут в турнир n=2 (p3 = 1/4), где встретятся с вероятностью P(2).

Итого вероятность встречи P(3) = p1 + p2*p3*P(1) = 1/7 + (6/7)(1/4)P(2) =(1+6*P(2)/4)/7 = 0,25

что совпадает с формулой, про которую вы спрашиваете.

Источник