если 3 угла одного треугольника соответственно равны 3 углам другого то такие треугольники подобны

Если 3 угла одного треугольника соответственно равны 3 углам другого то такие треугольники подобны

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.

2) Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис.

3) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Проверим каждое из утверждений.

1) «На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезкат» — неверно, таких точек бесконечно много и все они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку.

2) «Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения его биссектрис» — верно, по свойству треугольника.

3) «Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны» — верно, по признаку равенства прямоугольных треугольников. Заметим, что в учебнике этот признак равенства прямоугольных треугольников записан так: «Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны», однако пропуск слова острому не меняет сути, так как острый угол может быть равен только острому углу.

Источник

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

Итоговый тест по геометрии. 8 класс.

Какие из следующих утверждений верны? В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой можно провести прямую параллельную этой прямой.
2) Если диагонали параллелSограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, пересекаются в точке, являющейся центром окружности вписанной в треугольник.

1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3) Все углы ромба равны.

1) Боковые стороны любой трапеции равны.
2) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
3) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

1) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
2) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
3) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

1) Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
2) Любой квадрат является прямоугольником.
3) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник является квадратом.

1) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
2) Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

1) В любой ромб можно вписать окружность.
2) Около любого ромба можно описать окружность.
3) Тангенс любого острого угла меньше единицы.

1) Все квадраты имеют равные площади.
2) Любой прямоугольник является квадратом.
3) Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Источник