Пьер ферма обнаружил что всякое натуральное число есть

Известный на весь мир математик Пьер де Ферма родился во Франции 17 августа 1601 года. Долгое время его родным городом считалась Тулуза, тем не менее, найденные записи о его крещении свидетельствуют в пользу небольшого городка Бомон-де-Ломань. Доминик Ферма – отец мальчика – занимал высокий пост помощника мэра, был зажиточным торговцем и уважаемым человеком в городе. Мать звали Клер де Лонг, она преподавала математику. Кроме Пьера в семье Ферма было еще трое детей: один мальчик и две девочки.

С ранних лет отец уделял особое внимание образованию сына и никогда не жалел на него средств. В родном городе Ферма закончил колледж, где проявил себя, как талантливый филолог и полиглот. Еще будучи юношей, Пьер говорил на латинском, испанском, итальянском и греческом языках. Знание последнего не раз приводило к нему почитателей античности – Ферма блестяще переводил и комментировал труды древнегреческих писателей.

Несмотря на завидные перспективы, Пьер предпочитает филологии юриспруденцию. В 1630 году он оканчивает университет в Орлеане и получает степень бакалавра. Во время обучения к нему в руки попадает труд греческого математика Паппа, в котором говорилось о конических сечениях и их свойствах. На тот момент Ферма вовсе не интересовался математикой, тем не менее, попытался восстановить ход мыслей ученого. В итоге он не только понял суть изложенного материала, но и сформулировал новый уникальный алгоритм для нахождения максимума и минимума функции. Полученный результат до сих пор считается одним из основных понятий в дифференциальных уравнениях.

Ферма начинает интересоваться и другими математиками Древней Греции. Так «Арифметика» Диофанта Александрийского надолго становится его настольной книгой. Многие свои гениальные открытия ученый оставил именно на ее полях, в качестве заметок и комментариев к размышлениям Диофанта. Здесь же и была обнаружена знаменитая Великая теорема Ферма. По словам самого ученого, он не стал записывать доказательство, поскольку на полях для него слишком мало места. Было ли оно правильным доподлинно не известно, тем не менее, доказательство Эндри Уайлса (1994 год) заняло 129 страниц.

Спустя год после окончания университета Ферма направляется в Тулузу. Здесь он занимает должность королевского советника в Парламенте и становится членом высшего суда. Впрочем, многие утверждают, что высокий пост Пьер не получил, а выкупил. Тем не менее, к своей работе он относится в высшей мере ответственно и добросовестно, и по праву считается одним из лучших юристов того времени.

В тот же 1631 год случается еще одно важное событие в жизни ученого – он берет в жены Луизу де Лонг – дальнюю родственницу своей матери. За время совместной жизни Луиза родила ему пятерых детей: трех сыновей и двух дочек.

С 1636 года Ферма начинает активную переписку с известными учеными того времени. Свое первое письмо он адресовал французскому математику и богослову Марену Мерсенну, в котором просил рассказать обо всех трактатах и книгах по математике, выпущенных за последние годы. Кроме того, ученый делился своими идеями и новыми аналитическими методами.

Мерсенн заинтересовался исследованиями Ферма и включил его в свой элитный клуб математиков. Кроме него там были Декарт, Дезарг, Робервиль, Паскаль, Арди и пр. Пьер ведет научную переписку почти со всеми членами кружка. Впоследствии именно эти письма и станут основным наследием ученого, который так и не напечатает при жизни ни одного своего выдающегося труда.

Тем временем, Ферма достаточно быстро продвигается по карьерной лестнице, и в 1648 году он уже член Палаты эдиктов в Кастре. Такая высокая должность свидетельствует о знатности ученого, и он становится Пьером де Ферма, с гордой приставкой de перед фамилией.

Здесь же, в Кастре, отправившись на очередную выездную сессию суда, Ферма неожиданно умирает. Это произошло в 1665 году, когда ученому было всего 64 года. Донести до потомков его великие труды берется старший сын Ферма – Самюэль. Он посмертно выпускает сборник с его замечательными открытиями, а так же издает новую «Арифметику» Деофанта со всеми комментариями своего отца.

Пьера де Ферма похоронили в Кастре, но, спустя 10 лет, перенесли прах в Тулузу, где ученый жил и работал большую часть своей жизни.

Научные достижения

В отличие от многих своих коллег, Пьер де Ферма был чистым математиком и не занимался другими отраслями науки. Возможно, именно благодаря этому, его вклад во все дисциплины математики настолько обширен и велик.

Главной заслугой Ферма по сей день считается создание новой математической дисциплины – теории чисел. Ученого всегда интересовали арифметические задачи, которые он постоянно загадывал своим современникам и сам, в свою очередь, блестяще решал. В процессе этого решения Ферма открывал новые законы и алгоритмы, которые в итоге и стали основой теории чисел.

Самым известным и нашумевшим утверждением Ферма остается его Великая теорема. Она многие десятилетия терзала умы лучших математиков и, даже после официальной публикации 1995 года, различные варианты ее доказательства продолжают поступать на математические кафедры всех университетов мира. При этом сама формулировка теоремы удивительно проста, впрочем, как и все остальные записи Ферма:

Если n – натуральное и n>2, то уравнение

не имеет решений в целых числах a, b и c, отличных от нуля.

Несмотря на симпатию к арифметике, Ферма не смог не поддаться веяниям того времени и часть своих размышлений посвятил математическому анализу. Так он нашел касательные к алгебраическим кривым, сформулировал закон дифференцирования дробных степеней и необходимый признак экстремума, он же – лемма Ферма (в точках экстремума производная функции равна нулю), определил, что уравнение первого порядка определяет кривую, а второго – каноническое сечение.

Все время своего знакомства с Паскалем, Ферма вел с ученым активную научную переписку. В итоге они, независимо друг от друга, создали основы великой науки современности – теории вероятностей. Результаты их трудов напечатал Гюйгенс в книге «О расчетах в азартной игре».

Несмотря на то, что сам Ферма оставил после себя только обрывочные записи и рукописные варианты трудов, большинство гениальных исследований ученого все же попали в руки его потомков. Вклад Ферма в математическую науку трудно переоценить. Он был не только автором своих собственных открытий, но и вдохновителем для математиков последующих поколений. В честь великого ученого назван один из самых престижных и старинных лицеев Франции – Lycée Pierre de Fermat в Тулузе.

Источник

из которого следует равенство

Аналогичным образом, рассматривая разбиение четырехмерного куба на четыре гиперпирамиды, можно получить следующее равенство

из которого следует равенство

В общем случае имеет место равенство

которое позволяет находить сумму 1 m + 2 m + … + n m через суммы меньших степеней.

В частности, имеет место формула

Рассмотрим числа, связанные с фигурными числами, образующие равнобедренный треугольник, называемый треугольником Паскаля. По боковым сторонам этого треугольника стоят единицы и всякое число, кроме этих единиц, получается как сумма двух чисел, расположенных над данным числом.

Таблица 1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……………..

Блез Паскаль посвятил этому треугольнику «Трактат об арифметическом треугольнике», опубликованный в 1653 г. В нем этот треугольник записывался в виде таблицы

Таблица 2
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10
1 4 10
1 5
1

Учитывая, что коэффициент при x k + 1 в последней сумме по определению равен , получаем формулу Сравнивая ее с формулой для чисел треугольника Паскаля, видим, что биномиальные коэффициенты и числа треугольника Паскаля получаются по тому же закону и, следовательно, имеет место равенство = .
Докажем, что для чисел треугольника Паскаля, а значит, и для биномиальных коэффициентов имеет место формула

Это делается непосредственно.

Самостоятельно решите следующие задачи:

1. Сколько нечетных чисел в 256-ой строке треугольника Паскаля?

2. Сколько чисел в 67-ой строке треугольника Паскаля делится на 67?

4. Имеется сеть дорог, изображенная на рисунке. Из точки A выходит 2 1000 человек. Одна половина из них идет направо, а вторая – налево. Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется: одна половина идет направо, а вторая – налево. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Сколько человек придет в три крайних слева перекрестка В₁, В₂, В₃ тысячного ряда перекрестков?

5. Докажите, что имеет место равенство

6. Найдите, чему равна сумма

1 4 10 16 19 16 10 4 1

а)

б)

Выясните алгебраический смысл этих чисел. Найдите для них формулы.

6. Определите аналог треугольника Паскаля в пространстве (тетраэдр Паскаля). Выясните его алгебраический смысл. Найдите формулу для его элементов.

1. Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. – М.: Наука, 1974.

2. Гарднер М. Математические новеллы. – М.: Мир, 1974.
3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка.- М.: Наука, 1991.
4. Оре О. Приглашение в теорию чисел. – М.: Наука, 1980.
5. Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. – М.: Наука, 1966.
6. Успенский В.А. Треугольник Паскаля. – М.: Наука, 1979.

7. Яглом А.М., Яглом И.М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. – М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1954.

Источник

Теорема Ферма и 380 лет на ее доказательство

Не много идей и рассуждений занимали мысли и внимание ученых-математиков и самоучек так долго, как Великая теорема Ферма. Эта теорема – самое известное математическое утверждение, на доказательство которого понадобилось больше 380 лет. Более того, в 1908 году ажиотаж вокруг нее был накален после обещания присудить премию за ее решение.

Вся сложность доказательства этой теоремы состояла в том, что нужно было доказать отсутствие решения. Казалось, что ее суть так легко понять, но как тяжело было ее решить!

Доказательство этой единой математической теоремы тесно связано с развитием истории математики, формированием новых направлений и углублением человеческого знания об абстракциях. О том, кто доказал теорему Ферма и сколько времени на это ушло, мы поговорим в этой статье.

Юрист Пьер де Ферма – «король среди любителей математики»

Пьер де Ферма (1601-1665) – французский судья и самоучка, известен как автор самой сложной теоремы всех времен. Свою карьеру и жизненный путь Ферма связал с юриспруденцией, и работал в местном парламенте маленького городка Кастр (до 1789 года «парламентом» во Франции называли суды).

Помимо блестящей карьеры в суде, Пьер также увлекался математикой, был самоучкой, черпая свои знания из книг и переписки со своими сверстниками, учеными и философами того времени – Декартом, Паскалем, Бернардом де Бесси и другими. Несмотря на его статус любителя, профессиональные математики ценили переписку с Пьером Ферма и называли его «королем среди любителей». Главный интерес он проявлял к теории чисел, которая в начале 17 столетия стала очень популярной во Франции благодаря новым изданиям трудов древнегреческих математиков. Изучая их, Ферма смог обосновать основные проблемы решения многочисленных задач, которые стали основными для развития классической теории чисел.

Больше всего влияния на Пьера Ферма оказала книга «Арифметика», изучая которую он исписывал поля собственными рассуждениями, впоследствии изменившими развитие математического мышления. В этой книге греческий математик и отец алгебры Диофант Александрийский описывал натуральные числа Пифагора. На основании «Арифметики» Ферма, решая задачи сложных уравнений с несколькими неизвестными, сформулировал легендарное утверждение, позже названное в его честь Великой теоремой Ферма. Доказательство теоремы заняло около 380 лет.

Наибольший научный вклад Ферма в развитие математики в том, что он обратил внимание на роль, которую занимают простые числа.

Великая теорема Ферма

Особый интерес к натуральным числам возродился в начале 17 столетия, после издания «Арифметики» Диофанта. Эта книга стала особо популярной среди ученых и философов, которые пытались рационально объяснить мироустройство, исключая всякое божественное начало. Среди них был и Пьер Ферма.

Во время чтения «Арифметики» ему в голову пришла идея заменить показатель степени 2 в теореме Пифагора любым другим числом. Тогда он понял: решения такому суждению не существует, и это можно доказать. Но само доказательство не записал из-за отсутствия места в книжке. На страницах книги II, обдумывая задачу 8, Ферма записал только следующее:

«Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Рассуждение Ферма о простых числах стало широко известным после того, как в 1670 году его сын Самюэль опубликовал книгу «Арифметика», но уже с комментариями отца. Путь доказательства занял более чем 350 лет. Сотни математиков пытались доказать утверждение Ферма, а получилось это лишь у Эндрю Уайлса в 1993 году.

Знаменательно, что очевидной практической ценности Великая теория Ферма не имеет. Но ее формулировка будоражила умы сотен математиков, что, в свою очередь, действительно приносило плоды в развитии теории математики. Помимо легендарной Великой (или «Последней», как ее еще называют) теоремы Ферма, не менее важную роль в развитии математики занимает другая теорема – малая.

Малая теорема Ферма – это еще одно знаменитое рассуждение, которое Ферма описал в письме к своему другу в 1640 году. Читается эта теорема так: если целое число п не делится на простое число р, то п р — 1 —1 делится на число р.

Доказательство этой теоремы не заняло столько времени и усилий, как в случае с ее предшественницей, но ее роль в развитии математического мышления несомненно бесценна. Сегодня она является одной из самых важных теорем элементарной теории чисел, криптографии и современной алгебры.

Великая теорема Ферма: доказательство

Великая теорема Ферма не была детально объяснена даже самым автором. Может быть, его бумаги затерялись, но, скорее всего, в этом он сам не видел необходимости.

Все дело в том, что скупое, на наш взгляд, объяснение утверждения на полях книжки «Арифметика» непонятно для нас, но так не будет казаться, если учесть контекст, в котором Ферма развивал свои идеи. На протяжении своей жизни он вел активную переписку с другими учеными и любителями математики, и это были долгие дискуссии в письменной форме, где очень важно было понимание логичности и чередования писем. Это было общество, члены которого понимали друг друга с полуслова. Поэтому в многословности в такой среде просто не было необходимости.

Другим предположением, почему Ферма не развил детальное объяснение своей теоремы, в том, что он не был профессиональным математиком, как, к примеру, Рене Декарт или Франсуа Виет, и тем более он не пытался достичь признания в этой сфере, помимо одобрения друзей и единомышленников, которое, очевидно, уже получил. Но, тем не менее, Ферма понимал оригинальность своих идеи и подходов, а также то, что его методы мышления помогают другим математикам.

Увлекаясь теорией простых чисел, Ферма понимал, что натуральные числа не являются бесконечными. Он полагал, что найденный им метод является общим, и его можно будет использовать, чтобы доказать любые теоремы натуральных чисел. Но реальность оказалась иной. Метод оказался не таким универсальным, как рассуждал Ферма. И на доказательство этого ученым понадобилось более трех столетий.

В начале 1990-х годов теорему Ферма уже доказали для показателей разных степеней вплоть до 4 000 000. Но все-таки ученые продолжали искать показатель, для которого теорема окажется ложной.

Математик из Принстонского университета Эндрю Уайлс смог доказать теорему в 1993 году, исполнив свою мечту, которая появилась у него в 10-летнем возрасте. На протяжении долгих лет он следил за многочисленными методами, с помощью которых разные ученые пытались доказать теорему Ферма. И в 1986 году, оставив все свои проекты, он сам занялся доказательством этой теории, которое заняло 7 лет.

В своем доказательстве он использовал сложные методы вычисления. Его работа опиралась на труды гигантов из разных направлений математики. Теорема Ферма – это сложная головоломка, решить которую стало возможным, сочетая поэтапно разные подходы и методы доказательства. Исписывая тысячи страниц, Уайлс смог доказать Великую теорему Ферма.

Это был долгий путь, который заключался в подсчете бесконечностей, рассмотрении всех ранее использованных подходов с целью найти собственный метод доказательства. Сначала Уайлс подсчитал все эллиптические функции, а также модулярные эллиптические функции, где как одних, так и других бесконечно много, чтобы показать, что их вычисления эквивалентны. Хотя этот подход оказался неэффективным, он помог осознать, куда двигаться дальше. Эти вычисления помогли Уайлсу понять, что нужно вместо доказательства гипотезы Таниямы-Симуры для эллиптических кривых, доказать эту же гипотезу лишь для полустабильных кривых.

Далее он обратился к теории Галуа, и с ее помощью смог определить эллиптические уравнения и доказать, что можно провести ассоциацию с элементами модулярных форм. Так Уайлсу удалось переформулировать задачу в более податливые понятия. Но это был только первый шаг, который занял два года.

Позднее он пробовал решить теорему с помощью теории Ивасавы, но ее оказалось недостаточно, поэтому Уайлс использовал еще и инструменты системы Эйлера. Однако позже он понял, что самым подходящим подходом является подход Колывагина-Флаха. И здесь новая тактика начала приносить плоды.

В начале 1993 года Уайлс подключил к решению теоремы друга Ника Каца. Они решили, что в основании нового университетского курса «Вычисления на эллиптических кривых» они смогут поэтапно изложить теорему Ферма. Во время этого курса проверялись разные этапы доказательства.

Окончательные результаты и первое публичное доказательство Уайлс представил на конференции в Кембридже в июне 1993 года. Для этого эму понадобилось три часа. Рукопись занимала 200 страниц. Потом решение задачи подтвердил комитет экспертов, и, после уточнения нескольких неточностей, в 1995 году теорема Ферма официально была доказана.

Вклад Пьера Ферма в развитие науки

История математики просто немыслима без вклада ученого-самоучки Пьера Ферма. Но из-за уединенного образа жизни и узкого круга общения его идеи ученые смогли оценить лишь после его смерти и благодаря его сыну Сэмюелю, который в 1870 году начал публиковать наброски и размышления отца.

Ферма и его идеи во многом стали основополагающими для развития новых математических теорий. Его сильной стороной был творческий подход и неограниченность рамками одной дисциплины: Ферма применял алгебраические методы в геометрических задачах, что заложило основания аналитической геометрии. Поэтому справедливо считать, что Ферма, наравне с Декартом, повлиял на формирование аналитической геометрии, а также то, что в своей переписке с Паскалем он заложил основы теории вероятности.

Идеи и подходы Пьера Ферма были настолько неординарными, что его рассуждения и толкования решения задач повлияли на Ньютона и даже Галилея, а другой французский математик Марен Мерсенн в своей книге «Универсальная гармония» вообще назвал Ферма математическим гением.

Кстати, если вам интересно, как развить мышление, лучше понимать абстракции и удерживать в голове длинные формулы, замечать закономерности и создавать новые идеи, предлагаем вам попробовать наши программы «Мнемотехники» и «ТРИЗ на практике». И пусть напрямую с математикой они не связаны, зато представленная в них информация, упражнения и задания прекрасно подходят для повышения уровня интеллекта, а его, как вы знаете, можно использовать в любой области.

Желаем удачи и до встречи на уроках наших курсов!

Источник

Высока любовь и притягательна для человека! Но не менее возвышен мир чисел и фигур, который изучает наука математика, и притягателен он не менее.

Известный нам по школьным учебникам Пифагор считал даже, что математика — она превыше всех человеческих чувств, даже любви. В общем, тем еще мистиком был автор теоремы про «пифагоровы штаны», недаром половину жизни он провел в Египте, обучаясь у тамошних жрецов.

Но как бы то ни было, самая известная математическая теорема — теорема Пифагора.

Впрочем, в математике есть еще одна, не менее знаменитая теорема, носящая имя человека. Человек этот теорему своего имени сформулировал, но не доказал, хотя думал, что доказал.

Пьер Ферма́ (Pierre de Fermat; 1601 —1665), французский известный математик, задал человечеству загадку, которую оно не смогло разгадать в течение 350 лет. Поэтому недаром эта теорема называется великой теоремой Ферма́. Формулировка теоремы простая и понятная любому, кто выучил начальный курс математики. Вот она:

Для любого натурального n>2 уравнение Фото: Марк Блау, личный архив

не имеет решений в целых ненулевых числах a, b, c.

А вот с этого места расскажем поподробнее.

Все начинается с уже упомянутой теоремы Пифагора. Уравнение, соответствующее этой теореме Фото: Марк Блау, личный архив

где a, b и c — натуральные числа, решение имеет. И одно из этих решений не трудно отыскать устно: Фото: Марк Блау, личный архив

Таким образом, натуральное число, квадрат которого равен сумме квадратов двух других натуральных чисел, существует. А вот натурального числа, куб которого был бы равен сумме кубов двух других натуральных чисел, найти невозможно. Это же утверждение является верным для любых других степеней: 4, 5, 6…

Никаких заумных или непонятных слов в формулировке теоремы Ферма нет. Ее поймет даже школьник. Задача приманивает своей простотой. «Да неужели я не смогу решить столь простую задачу?» — думает каждый. И — вдохновленные простотой — многие впрягались в неподъемный воз.

То, что воз — неподъемный, ученые математики, попытавшиеся доказать великую теорему Ферма, стали догадываться очень скоро. В течение более чем трех столетий теорему Ферма доказали для различных частных случаев. Но общего доказательства для любых показателей степени в загадочном уравнении так и не было найдено. Теорема Ферма стала математическим аналогом вечного двигателя, который стремились изобретать все, кому было не лень и кто не знал о существовании закона сохранения энергии, согласно которому изобрести вечный двигатель было невозможно.

Но, в отличие от изобретения вечного двигателя, теорему Ферма доказать было можно и нужно. Кому нужно? Да в первую очередь самим математикам. Ведь в математике нет и быть не может недоказуемых теорем. Другое дело, что простая задачка оказалась слишком сложной.

Только в 1994 году великую теорему Ферма доказал английский ученый Эндрю Уайлс. За это выдающееся достижение Эндрю Уайлс в 2016 году стал лауреатом Абелевской премии, которая среди математиков столь же уважаема, как Нобелевская премия у представителей естественных наук, физики, химии и биологии. Эндрю Уайлс доказал великую теорему Ферма в 1994 году
Фото: Источник

Хотите узнать, как он добился победы? Об этом можно прочесть в прекрасной книге английского математика и популяризатора науки Саймона Сингха «Великая теорема Ферма».

С. Сингх понятно и захватывающе рассказывает о решении великой теоремы Ферма, которая, хотя и оказалась очень сложной математической задачей, породила в ходе попыток своего решения множество интересных разделов науки и, в конце концов, позволила математикам лучше понять, чем же, собственно говоря, являются числа.

А кем же был сам Пьер Ферма, сумевший походя сформулировать эту выдающуюся проблему? Пьер Ферма (1601 — 1665)
Фото: ru.wikipedia.org

Он родился в 1601 году в Гаскони в семье состоятельного торговца. Благодаря тому, что у отца было достаточно денег, Ферма смог получить образование. Он учился в университетах Тулузы, Бордо и Орлеана и получил диплом юриста.

Юриспруденция стала его кормилицей до конца жизни. С дипломом юриста Ферма стал членом высшего королевского суда в городе Тулузе. Затем он занял высокую судебную должность в городе Кастр, что неподалеку от Тулузы. Здесь же, в Кастре, Пьер Ферма скончался в январе 1665 года. Пьер Ферма и формулировка великой теоремы, названной его именем, на французской почтовой марке
Фото: ru.wikipedia.org

Писатель Чехов говорил, что медицина — его законная жена, а литература — любовница. Точно так же и Пьер Ферма делил время между судебными делами, которые он исполнял профессионально и точно, и занятиями математикой, на которую у него хватало и времени, и ученого пыла.

Ферма, будучи выдающимся ученым, книг по математике, между тем, не писал. Зато он переписывался с выдающимися учеными своего времени, такими как Р. Декарт и Б. Паскаль. В этих письмах он излагал свои идеи и решения различных математических задач, которые до него считались неразрешимыми. Именно благодаря своим письмам Ферма получил признание как гениальный математик. В одну книгу переписку Пьера Ферма собрал после его смерти сын. Собрал и издал. Так труды Ферма стали известны широкой научной общественности. Тогда же стала известна математикам великая теорема Ферма.

В отличие от Галилея или Ньютона, Ферма не занимался натуральной философией, то есть физикой. В отличие от Декарта и Паскаля, он не интересовался философией. Его интересом была только математика. Зато здесь он добился выдающихся успехов. Независимо от Декарта, Ферма создал аналитическую геометрию, раньше Ньютона он подобрался к методам дифференциального исчисления. Но главной его заслугой было создание теории чисел.

Теорию чисел называют еще высшей арифметикой. Смешное название для тех, кто думал, что арифметика настолько проста, что ее учат только в младших классах школы. На самом деле, решение сложных арифметических задач приводило математиков к самым основам их науки. Ведь, строго говоря, математики до сих пор не могут дать внятного определения того, что же представляет собой число. Точно так же, как физики до сих пор не могут четко сказать, как устроен мир. Но если физики для решения своих проблем строят могучие технические устройства-ускорители частиц, математикам нужны только карандаш да бумага. Ну, и, главное, умная голова на плечах.

Источник