зачем в интеграле пишут dx
Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение
Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Изучаем понятие « интеграл »
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x).
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
Бари Алибасов и группа
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
Свойства определенного интеграла
Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.
Содержание
История
Предисчисление интегрирования
Лейбниц и Ньютон
Формализация
Историческая запись
Первое использование термина
Этот термин используется в легком для понимания абзаце из Гийома де л’Опиталя в 1696 году:
Приложения
Интегралы широко используются во многих областях математики, а также во многих других областях, основанных на математике.
Например, в теории вероятностей интегралы используются для определения вероятности попадания некоторой случайной величины в определенный диапазон. Более того, интеграл от всей функции плотности вероятности должен быть равен 1, что обеспечивает проверку того, может ли функция без отрицательных значений быть функцией плотности или нет.
Интегралы могут использоваться для вычисления площади двумерной области с изогнутой границей, а также для вычисления объема трехмерного объекта с изогнутой границей. Площадь двумерной области можно вычислить с помощью указанного выше определенного интеграла.
Терминология и обозначения
Стандарт
Если интеграл идет от конечного значения a до верхнего предела бесконечности, интеграл выражает предел интеграла от a до значения b, когда b стремится к бесконечности. Если значение интеграла становится все ближе и ближе к конечному значению, говорят, что интеграл сходится к этому значению. В противном случае говорят, что интеграл расходится.
Когда пределы опущены, как в
интеграл называется неопределенным интегралом, который представляет собой класс функций ( первообразную ), производная которых является подынтегральной функцией. Фундаментальная теорема исчисления связывает оценку определенных интегралов к неопределенным интегралам. Иногда пределы интегрирования опускаются для определенных интегралов, когда одни и те же пределы повторяются повторно в конкретном контексте. Обычно автор разъясняет это соглашение в начале соответствующего текста.
Существует несколько расширений обозначения интегралов для охвата интегрирования в неограниченных областях и / или в нескольких измерениях (см. Последующие разделы этой статьи).
Значение символа dx
Исторически символ dx использовался для обозначения бесконечно малого «кусочка» независимой переменной x, который нужно умножить на подынтегральное выражение и суммировать в бесконечном смысле. Хотя это понятие все еще является эвристически полезным, более поздние математики сочли бесконечно малые величины несостоятельными с точки зрения действительной системы счисления. Поэтому во вводном исчислении выражению dx не придается самостоятельного значения; вместо этого он рассматривается как часть символа интеграции и служит его разделителем в правой части интегрируемого выражения.
Варианты
Некоторые авторы, особенно европейского происхождения, используют вертикальную букву «d» для обозначения переменной интеграции (т. Е. D x вместо dx ), поскольку, собственно говоря, «d» не является переменной.
В первом выражении дифференциал рассматривается как бесконечно малый «мультипликативный» множитель, формально следующий за «коммутативным свойством» при «умножении» на выражение 3 / ( x 2 +1). Во втором выражении, показывающем дифференциалы, сначала выделяются и разъясняются переменные, которые интегрируются по отношению к практике, особенно популярной среди физиков.
Интерпретации интеграла
Интегралы появляются во многих практических ситуациях. Если бассейн прямоугольной формы с плоским дном, то по его длине, ширине и глубине мы можем легко определить объем воды, который он может содержать (чтобы заполнить его), площадь его поверхности (чтобы покрыть его) и длина его края (чтобы закрепить его). Но если она овальная с закругленным дном, все эти величины требуют интегралов. Для таких тривиальных примеров может быть достаточно практических приближений, но точная инженерия (любой дисциплины) требует точных и строгих значений для этих элементов.
Для начала рассмотрим кривую y = f ( x ) между x = 0 и x = 1 с f ( x ) = √ x (см. Рисунок). Мы просим:
Какова площадь под функцией f в интервале от 0 до 1?
относится к взвешенной сумме, в которой значения функции разделены, при этом μ измеряет вес, который должен быть присвоен каждому значению. Здесь A обозначает область интеграции.
Формальные определения
Интеграл Римана
Интеграл Лебега
Как в теории, так и в приложениях часто представляет интерес возможность предельного перехода под интегралом. Например, часто можно построить последовательность функций, которые в подходящем смысле аппроксимируют решение проблемы. Тогда интеграл от функции решения должен быть пределом интегралов приближений. Однако многие функции, которые могут быть получены как пределы, не интегрируемы по Риману, и поэтому такие предельные теоремы не верны с интегралом Римана. Поэтому очень важно иметь определение интеграла, которое позволяет интегрировать более широкий класс функций ( Рудин, 1987 ).
Таким интегралом является интеграл Лебега, который использует следующий факт для расширения класса интегрируемых функций: если значения функции переставляются по области, интеграл функции должен оставаться прежним. Таким образом, Анри Лебег ввел интеграл, носящий его имя, объясняя этот интеграл в письме к Полю Монтелю :
Я должен заплатить определенную сумму, которую накопил в кармане. Я вынимаю из кармана банкноты и монеты и отдаю их кредитору в том порядке, в котором я их нахожу, пока не наберу общую сумму. Это интеграл Римана. Но я могу поступить иначе. После того, как я вынул все деньги из кармана, я заказываю банкноты и монеты по идентичной стоимости, а затем я плачу несколько куч один за другим кредитору. Это мой интеграл.
Общая измеримая функция f является интегрируемой по Лебегу, если сумма абсолютных значений площадей областей между графиком f и осью x конечна:
В этом случае интеграл, как и в римановом случае, представляет собой разность между площадью выше оси x и площадью ниже оси x :
Другие интегралы
Хотя интегралы Римана и Лебега являются наиболее широко используемыми определениями интеграла, существует ряд других, в том числе:
Свойства
Линейность
является линейным функционалом на этом векторном пространстве, так что
Неравенства
Конвенции
Это при a = b означает:
Согласно первому соглашению результирующее соотношение
Основная теорема исчисления
Формулировки теорем
Основная теорема исчисления
Вторая основная теорема исчисления
Вычисление интегралов
Вторая основная теорема позволяет явно вычислить многие интегралы. Например, чтобы вычислить интеграл
Расширения
Несобственные интегралы
«Собственный» интеграл Римана предполагает, что подынтегральная функция определена и конечна на замкнутом и ограниченном интервале, заключенном в скобки пределами интегрирования. Несобственный интеграл возникает, когда одно или несколько из этих условий не выполняются. В некоторых случаях такие интегралы могут быть определены с учетом ограничения в виде последовательности надлежащих интегралов Римана на прогрессивно больших интервалах.
Если интервал неограничен, например, на его верхнем конце, то неправильный интеграл является пределом, поскольку эта конечная точка уходит в бесконечность.
Множественная интеграция
Это сводит проблему вычисления двойного интеграла к вычислению одномерных интегралов. По этой причине в другом обозначении интеграла по R используется знак двойного интеграла:
Линейные интегралы
Поверхностные интегралы
Контурные интегралы
Интегралы дифференциальных форм
Итоги
Вычисление
Аналитический
Интеграл на самом деле не является первообразной, но основная теорема предоставляет способ использовать первообразные для вычисления определенных интегралов.
Символический
Эта теория также позволяет вычислить определенный интеграл от D- функции как сумму ряда, заданного первыми коэффициентами, и предоставляет алгоритм для вычисления любого коэффициента.
Числовой
Рассмотрим, например, интеграл
| Икс | −2,00 | -1,50 | −1,00 | -0,50 | 0,00 | 0,50 | 1,00 | 1,50 | 2,00 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f ( x ) | 2,22800 | 2,45663 | 2,67200 | 2,32475 | 0,64400 | -0,92575 | −0,94000 | -0,16963 | 0,83600 | |||||||||
| Икс | −1,75 | −1,25 | -0,75 | -0,25 | 0,25 | 0,75 | 1,25 | 1,75 | ||||||||||
| f ( x ) | 2,33041 | 2,58562 | 2,62934 | 1,64019 | -0,32444 | -1,09159 | −0,60387 | 0,31734 | ||||||||||
Механический
Геометрический
ЗАКЛИНАНИЕ «ИНТЕГРАЛ!»
Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны!
Мы с вами закончили подкурс, посвящённый непосредственно функциям, а теперь переходим к интегралам. И оставшиеся два модуля будут посвящены именно им.
Для начала нам, конечно, необходимо будет ознакомиться с самим заклинанием «Интеграл». Постараюсь вам рассказать про него как можно проще. Мы не будем вдаваться глубоко в механизм действия этого заклинания. Нам достаточно научиться им пользоваться в не самых сложных случаях.
Это заклинание по действию обратно заклинанию «Производная», однако есть небольшие ньюансы. При действии заклинания «Интеграл» получается не одна функция, а целое семейство (они ещё называются первообразными), которые отличаются друг от друга лишь наличием константы, обеспечивающей параллельный перенос функции по вертикали.
Если мы применим ко всему семейству таких функций F(x)+C (где C=const) заклинание «Производная», то результатом будет функция f(x), потому что производная от константы равна 0 (C’=0).
Давайте рассмотрим более пристально заклинание «Интеграл». Оно состоит из трёх частей:
— значка интеграла (∫),
— подынтегральной функции (f(x))
— и так называемого дифференциала dx, который нам будет очень хорошо помогать при выполнении заклинания.
Действие дифференциала чем-то похоже на действие заклинание «Производная», потому что
Например, если у нас есть d(x 2 ).
Тогда соответственно предыдущей формуле получаем:
d(x 2 ) = (x 2 )’ * dx = 2x*dx = 2xdx (обычно знак умножения опускают)
Ну и, соответственно, чтобы занести какую-то функцию под дифференциал, надо вычислить её первоообразную
g(x)*dx = d(G(x)), где G(x) — одна из первоообразных функции g(x).
Понятно, что dx = d(x+2) = d(x-7), то есть добавлять константу в качестве слагаемого под дифференциал (если это нужно) можно безболезненно.
d(k*f(x)) = k*d(f(x)), где k = const, то есть из-под дифференциала можно выносить множитель-константу. Или заносить, если это надо.
Не пугайтесь, если на данный момент вы смутно поняли объяснение. Дальше мы разберём всё подробнее, а пока представляю вам табличку интегралов основных элементарных функций (ТИОЭФ)
и основные правила вычисления интегралов (ОПВИ)
А теперь давайте на примерах изучим, как пользоваться этим заклинанием.
Видно, что интеграл подходит под формулу 6 ТИОЭФ, но, к сожалению, степень двойки и то, что под дифференциалом, не совпадает, а совпадать должно в обязательном порядке. Только тогда заклинание придёт в действие. Значит, нам сейчас надо сделать некие преобразования, чтобы достичь такого равновесия.
1-й способ. Пригоден для более опытных в таких преобразованиях магов.
Ставим под дифференциал 3х-1, но чтобы уравновесить всю конструкцию, нам надо всё поделить на 3
Если мы выполним заклинание «дифференциал», то получим наше исходное выражение
Значит, преобразование сделано верно.
На первых порах, когда сразу не видно, как преобразовать правильно выражение, можно поступать следующим образом:
— нам нужен вот такой дифференциал d(3x-1).
— вычислим его по правилу дифференциала:
d(3x-1) = (3x-1)’ * dx
d(3x-1) = 3 * dx
Выразим отсюда dx:
dx = 1/3 * d(3x-1)
Вместо dx в наш интеграл подставим 1/3 * d(3x-1).
Если не видно сразу, на что надо поделить или умножить, то просто делаем замену переменных. Вместо х введём другую переменную
Подставляем всё, применяем 1-е правило ОПВИ и получаем табличный интеграл. Вычислив его, необходимо сделать обратную замену
Замену полезно делать, чтобы избавиться от сложных выражений. Например, вот тут
В 7-ю степень возводить очень хлопотливо (чтобы всё привести к многочлену), поэтому делаем вот такую замену
Таким образом, степень 7 оказалась около простой переменной.
Очень интересный метод интегрирования по частям. И применяется часто. Он основан на формуле-заклинании
Видно, что под дифференциалом находится не х, как это бывает изначально, а какая-то функция (хотя в некоторых случаях и х может выступать в качестве функции). То есть мы часть подынтегральной функции забираем под дифференциал, а часть оставляем. В результате применения заклинания интегрирования по частям выражение под интегралом значительно упрощается.
Для примера рассмотрим вот такой интеграл
Видим, что e^x*dx = d(e^x). Поэтому загоняем функцию e^x под дифференциал и применяем заклинание интегрирования по частям. Степень икса понижается. То же самое делаем ещё раз, пока степень икса не понизится до 1
Применяется этот метод и когда есть не e^x, а какая-либо тригонометрическая функция совместно со степенным выражением.
Иногда в результате применения такого заклинания мы возвращаемся вроде как к началу, но с некоторым довеском. Например,
При работе с тригонометрическими функциями полезно применять небольшие заклинания, позволяющие понизить степень:
А также не забывать об основном тригонометрическом тождестве, которое позволяет при необходимости выразить одну функцию через другую
Ну, думаю, нам этих сведений вполне хватит для того, чтобы применять заклинание «Интеграл» к несложным функциям.
А теперь домашнее задание.
Выберите, на свой вкус, 10 функций из предложенных и примените к ним заклинание «Интеграл».
Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной 