Как проверить что число простое
Алгоритм проверки на простоту за O (log N)
Проверка на простоту
Чтобы определить, является ли данное число N простым, безусловно, достаточно написать простой цикл поиска делителей числа N:
Данная функция проверки числа на простоту достаточно эффективна — асимптотика ее работы O (sqrt(N)). Однако, иногда в спортивном программировании нужно уметь проверять число на простоту быстрее.
В некоторых случаях, когда требуется выполнять такую проверку для чисел из некоторого диапазона, то целесообразно воспользоваться алгоритмом Решето Эратосфена.
В данной статье я рассмотрю другой способ выполнять единичные проверки на простоту — тест Ферма.
Вероятностный алгоритм за O (log N) с тестом Ферма
Математическое обоснование теста Ферма достаточно хорошо описано здесь.
Я же приведу его конкретную реализацию на C++, а также покажу, как бороться с переполнением типа long long при возведении в степень.
Тест Ферма
Для того, чтобы проверить число N на простоту с достаточно хорошей вероятностью безошибочности, достаточно 100 раз проверить случайное число A тестом Ферма: 
Также стоит отметить, что числа A и N должны быть взаимно просты. Если это условие не выполняется, то число N — заведомо непростое.
Отмечу, что данная функция проверки использует функции нахождения НОД, а также быстрого возведения в степень по модулю.
Нахождение НОД
Собственно, в нахождении НОДа двух чисел проблем меньше всего. Воспользуемся алгоритмом Евклида:
Быстрое возведение в степень по модулю
Быстрое возведение в степень (бинарное) известно довольно широко. Отмечу только, что при перемножении двух чисел типа long long может произойти переполнение типа еще до того, как мы возьмем результат по модулю. Поэтому используем функцию двоичного умножения двух чисел также по модулю. Ее смысл очень похож на быстрое возведение в степень.
Точно также как и при возведении в степень, если второй множитель четный, то можно разделить его на 2, и перейти к вычислению произведения чисел A и B/2. Иначе, нужно вычислить произведение чисел A и B — 1.
Как найти простые числа?
Красивые аномалии встречаются в каждом предмете, но если есть одна область красоты, с которой согласится большинство математиков, то это простое число.
Эти числа занимают уникальный пьедестал в математике, особенно в области теории чисел. Великие умы потратили бесчисленные часы для расследования этой проблемы, в том числе такие великие умы, как Пол Эрдос, Г.Х. Харди и Сриниваса Рамануджан, и это лишь некоторые из них. Теперь, прежде чем мы углубимся в различные алгоритмы, чтобы найти простые числа, давайте сначала установим предварительное понимание простых чисел.
Что такое простые числа?
Самое техническое определение простых чисел состоит в том, что это натуральное число больше 1 и может быть получено только путем умножения 1 и самого себя. Если бы понимание натуральных чисел было более интуитивным, то можно было бы сказать, что это числа, которые мы используем для подсчета.
Метод Марена Мерсенна
Марен Мерсенн Французский математик
Однако, с появлением компьютеров, они теперь могли выполнять эти вычислительные вычисления, которые раньше делались людьми самым кропотливым и трудоемким образом. Мы определенно достигли более высоких простых чисел Мерсенна и простых чисел на общем уровне. Поиск простых чисел так же активен, как и другие численные поиски, выполняемые компьютерами. Другой числовой поиск, аналогичный движению простых чисел, заключается в добавлении десятичных разрядов к некоторым иррациональным числам, таким как пи (отношение длины окружности к диаметру). Однако непрерывный поиск следующего по величине простого числа существенно сложнее, чем поиск следующей цифры числа Пи.
Даже самые большие компьютеры (суперкомпьютеры) тратят значительное количество времени, чтобы проверить, является ли новое число (которое обычно ошеломляюще огромным) само по себе простым числом, и требуется еще больше времени, чтобы проверить, является ли число основным числом Мерсенна. По этой причине числа Мерсенна представляют большой интерес в области кибербезопасности и криптографии, особенно в отношении шифрования.
В августе 2008 года системный администратор UCLA Эдсон Смит нашел наиболее значимое простое число, известное на тот момент. Смит установил программное обеспечение для Great Internet Mersenne Prime Search (Gimps), проекта распределенных вычислений на добровольной основе. Это число было простым числом Мерсенна длиной 12 978 189 цифр. Чтобы дать представление о том, насколько он велик, на его написание уйдет почти два с половиной месяца, а в случае печати он растянется на 50 км!
Метод простых чисел Ферма
Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 17 августа 1601 — 12 января 1665) — французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел.
Когда n = 0, m = 2 0 = 1; поэтому F0 = 2 1 + 1 = 2 + 1 = 3, что является простым. Когда n = 1, m = 2 1 = 2; поэтому F1 = 2 2 + 1 = 4 + 1 = 5, что является простым. Когда n = 2, m = 2 2 = 4; следовательно, F2 = 2 4 + 1 = 16 + 1 = 17, что является простым. Когда n = 3, m = 2 3 = 8; следовательно, F3 = 2 8 + 1 = 256 + 1 = 257, что является простым. Когда n = 4, m = 2 4 = 16; следовательно, F4 = 2 16 + 1 = 65536 + 1 = 65537, что является простым числом. Теперь, как вы можете заметить, к тому времени, когда мы достигнем F5, значение достигает 4 294 967 297.
На сегодняшний день мы достигли только F11, даже со всеми лучшими компьютерами и параллельными вычислениями и большой точностью. В конце концов, однако, мы можем сказать, что поиск простых чисел всегда будет идти до бесконечности и дальше!
Проверка числа на простоту
Простых чисел бесконечное множество. В интернете в свободном доступе можно найти таблицы простых чисел до 21 000 000. Существующие методы проверки чисел на простоту очень сложны, не универсальны, поэтому мной разработан еще один способ проверки числа на простоту для чисел больше 10.
Простое число – целое положительное число, которое имеет два различных натуральных делителя: единицу и самого себя, то есть, если число можно разложить на множители значит оно не простое – а составное.
Пусть А – натуральное число, тогда
где Х и Y – натуральные числа.
Мы знаем, что простые числа не четные, и все числа, заканчивающиеся на 5 и 0 кратны пяти, значит, простые числа всегда заканчиваются на 1, 3, 7, 9. Выберем из таблицы умножения примеры, в которых последняя цифра произведения равна 1 или 3 или 7 или 9 (смотрим рисунок).
Получаем, что бы последняя цифра числа А была равна 1 – последние цифры чисел Х и Y должны быть 1 и 1 (1х1=1) или 3 и 7 (3х7=21) или 9 и 9 (9х9=81).
Что бы последняя цифра числа А была равна 3 – последние цифры чисел Х и Y должны быть равны 1 и 3 (1х3=3) или 7 и 9 (7х9=63).
Что бы последняя цифра числа А была равна 7 – последние цифры чисел Х и Y должны быть равны 1 и 7 (1х7=7) или 3 и 9 (3х9=27).
Что бы последняя цифра числа А была равна 9 – последние цифры числе Х и Y должны быть равны 1 и 9 (1х9=9) или 3 и 3 (3х3=9) или 7 и 7 (7х7=49).
Рассмотрим каждую пару последних цифр для Х и Y по отдельности.
Мы получили уравнение с двумя переменными при известном А. Решений данного уравнения множество, но при условии, что х и у – натуральные, количество решений конечно, или вообще их нет в целочисленном выражении. Получается, если решений нет в натуральных числах, то А является простым числом.
Для остальных пар выполняем аналогичные действия и получаем:
Решение полученных уравнений при больших А – задача трудоемкая, поэтому была написана программа для определения простоты числа согласно нашим уравнениям.
Код написан на Visual Basic.
Данный макрос, написанный на Visual Basic, имеет ряд недостатков. Он ограничен вычислительными возможностями excel и при больших числах более 400млн для предположительно простых чисел выдает ошибку о переполнении. Но, для составных чисел, так как алгоритм после нахождения одного из возможных множителей дальше не считает, макрос считает большие числа. Время расчета в VB составляет 1-5 секунд. Так как расчетные уравнения рассчитаны для чисел больших 10, то простота чисел из первого десятка просто добавлена в макрос.
Таким образом, получен математический способ проверки числа на простоту и написан программный код в Visual Basic для его реализации. Но так как вычислительные возможности в Visual Basic ограничены, для проверки простоты больших чисел требуется написание программы на других языках программирования.
Алгоритм нахождения простых чисел
Оптимизация алгоритма нахождения простых чисел
Дело было давно, в университете, когда мы начали изучать язык программирования Pascal и домашним заданием стало создание алгоритма нахождения простых чисел.
Алгоритм был придуман и тутже реализован на изучаемом языке. Программа запрашивала у пользователя число N и искала все простые числа до N включительно. После первого успешного теста сразу же возникло непреодолимое желание ввести N = «много». Программа работала, но не так быстро как хотелось бы. Естественно, дело было в многочисленных проверках (порядка N*N/2), поэтому пришлось избавиться от лишних. В итоге получилось 5 похожих алгоритмов каждый из которых работал быстре предыдущего. Недавно захотелось их вспомнить и реализовать, но на этот раз на Python.
Итак, поехали. Первый алгоритм, ударивший в студенческую голову, продемонстрирован в Листинге 1.
Очень быстро понимаешь, что в подсчете делителей каждого числа нет никакой надобности и поэтому переменную k можно освободить от своих обязанностей. Действительно, если хотябы один делитель имеется, то число уже не простое. Смотрим Листинг 2.
Конструкция break позволяет нам завершить выполнение внутреннего цикла и перейти к следующей итерации внешнего.
Далее возникает вопрос: «а зачем делить на 4, если на 2 число не делится?». Приходим к выводу, что искать делители нужно только среди простых чисел не превышающих делимое. Наш алгоритм превращается в… см. Листинг 3.
А потом вспоминаем теорию чисел и понимаем, что переберать надо только числа, не превосходящие корня из искомого. К примеру, если число M имеет делитель pi, то имеется делитель qi, такой, что pi * qi = M. То есть, чтобы найти пару, достаточно найти меньшее. Среди всех пар, предполагаемая пара с максимальным наименьшим — это пара с равными pi и qi, то есть pi * pi = M => pi = sqrt(M). Смотрим Листинг 4.
Код из Листинга 4 при N=10000 выполняется примерно в 1000 раз быстрее, чем самый первый вариант. Есть еще один «ускоритель», проверять только те числа, которые заканчиваются на 1, 3, 7 или 9 (так как остальные очевидно делятся на 2 или 5). Наблюдаем Листинг 5.
В следствии незначительного изменения Листинга 5 получаем небольшую прибавку в скорости:
Итого: Программа из последнего листинга выполняется, примерно, в 1300 раз быстрее первоначального варианта.
Я не ставил перед собой задачи написать программу максимально быстро решающую данную задачу, это скорее демонстрация начинающим программистам того, что правильно составленный алгоритм играет далеко не последнюю роль в оптимизации Ваших программ.
P.S.
Благодаря замечаниям получаем Листинг 7:
при N=10000, поучаем время:
time 1 = 26.24
time 2 = 3.113
time 3 = 0.413
time 4 = 0.096
time 5 = 0.087
time 6 = 0.083
time 7 = 0.053
Результаты при n = 1 000 000:
time 7 = 7.088
time 8 = 1.143
Что такое Простые числа
Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Единица не является ни простым числом, ни составным.
Последовательность простых чисел начинается с 2 и является бесконечной; наименьшее простое число — это 2 (делится на 1 и на самого себя).
Составные числа — это натуральные числа, у которых есть больше двух делителей (1, оно само и например, 2 и/или 3); это противоположность простым числам. Например: 4, 6, 9, 12 (все делятся на 2, на 3, на 1 и на само себя).
Все натуральные числа считаются либо простыми, либо составными (кроме 1).
Натуральные числа — это те числа, которые возникли натуральным образом при счёте предметов; например: 1, 2, 3, 4. (нет ни дробей, ни 0, ни чисел ниже 0).
Зачастую множество простых чисел в математике обозначается буквой P.
