достройте четырехугольник abcd так чтобы он был описан около данной окружности
Достройте четырехугольник abcd так чтобы он был описан около данной окружности
Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCM и AMD равны соответственно r и R.
Центры O1 и O окружностей, вписанных в треугольники BMC и AMD соответственно, лежат на биссектрисе MO угла AMD. Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, является также окружностью, вписанной в треугольник AMD и вневписанной окружностью треугольника BMC. Будем искать площадь четырехугольника ABCD, как разность площадей треугольников AMD и BMC.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность, следовательно, ∠BAD + ∠BCD = 180°, но ∠BCM + ∠BCD = 180°, откуда ∠BCM = ∠BAD. Так как треугольники BCM и AMD имеют еще общий угол AMD, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.
1) 
2) 
где p — полупериметр треугольника BCM, равный по свойству вневписанной окружности длине отрезка KM.
3) Из прямоугольного треугольника OKM, находим 
откуда 
Подставляя найденное значение SΔBCM в формулу SABCD, окончательно получаем
Отличается от первого положением точки M левее точек D и A. В этом случае R
Ответ: 
или 
Достройте четырехугольник abcd так чтобы он был описан около данной окружности
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.
а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 24.
а) Пусть BD и AC пересекаются в точке M. Так как ABCD — описанный четырёхугольник, 
Будем считать, что 
и 
Углы ABC и ADC прямые, так как AC — диаметр. По теореме Пифагора получаем 
и 
Отсюда следует, что 
то есть 
и 
Это значит, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников, поэтому 
Следовательно, CM — биссектриса треугольника DBC, а также его высота и медиана.
б) Пусть O — центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD. Тогда её радиус 
поэтому 
Допустим, что 
тогда 
и 
Рассматривая прямоугольные треугольники AMB и ABC, можем записать 
следовательно, 
Аналогично 
поэтому полупериметр четырёхугольника ABCD равен 
Площадь же четырёхугольника ABCD равна 
Искомый радиус вписанной окружности равен 
Ответ: б) 
Допустим, что 
и 
Рассматривая прямоугольные треугольники AMB и ABC, можем записать 
Аналогично 
поэтому полупериметр четырёхугольника ABCD равен 
Площадь же четырёхугольника ABCD равна 
Искомый радиус вписанной окружности равен 
и 
— общий).
и 
опираются на одну дугу 
следовательно, они равны. Найдём угол 
и 
опираются на одну дугу 
так, чтобы она стала параллельна стороне 
(см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол 
остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг 
Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги 
и 
равны. Углы 
и 
равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник 
— равнобедренный:
Аналогично можно показать, что треугольник 
По теореме косинусов:
сумма углов треугольника равна 180°: 
Углы 
являются смежными, следовательно, 
откуда:
— радиус описанной окружности, угол 
обозначим как 
Рассмотрим треугольник 
он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
