В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.
Поэтому работу A12 можно представить, как разность потенциальных энергий заряда q0 в начальной и конечной точках поля заряда q :
Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания)положительна, для разноименных зарядов потенциальная энергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна.
Потенциал электростатического поля.
Отношение не зависит от пробного заряда q0 и является, энергетической характеристикой поля, называемой потенциалом:
Потенциалϕ в какой-либо точке электростатического поля есть скалярная физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.
1.7 Связь между напряженностью и потенциалом.
Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности.
Рис.1.13. Эквипотенциальные поверхности (сплошные) и силовые линии (пунктирные) поля точечного положительного заряда.
Последнее соотношение представляет связь основных характеристик электростатического поля Е и j. Здесь — быстрота изменения потенциала в направлении силовой линии. Знак минус указывает на то, что вектор направлен в сторону убывания потенциала. Поскольку , можно записать проекции вектора на координатные оси: . Отсюда следует, что . Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом скаляра j и обозначается как gradj.
Напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком .
1.8 Электроемкость, плоский конденсатор.
Электроемкость.
Электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, который нужно сообщить этому проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на единицу.
Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрических свойств окружающей среды. Емкости геометрически подобных проводников пропорциональны их линейным размерам.
Пример: Рассмотрим уединенный шар радиуса R, находящийся в однородной среде с диэлектрической проницаемостью e. Ранее было получено, что потенциал шара равен . Тогда емкость шара , т.е. зависит только от его радиуса.
Единица электроемкости —фарад(Ф):1Ф—емкость такогоуединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда 1Кл. Емкостью 1Ф обладает шар с радиусом R = 9 ⋅10 6 км. Емкость Земли 0,7мФ.
Если циркуляция вектора электростатического поля равна нулю то такое поле
Теорема о циркуляции вектора поля
Щелкните по ссылке » Потенциал и работа электростатического поля «, чтобы ознакомиться с презентацией раздела в формате PowerPoint. Для возврата к данной странице закройте окно программы PowerPoint.
В предыдущей теме было показано, что взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электростатическое поле. Описание электростатического поля мы рассматривали с помощью вектора напряженности, равного силе, действующей в данной точке на помещенный в неё пробный единичный положительный заряд
Существует и другой способ описания поля – с помощью потенциала. Однако для этого необходимо сначала доказать, что силы электростатического поля консервативны, а само поле потенциально.
Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом . В любой точке этого поля на пробный точечный заряд q действует сила (рис. 3.1).
Рис. 3.1
где F(r)– модуль вектора силы , – единичный вектор, определяющий положение заряда q относительно q´, ε0– электрическая постоянная.
Для того, чтобы доказать, что электростатическое поле потенциально, нужно доказать, что силы электростатического поля консервативны. Из раздела «Физические основы механики» известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а только от положения конечной и начальной точек.
Вычислим работу, которую совершает электростатическое поле, созданное зарядом q´ по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2.
Работа на пути dlравна:
где dr – приращение радиус-вектора при перемещении на dl; т. е.
Тогда полная работа при перемещении q´ из точки 1 в точку 2 равна интегралу:
Получили, что работа электростатических сил не зависит от формы пути, а только лишь от координат начальной и конечной точек перемещения. Следовательно, силы поля консервативны, а само поле – потенциально.
Этот вывод можно распространить и на поле, созданное системой зарядов, так как по принципу суперпозиции полей: .
Итак, как и в механике, любое стационарное поле центральных сил является консервативными, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а только от положения начальной и конечной точек. Именно таким свойством обладает электростатическое поле – поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, перенесенного из точки 1 (рис. 3.2) заданного поля в точку 2, взять положительный единичный заряд q, то элементарная работа сил поля будет равна:
Тогда вся работа равна:
Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора .
Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути:
Это утверждение и называют теоремой о циркуляции.
Для доказательства теоремы разобьем произвольно замкнутый путь на две части: 1а2 и 2b1 (рис. 3.2). Из сказанного выше следует, что
(Интегралы по модулю равны, но знаки противоположны). Тогда работа по замкнутому пути:
Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Любое электростатическое поле является потенциальным.
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля — справочник студента
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю. [6] Это является условием потенциальности поля.
Работа консервативных (потенциальных) сил равна убыли потенциальной энергии тела. Следовательно, можно ввести еще одну характеристику электростатического поля – потенциал j.
(В = Дж/Кл)
потенциал (скаляр) – энергетическая характеристика электростатического [7] поля — по смыслу это: 1) потенциальная энергия, которой обладает единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля или 2) работа, которую надо совершить, чтобы перенести единичный положительный заряд из данной точки 1 в бесконечность (¥).
разность потенциалов – это работа, которую надо совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из точки 1 в точку 2
Найдем связь между напряженностью и потенциалом.
Узнай стоимость своей работы
Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего роста скалярной функции (в нашем случае — потенциала).[8] В одномерном случае градиент напряженности dj/dx приобретает простой физический смысл: он показывает, на сколько изменяется потенциал на единице длины.
«-» в правой части формул означает, что вектор напряженности Е всегда направлен в сторону убывания потенциала.
Из приведенных выражений, зная j (х,y,z), можно, дифференцируя, найти напряженность поля. Производя обратную операцию – интегрирование, можно при известной напряженности найти потенциал. Рассмотрим случай зависимости
Е и j только от одной переменной х. Из формулы (··) находим:
(···)
Связь разности потенциалов с напряженностьюв интегральной форме для одномерного случая, когда Е(х)
Графическое изображение электростатического поля.
Электростатическое поле удобно изображать графически с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей.
Узнай стоимость своей работы
Силовая линия – это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора напряженности (см. рис.). Силовым линиям придают направление стрелкой. Свойства силовых линий:
1) Силовые линии непрерывны. Они имеют начало и конец – начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.
2) Силовые линии не могут пересекаться друг с другом, т. к. напряженность – это сила, а две силы в данной точке от одного заряда не могут быть.
3) Силовые линии проводят так, чтобы их количество через единичную перпендикулярную площадку было пропорционально величине напряженности.
4) Силовые линии «выходят» и «входят» всегда перпендикулярно поверхности тела.
5) Силовую линию не следует путать с траекторией движущегося заряда. Касательная к траектории совпадает с направлением скорости, а касательная к силовой линии – с силой и, следовательно, с ускорением.
Эквипотенциальной поверхностью называют поверхность, в каждой точке которой потенциал имеет одинаковое значение j=const.
Силовые линии всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Докажем это. Пусть вдоль эквипотенциальной поверхности перемещается точечный заряд q.
На рисунке изображено электростатическое поле двух одинаковых точечных зарядов. Линии со стрелками – это силовые линии, замкнутые кривые – эквипотенциальные поверхности. В центре осевой линии, соединяющей заряды напряженность равна 0. На очень большом расстоянии от зарядов эквипотенциальные поверхности становятся сферическими. .
На этом рисунке показано однородное поле – это поле, в каждой точке которого вектор напряженности остается постоянным по величине и направлению Эквипотенциальные поверхности – это плоскости, перпендикулярные силовым линиям. Вектор напряженности всегда направлен в сторону убывания потенциала.
На основе опытных данных был получен принципа суперпозиции (наложения) полей: «Если электрическое поле создается несколькими зарядами, то напряженность и потенциал результирующего поля складываются независимо, т. е. не влияя друг на друга».
При дискретном распределении зарядов напряженность результирующего поля равна векторной сумме, а потенциал алгебраической (с учетом знака) сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности.
При непрерывном распределении заряда в теле векторные суммы заменяется на интегралы, где dE и dj– напряженность и потенциал поля элементарного (точечного) заряда, выделенного в теле. Математически принцип суперпозиции можно записать так.
при дискретном распределении зарядов
принцип суперпозиции
Л/Р: Изучение основных свойств электростатического поля
Изучать свойства электростатистического поля особенно удобно на примере плоского поля, т.е.
поля, в котором векторы E лежат в параллельных плоскостях, а потенциал и напряженность зависят только от двух координат. Полное исследование такого поля требует измерений потенциала или напряженности только в одной из плоскостей.
В качестве примера плоского поля в работе выбрано поле, являющееся аналогом электростатического поля бесконечного цилиндрического конденсатора, внешняя обкладка которого обозначена С1, а внутренняя – С2 (рис. 2.2.1).
Теорема Гаусса утверждает, что поток Ф вектора напряженности электрического поля E через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0:
где
Вектор n – единичный вектор внешней нормали к поверхности; dS – площадь элементарной поверхности, в пределах которой E = const.
В случае бесконечного цилиндрического конденсатора при применении теоремы Гаусса в качестве вспомогательной поверхности целесообразно выбрать замкнутую цилиндрическую поверхность S, площадь которой
где S1, S2 – площади торцов; S3 – площадь боковой поверхности.
Высота h цилиндра, ограниченного вспомогательной (гауссовой) поверхностью выбирается произвольно; при этом она обязательно должна быть конечной. Гауссова поверхность охватывает заряд q, локализованный на участке AA’ (рис. 2.2.1) внутренней обкладки конденсатора длиной h.
Поток вектора E через выбранную замкнутую поверхность равен сумме потоков через боковую поверхность и торцы:
Поскольку во всех точках торцов векторы E и n взаимно перпендикулярны, то потоки вектора E через эти поверхности равны нулю, т.е.
где En – проекция вектора E на направление внешней нормали n;dS = hdl (dl – бесконечно малая часть контура L, образованного при пересечении гауссовой поверхности с плоскостью В (рис. 2.2.1).
Учитывая, что диаметр внутренней обкладки конденсатора d
1.5 Работа сил электростатического поля
Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила F= qE. При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа
Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E, dl).
Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:
Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяетсятолько начальным и конечным положениями зарядаq. Если оба заряда, q и Q, положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.
Для электрического поля, созданного системой зарядов Q1, Q2,¼, Qn, работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:
Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.
Работа по перемещению заряда в электростатическом поле. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Разность потенциалов. Потенциал
Пусть в некоторой точке находится положительный заряд q1. Вокруг себя он создает электростатическое поле. Найдем работу по перемещению заряда q2 в этом поле из точки 1 в точку 2. Элементарная работа dA на участке dl равна:
Работа по перемещению заряда q2 из точки 1 в точку 2 не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Такое поле называют потенциальным, а силы − консервативными.
Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля:работа по перемещению заряда по замкнутому контуру потенц. поля равна нулю, т.обр. и циркуляция Е равна нулю: =0; . Интеграл называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля. Из обращения в нуль циркуляции вектора напряжённости следует, что линии напряжённости электростатического поля не могут быть замкнутыми.
Разность потенциалов —величина, равная совершению работы по перемещению заряда из т.1 в т.2: А12/q=φ1-φ2=U12.
Потенциальная энергия взаимодействия заряженных частиц. Эквипотенциальные поверхности. Применение принципа суперпозиции для потенциалов системы точечных электрических зарядов. Связь потенциала электростатического поля с напряженностью.
поля, кроме линий напряжённости,служат эквипотенциальные поверхности—пов-ти равного потенциала(они перпендикулярны к силовым линиям):
Работа,совершаемая силами эл/ст поля при перемещении эл. Заряда по эквипот-ой пов-ти,равна нулю.
С ростом расстояния потенциал будет уменьшатся. Из и следует:
Для того чтобы подчеркнуть тот факт, что Е изменяется по всем трем координатам пользуются частными производными
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 326;
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
Интеграл …. называется циркуляцией вектора напряженности. Таким образом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Это есть условие потенциальности поля.
Потенциальная энергия и потенциал электростатического поля.
Используя формулу работы силы электростатического поля по перемещению заряда, получим может служить характеристикой поля и называется потенциалом электростатического поля j. Потенциал поля j — скалярная физическая величина, энергетическая характеристика поля, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.
Разность потенциалов двух точек поля определяется работой сил поляпри перемещении единичного
потенциал точки поля численно равен работе, совершаемой электрическими силами при перемещении единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.
3) электр. Диполь — идеализированная система, служащая для приближённого описания статического поля или распространения электромагнитных волн вдали от источника (особенно — от источника с нулевым суммарно, но пространственно разделенным зарядом).
Полярные – это диэлектрики, в молекулах которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов разделены даже в отсутсвие поле, т.е. молекула является диполем. Поляризация: во внешнемэлектр. Поле молекулы ориентируются вдоль векора напряженности внешнего поля Ео( при включении поля молекулы поворачиваются вдоль силовых линий поля)
Неполярные- диэлектрики, в молекулах которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов в отсутствие поля совпадают. Поляризация: во внешнем электр.поле в результате деформации молекул возникают диполи, ориентированные вдоль вектора напряженности внешнего поля Ео. (при включении поля молекулы поляризуются)
В электрическом поле диполи подрешеток деформируются: удлиняются, если их оси направлены по полю и укорачиваются, если оси направлены против поля.
Интеграл …. называется циркуляцией вектора напряженности. Таким образом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Это есть условие потенциальности поля.
Связь напряженности и потенциала электростатического поля
Будем искать, каким образом связаны напряженность электростатического поля, которая является его силовой характеристикой, и потенциал, который есть его энергетическая характеристика поля.
Работа по перемещению единичного точечного положительного электрического заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены достаточно близко друг к другу и x2—x1=dx, равна Exdx. Та же работа равна φ1—φ2=dφ. Приравняв обе формулы, запишем
где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование осуществляется только по х. Повторив эти рассуждения для осей у и z, найдем вектор Е:
т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус говорит о том, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону уменьшения потенциала.
Заметим, что поток – величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормали к элементарным площадкам, на которые разбивается поверхность S при вычислении ФЕ. Изменение направления нормали на противоположное изменит знак En, а значит и знак потока ФЕ.
В случае замкнутых поверхностей принято считать знак потока положительным, если силовые линии поля выходят из охватываемой области наружу. Численно поток равен количеству силовых линий, пресекающих данную поверхность.
Размерность потока в СИ: [ФЕ] = В·м (отметим, что она совпадает с размерностью величины q/εо).
Окружим точечный заряд q замкнутой сферической поверхностью радиусаr и вычислим поток электрического поля точечного заряда через эту поверхность (рис.2.3).
Мы видим, что полученный результат не зависит от формы и размеров выбранной поверхности. Это очевидно, поскольку поток численно равен количеству силовых линий, пересекающих данную поверхность, и в случае выбора замкнутой поверхности любой другой формы он не изменится, так как силовые линии нигде не прерываются.
В случае, если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль какой-либо траектории (рис. 1) двигается другой точечный заряд Q0, то сила, которая приложена к заряду, совершает некоторую работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна
Из формулы (1) видно, что работа, которая совершается при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по произвольному замкнутому пути L, равна нулю, т.е.
Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Значит, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
Силовое поле, которое обладает свойством (3), называетсяпотенциальным.
Из равенства нулю циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они обязательно начинаются и кончаются на зарядах (на положительных или отрицательных) или же идут в бесконечность.
Формула (3) верна только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что с случае поля движущихся зарядов условие (3) не верно (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).
Воспользуйтесь поиском по сайту:
Работа сил электрического поля. Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое неподвижным точечным. — презентация
1 Работа сил электрического поля. Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом Q. В любой точке этого поля на точечный заряд Qo действует кулоновская сила. Тогда работа, совершаемая этой силой над зарядом Qo на элементарном перемещении dl, или: da = = Fdlcosα = Так как dlcosα = dr, то da =
2 Работа при перемещении заряда Qo вдоль произвольной траектории из точки 1 в точку 2 Работа, как следует из формулы, не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.
Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными Из выражения следует также, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т. е.
3 Если в электростатическом поле заряда Q переносить единичный точечный положительный заряд, то работа сил поля на элементарном перемещении равна, где E l = Ecosα — проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда:
4 Интеграл называют циркуляцией вектора напряженности, а выражение — теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля. Теорема о циркуляции электростатического поля
5 Следствия теоремы 1. Из теоремы следует, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле Е называют потенциальным, если циркуляция вектора Е по любому замкнутому контуру равна нулю. 2.
Теорема справедлива только для электростатического поля. 3. Линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.
Предположим, что линия напряженности замкнута. Если выбрать ее в качестве контура интегрирования L, то при обходе этого контура в положительном направлении линии напряженности, подынтегральное выражение в интеграле и сам интеграл положительны.
Это, однако, противоречит теореме, что и доказывает, что линии напряженности вектора Е замкнутыми быть не могут.
6 Потенциал электростатического поля разность потенциалов Работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Qo в начальной и конечной точках поля, создаваемого зарядом Q: Следовательно: потенциальная энергия заряда Qo в поле заряда Q равна Потенциальная энергия W определяется с точностью до постоянной С. Значение постоянной обычно выбирается так, чтобы при удалении заряда на бесконечность (r ) потенциальная энергия обращалась в нуль (W = 0), тогда С = 0 и потенциальная энергия заряда Qo, находящегося в поле заряда Q на расстоянии r от него, равна
не зависит от пробного заряда q0 и является, энергетической характеристикой поля, называемой потенциалом:
Рис.1.13. Эквипотенциальные поверхности (сплошные) и силовые линии (пунктирные) поля точечного положительного заряда.
— быстрота изменения потенциала в направлении силовой линии. Знак минус указывает на то, что вектор 
направлен в сторону убывания потенциала. Поскольку 
, можно записать проекции вектора 
. Отсюда следует, что 
. Выражение, стоящее в скобках, называется градиентом скаляра j и обозначается как gradj.
.
. Тогда емкость шара 
, т.е. зависит только от его радиуса.
, равного силе, действующей в данной точке на помещенный в неё пробный единичный положительный заряд
. В любой точке этого поля на пробный точечный заряд q действует сила 
(рис. 3.1).
, 
– единичный вектор, определяющий положение заряда q относительно q´, ε0 – электрическая постоянная.
при перемещении на dl; 
т. е.
.
где
=0; 
. Интеграл называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля. Из обращения в нуль циркуляции вектора напряжённости следует, что линии напряжённости электростатического поля не могут быть замкнутыми.