если стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла то такие углы равны

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема

Дано: АОВ, А₁О₁В₁, ОАО₁А₁, ОВО₁В₁.

Доказать: АОВ = А₁О₁В₁ или АОВ + А₁О₁В₁ = 180 0 .

Доказательство:

1 случай

Пусть угол АОВ — развернутый (Рис. 1).

Угол АОВ — развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАО₁А₁, ОВО₁В₁, значит, лучи О₁А₁ и О₁В₁ также будут лежать на одной прямой, следовательно, А₁О₁В₁ — будет развернутым, тогда АОВ = А₁О₁В₁.

2 случай

Пусть угол АОВ — прямой, т.е. равен 90 0 (Рис.2).

3 случай

Пусть ОО₁А₁ (Рис.3).

По условию ОО₁А₁, тогда лучи ОВ и О₁А₁ будут лежать на одной прямой А₁В. По условию ОАО₁А₁, ОВО₁В₁, значит, ОА и О₁В₁ будут перпендикулярны одной прямой А₁В, следовательно, ОАО₁В₁. Итак, ОАО₁В₁, А₁В — секущая относительно прямых ОА и О₁В₁, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А₁О₁В₁, причем, учитывая то, что ОАО₁А₁, ОВО₁В₁ эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А₁О₁В₁ = 90 0 , тогда АОВ + А₁О₁В₁ = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

4 случай

Пусть ОО₁В₁ (Рис.4).

По условию ОО₁В₁, тогда лучи ОА и О₁В₁ будут лежать на одной прямой В₁А. По условию ОАО₁А₁, ОВО₁В₁, значит ОВ и О₁А₁ будут перпендикулярны одной прямой В₁А, следовательно, ОВО₁А₁. Итак, ОВО₁А₁, В₁А — секущая относительно прямых ОВ и О₁А₁, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А₁О₁В₁, причем, учитывая то, что ОАО₁А₁, ОВО₁В₁ эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А₁О₁В₁ = 90 0 , тогда АОВ + А₁О₁В₁ = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

5 случай

Пусть угол АОВ — острый, т.е. меньше 90 0 , при этом ОО₁А₁, ОО₁В₁ (Рис.5).

Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными (т.е. ОАОС), а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА. Далее проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными (т.е. ОВОD), а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА (Рис.6).

6 случай

Пусть угол АОВ — тупой, т.е. меньше 180 0 , но больше 90 0 , при этом ОО₁А₁, ОО₁В₁ (Рис.7).

Проведем луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ (Рис.8).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Если стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого угла то такие углы равны

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

В этом уроке докажем две теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами и рассмотрим задачу на их применение.

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180º.

Дано: неразвернутые углы АОВ и МNК, и ОА||NМ, ОВ||NК.

Доказать: либо углы АОВ и МNК равны, либо сумма углов АОВ и МNК равна 180º.

Рассмотрим случаи расположения углов АОВ и МNК (см. рисунок).

Доказательство для первого расположения углов.

Прямая NК пересекает прямую ОА в некоторой точке С.

Параллельные прямые ОВ и NК пересечены секущей ОС, поэтому угол 1 равен углу АОВ – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ОВ и NК и секущей ОС.

Параллельные прямые ОА и NМ пересечены секущей NС, поэтому угол 1 равен углу МNК – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ОА и NМ и секущей NС.

Из двух равенств получаем, что ∠АОВ = ∠МNК.

При втором расположении углов:

параллельные прямые ОВ и NК пересечены секущей ОС, поэтому угол 1 равен углу АОВ – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ОВ и NК и секущей ОС.

Параллельные прямые ОА и NМ пересечены секущей NС, поэтому сумма угла 1 и угла МNК = 180º, как сумма односторонних углов при параллельных прямых ОА и NМ и секущей NС.

Из двух равенств получаем, что ∠ АОВ + ∠МNК = 180º.

Рассмотрим следующее утверждение.

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180º.

неразвернутые углы АОВ и A1O1B1, луч ОА перпендикулярен лучу O1A1, луч ОВ перпендикулярен лучу O1B1.

либо углы АОВ и A1O1B1 равны, либо сумма углов АОВ и A1O1B1 равна 180º.

здесь необходимо рассмотреть несколько случаев.

Если угол АОВ прямой, то и угол A1O1B1 тоже прямой, поэтому эти углы равны и в сумме составляют 180º.

Остаются варианты, когда угол АОВ меньше 90º и когда угол АОВ больше 90º.

Рассмотрим подробнее первый случай.

Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА.

Теперь проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА.

Так как угол АОВ равен 90º минус угол АОD и угол СОD равен 90º минус угол АОD по построению, то из двух этих равенств следует, что угол АОВ равен углу СОD.

Используя утверждение о том, что две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, можно прийти к выводу, что стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла A1O1B1, поэтому либо ∠СОD = ∠A1O1B1, либо сумма углов ∠СОD и ∠ A1O1B1= 180º.

Следовательно, либо ∠АОВ = ∠A1O1B1, либо сумма углов ∠АОВ и ∠A1O1B1= 180º.

Второй случай, когда угол АОВ больше 90º, докажите самостоятельно.

Прямые, содержащие высоты АA1 и ВB1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В – тупой, угол С = 20º.

Так как треугольник тупоугольный, угол В тупой, то высоты АA1 и ВB1 треугольника АВС пересекутся в точке Н за пределами треугольника (см. рисунок).

Рассмотрим углы АНB1 и АСA1.

Стороны угла АНB1 соответственно перпендикулярны сторонам угла АСA1, а по ранее доказанной теореме такие углы равны.

Значит, угол АНВ = 20º.

Итак, в этом уроке мы доказали две теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами и решили задачу по теме урока.

Источник

Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Докажем теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Пусть ∠AOB и ∠A₁O₁B₁ — данные углы и ОА || О₁А₁, ОВ || О₁В₁. Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А₁О₁В₁ — развёрнутый (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB — неразвёрнутый угол. Возможные случаи расположения углов АОВ и А₁О₁В₁ изображены на рисунке 115, а и б. Прямая О₁В₁ пересекает прямую О₁А₁ и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. Параллельные прямые ОВ и О₁В₁ пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образованных при пересечении прямых О₁В₁ и ОА (угол 1 на рисунке 115), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Параллельные прямые ОА и О₁А₁ пересечены секущей О₁М, поэтому либо ∠1 = ∠A₁O₁B₁ (рис. 115, а), либо ∠1 + ∠A₁O₁B₁ = 180° (рис. 115, б). Из равенства ∠1 = ∠AOB и последних двух равенств следует, что либо ∠AOB = ∠A₁O₁B₁ (см. рис. 115, а), либо ∠AOB + ∠A₁O₁B₁ = 180° (см. рис. 115, б). Теорема доказана.

Докажем теперь теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Источник

Видеоурок «Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами»

§ 1 Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

В этом уроке докажем две теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами и рассмотрим задачу на их применение.

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180º.

Дано: неразвернутые углы АОВ и МNК, и ОА||NМ, ОВ||NК.

Доказать: либо углы АОВ и МNК равны, либо сумма углов АОВ и МNК равна 180º.

Рассмотрим случаи расположения углов АОВ и МNК (см. рисунок).

Доказательство для первого расположения углов.

Прямая NК пересекает прямую ОА в некоторой точке С.

Параллельные прямые ОВ и NК пересечены секущей ОС, поэтому угол 1 равен углу АОВ – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ОВ и NК и секущей ОС.

Параллельные прямые ОА и NМ пересечены секущей NС, поэтому угол 1 равен углу МNК – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ОА и NМ и секущей NС.

Из двух равенств получаем, что ∠АОВ = ∠МNК.

При втором расположении углов:

параллельные прямые ОВ и NК пересечены секущей ОС, поэтому угол 1 равен углу АОВ – как накрест лежащие углы при параллельных прямых ОВ и NК и секущей ОС.

Параллельные прямые ОА и NМ пересечены секущей NС, поэтому сумма угла 1 и угла МNК = 180º, как сумма односторонних углов при параллельных прямых ОА и NМ и секущей NС.

Из двух равенств получаем, что ∠ АОВ + ∠МNК = 180º.

§ 2 Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Рассмотрим следующее утверждение.

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180º.

неразвернутые углы АОВ и A1O1B1, луч ОА перпендикулярен лучу O1A1, луч ОВ перпендикулярен лучу O1B1.

либо углы АОВ и A1O1B1 равны, либо сумма углов АОВ и A1O1B1 равна 180º.

здесь необходимо рассмотреть несколько случаев.

Если угол АОВ прямой, то и угол A1O1B1 тоже прямой, поэтому эти углы равны и в сумме составляют 180º.

Остаются варианты, когда угол АОВ меньше 90º и когда угол АОВ больше 90º.

Рассмотрим подробнее первый случай.

Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА.

Теперь проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА.

Так как угол АОВ равен 90º минус угол АОD и угол СОD равен 90º минус угол АОD по построению, то из двух этих равенств следует, что угол АОВ равен углу СОD.

Используя утверждение о том, что две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, можно прийти к выводу, что стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла A1O1B1, поэтому либо ∠СОD = ∠A1O1B1, либо сумма углов ∠СОD и ∠ A1O1B1= 180º.

Следовательно, либо ∠АОВ = ∠A1O1B1, либо сумма углов ∠АОВ и ∠A1O1B1= 180º.

Второй случай, когда угол АОВ больше 90º, докажите самостоятельно.

§ 3 Задача на применение теорем об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Прямые, содержащие высоты АA1 и ВB1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В – тупой, угол С = 20º.

Так как треугольник тупоугольный, угол В тупой, то высоты АA1 и ВB1 треугольника АВС пересекутся в точке Н за пределами треугольника (см. рисунок).

Рассмотрим углы АНB1 и АСA1.

Стороны угла АНB1 соответственно перпендикулярны сторонам угла АСA1, а по ранее доказанной теореме такие углы равны.

Значит, угол АНВ = 20º.

Итак, в этом уроке мы доказали две теоремы об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами и решили задачу по теме урока.

Источник