если длина медианы треугольника равна длине его биссектрисы то такой треугольник

Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

теория по математике 📈 планиметрия

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний
Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС.	Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС.	Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС.

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD₁, EE₁ и CC₁.

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН₁, ВН₂ и СН₃.

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84 0 :2=42 0

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

Доказательство

Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac>> = \dfrac = \dfrac\]

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

Доказательство

Источник

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Чтобы найти основание равнобедренного треугольника, используйте формулу: b = 2a cos

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.

Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.

А вот и доказательство:

Вуаля, сразу три теоремы доказаны.

Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).

Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.

Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.

Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

a — равные стороны равнобедренного треугольника

α — углы при основании

β — угол, образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания b) равнобедренного треугольника

Формулы длины равных сторон равнобедренного треугольника (стороны a):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

a — равные стороны равнобедренного треугольника

α — углы при основании

β — угол, образованный равными сторонами

L — высота, биссектриса и медиана

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через сторону и угол (L)

Формула высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через стороны (L)

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать градусы и длины в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ABC: ∠C = 80∘, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с пятью теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.
∠A = ∠C = 80∘.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180∘
∠B = 180∘ − 80∘ − 80∘ = 20∘.
∠B = 20∘

Задачка два. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 110∘. Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника.

Вспоминаем первую теорему о равенстве углов при основании (а лучше не забываем вовсе). Поскольку сумма углов = 180∘, то второго угла в 110∘ в нём быть не может. Соответственно, известный угол в 110∘ — это угол при вершине. (180∘−110∘)/2=35∘. Внешние углы треугольника равны: 180∘−110∘=70∘,180∘−35∘=145∘,180∘−35∘=145∘. Больший внешний угол равен 145∘

Источник

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Источник

Геометрия. 7 класс

Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника

Геометрические термины

Высота треугольника

Высота треугольника

Высота, биссектриса, медиана треугольника

Изображение медианы треугольника

Необходимо запомнить

В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке; медианы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Задача на доказательство

Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие медианы треугольника.

На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AD – медиана ∆ABC – продолжена за сторону BC так, что AD = DE.

Докажем, что треугольники ABD и CED равны.

По условию, в треугольниках ABD и CED сторона AD равна стороне DE.

Т. к. АD – медиана ∆ABC, то по определению медианы BD = DC.

∠ADB =∠CDE (по свойству вертикальных углов). Следовательно, ∆ABD = ∆CED

(по первому признаку равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны).

Источник