Как решать задачи что на что умножать правильно умножение
Нововведения в математике или как правильно решать задачи
Логика продолжает удивлять. Ладно, была загадка без правильного ответа, но вот чтобы математические задачи решались с нарушением логики — сложно представить! Но есть и такое в нашей светлой действительности.
Вот такое решение математической задачи и «правильный» ответ облетели Интернет. Фермер продал 9 покупателям по 2 л молока. Сколько всего литров молока он продал. Оказывается, что решение(даже не ответ) должно выглядеть так: 2*9=18. А если помножить 9 на 2, то неправильно. То есть надо умножать литры на покупателей, а не покупателей на литры. Разница — принципиальная. 
То есть все мое поколение, которое в школах учили простой истине, что от перемены мест слагаемых(или множителей) сумма(произведение) не меняется — вкорне неверно!
В чем же логика? А логику объясняют в другом учебнике математики: В 5 чашек положили по 2 куска сахара. Сколько всего кусков сахара положили в эти чашки? И вот тут начинается самое главное: оказывается, при записи задачи с помощью умножения важен порядок множителей — от этого зависит наименование в ответе задачи. В данной задаче нельзя поменять множители местами при записи решения… Число 2 обозначает куски сахара, а число 5 обозначает количество чашек. Если поменять их местами в записи решения задачи, то в ответе будут чашки, а не куски сахара. Некоторые учителя полагают, что данное требование формально и необязательно к соблюдению. Однако оно важно для формирования осмысленного отношения к процессу решения задачи
Видимо, это учебник стереотипности мышления и невозможности поиска альтернатив. Формальный и осмысленный подход к решению важнее умения решать. То есть, если в 5 чашек положить по 2 куска сахара, а потом перемножить показатели, то получим в ответе не сахар, а чашки. Похоже, что у них какая-то особая чашка, которая умеет раздваиваться, если в нее положить 2 куска сахара.
Число 2 имеет размерность «кусков в расчёте на чашку», или «кусков/чашка».
При умножении на 5 «чашек» имеем
2 «кусков/чашка» * 5 «чашек» = (2*5) «кусков/чашка * чашка»
«Чашка» сокращается.
В итоге имеем 10 «кусков».
Если мы запишем 5 «чашек» * 2 «кусков/чашка» в ответе будут те же 10 кусков.
Насчёт мышления вообще потрясающе сказано. В таком случае, по мнению авторов пособия, перестановка слов в условии сразу будет делать задачу нерешаемой.
Захотел гаишник заработать. Останавливает женщину и спрашивает:
— Слушай, а если я у тебя свечи выкручу, у тебя какое колесо спустит?
Думала она, думала — не знает, что ответить.
— Ага, не знаешь, ну плати штраф.
Гаишнику понравилось, останавливает он мужика на грузовике и опять тот же вопрос.
Мужик думал-думал, и спрашивает у гаишника:
— Слушай, а если я тебе монтировкой по башке дам, на какой ноге шнурки развяжутся?
В общем, для таких задач рекомендуется заучить фразу: Моя мама учит меня, что не всякое оценочное суждение должно служить модификатором поведения «операция умножения над полем вещественных чисел обладает свойством коммутативности». 😉
Почему в задаче запись 2*9 правильна, а 9*2 нет?
Как часто при решении задач типа:
«Фермер продал 9 покупателям по 2 л молока. Сколько всего литров молока он продал?» в начальной школе можно увидеть перечернутое ребенком решение
и правильную запись учителя 2*9=18 (л)
При этом ребенку снижается оценка и задача считается решенной неправильно.
В этой статье разберем почему так происходит и почему это считается ошибкой?
Почему учителя снижают оценку за неправильный порядок множителей в задаче?
Ключевым навыком, которому обучаются дети во втором классе, является понимание смысла умножения.
Согласно смыслу умножения, запись 2*9 обозначает следующее — по два взяли девять раз.
Запись 5*14 обозначает — по пять взяли 14 раз
100*3 обозначает — по сто взяли три раза
Тогда как 9*2 — по девять взяли два раза.
Вернемся к задаче.
Фермер продал 9-ти покупателям по 2 литра молока.
Иными словами, по 2 литра молока взяли 9 покупателей.
Если записать 9*2, то получится следующее: по девять покупателей взяли два раза. Кто взял? Зачем взял? Куда взял?))
В период формирования ребенком навыка самостоятельного решения задач, важно не оставлять его одного с задачей, а проговаривать вместе с ним этапы решения и смысл каждого действия.
Так же для правильного решения задач, потренируйте с ребенком смысл действия умножения
В школе 60 минут мы обязательно объясняем ребенку ЧТО такое умножение и его свойства.
Ученики школы 60 минут, которые посещают общеобразовательную школу, благодаря урокам Школы 60 минут легко могут понять темы, которые не поняли на уроке.
Для тренировки вы можете написать ребенку много разных примеров, даже за пределами таблицы, например:
И предложить ребенку ПРОГОВОРИТЬ смысл действия умножения
111*154 = по 111 взяли 154 раза
1000*7 = по 1000 взяли 7 раз
25*2 = по 25 взяли 2 раза
2*25 = по 2 взяли 25 раз
А еще лучше, даже попробовать поиграть например, с карандашами.
Взять по 2 карандаша 4 раза (2 карандаша в четыре руки, в руки мамы и ребенка)
По 4 карандаша 2 раза (ребенок в каждую руку берет по 4 карандаша)
Тогда в задачах данного типа у вашего ребенка всегда будет оценка «отлично», а значит и желание учиться дальше не пропадет от непонятных исправлений педагога
Итак, скулхак № 2 по решению задач: Научите ребенка понимать смысл действия умножение в задачах.
В школе 60 минут ученики третьего класса научились этому благодаря видео и тренировке:
В следующих статьях мы раскроем другие важные аспекты решения задач по математике в начальной школе.
А сейчас вы можете получить уникальную систему занятий для ваших детей, которая полностью заменит репетитора по предметам и поможет ребенку легко овладеть школьной программой.
Успейте записаться сейчас, пока действует лучшая цена участия.
До встречи в школе 60 минут.
Вам понравилась статья? Сохраните себе на стену, чтобы не потерять
Похожее
Автор
Рената Кирилина
Эксперт №1 по эффективному обучению детей в школе, мама троих детей, прошла путь от учителя до директора школы Посмотреть все записи автора Рената Кирилина
Почему в задаче запись 2*9 правильна, а 9*2 нет?: 9 комментариев
Я как учитель математики старших классах вижу в этом подходе усложнение, потому что потом мы объясняем им, что от перемены мест множителей произведение не меняется. И тогда не понятно, за что ребенку ставили двойки и почему нельзя сказать, что 9 человек взяли по 2 литра, а истина в конечной инстанции заключается во фразе «по 2 литра взяли 9 человек», почему нельзя переставить слова? Лично я не понимаю.
Екатерина, я хоть и не учитель, и пока еще мама дошкольницы, тоже не понимаю смысла этого перечеркивания и не считаю логичным. При жтом же ребенок может отлично решать такие задачи, а этим перечеркиванием можно перечеркнуть и весь энтузиазм ребенка к учебе…
Екатерина, школа вообще одно сплошное усложнение:))) Я имею в виду систему образования в том виде, в котором она представлена сегодня. Тот же учебник математики в 6-м классе… Каждый мой вечер начинается с того, что я объясняю ребенку каждое математическое правило ПОНЯТНЫМ ребенку языком. Для этого мне, человеку с высшим филологическим образованием, иной раз приходится перечитать правило пару раз:))) НУ НЕПОНЯТНО, о чем это они:))) Учитель в восторге от того, как сделаны домашние задания… Только чего это стоит маме:)
[id55125188|Анна], как нормальный взрослый человек, я полностью согласна с высказываниями выше, но как учитель начальных классов, могу объяснить почему прогрмма по математике в начальной школе так серьезно относится к этому вопросу: во-первых, только единицы детей начальной школы легко и сразу могут решать задачи самостоятельно, без помощи взрослых, т.к. просто не понимают смысл задачи, не умеют вдумываться, о чем идет речь в задаче, во-вторых, тоже самое происходит и со смыслом умножения. Данное требование (о котором говорится в статье 2х9 или 9х2) как раз и заставляет ребенка задуматься о смысле самой задачи, т.к. в начальной школе — это и есть одна из целей (научить решать задачи). Просто не все учителя нач.классов делают на этом акцент при объяснении (почему так, а не иначе), не забывая проговаривать и о переместительном свойстве умножения, а просто зачеркнут решение — и все. Надеюсь, не запутала Вас.
Не могу понять. «Девяти покупателям продали по 2 литра молока». Ну девять на два ведь логичнее! Даже число «9» заявлено раньше. Как это может противоречить смыслу задачи? Девять покупателей получают по два литра каждый
В связи с тем, что некоторым детям (в связи со слабым знанием таблицы умножения) легче 9х2 ( удвоить девятку), чем 2х9- пусть пользуются тем, что лучше знают. В конечном итоге ответ один и тот же.. И переместительный закон умножения применят. А придать правильный смысл множителям можно в устном комментарии.
Фокус в том, что для того, чтобы ребенок легко считал в уме, ему надо сначала посчитать «на пальцах». Для того, чтобы ребенок легко в средней школе учился, в начальной надо отрабатывать простые алгоритмы, которые взрослому кажутся бессмысленными или мешающими.
чушь какая то…русским языком написано…фермер продал девяти покупателям по два литра….
Вздумай учитель математики моему ребенку такое снизить, я бы после школы с ним поговорил, раз этак 9 на 2 глаза, что бы этот дятел не портил ребенку понимание коммутативности сомножителей.
Умножение
В этом разделе познакомимся с умножением и узнаем, что сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением.
Например, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 можно записать по-другому: 6 • 4 = 24
Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых.
Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз.
Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое.
Результат умножения показывает, какое число получается.
6 • 4 значит, что число 6 повторяют 4 раза: 6 + 6 + 6 + 6 = 24
Числа при умножении
Результат умножения, или Произведение
Чтение числовых выражений
Этот пример можно прочитать по-разному.
Умножение на 1
4 • 1 = 4, потому что это значит, что число 4 повторяют только 1 раз.
23 • 1 = 23, потому что это значит, что число 23 повторяют только 1 раз.
Умножение на 0
8 • 0 = 0, потому что это значит, что число 8 повторяют 0 раз.
26 • 0 = 0, потому что это значит, что число 26 повторяют 0 раз.
Умножение на 10
8 • 10 = 80, потому что число 8 повторяют 10 раз.
15 • 10 = 150, потому что число 15 повторяют 10 раз.
Связь деления и умножения
8 • 3 = 24, потому что 8 повторяют 3 раза.
24 : 3 = 8, потому что в 24 по 3 содержится 8 раз.
24 : 8 = 3, потому что в 24 по 8 содержится 3 раза.
В несколько раз больше
Решим задачу:
В магазине было 2 лисички, а котят в 4 раза больше. Сколько было котят?
Это значит, что котят было 4 раза по 2.
Заменяем сложение умножением и получаем:
Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?
Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?
Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?
Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Зубодробительная задачка с очень простой математикой
Эта задача поставит в тупик половину интернета, но не вас.
Вот вам очень простой математический пример:
8 / 2(2 + 2)
Вы удивитесь, но большинство людей не смогут правильно это посчитать. Посчитайте сами и потом смотрите правильный ответ:
В интернете много споров про такие примеры, поэтому мы решили разобраться, какие ошибки совершают чаще всего и почему многие считают неправильно. Для решения нам понадобятся три математических правила:
Разберём подробнее, что это значит в нашем случае.
1. То, что в скобках, выполняется в первую очередь. То есть в нашем примере, вне зависимости от чего угодно, сначала схлопнутся скобки:
2. Между числом и скобкой можно опустить знак умножения. У нас перед скобкой двойка, то есть можно сделать такую замену:
3. Математические действия при отсутствии скобок выполняются слева направо: как при чтении, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Нет такого, что сначала всегда делается умножение, затем деление, или наоборот. Со сложением и вычитанием то же самое.
Некоторые считают, что раз множители были написаны близко друг к другу (когда там стояли скобки), то оно выполняется в первую очередь, ссылаясь при этом на разные методические пособия. На самом деле это не так, и нет такого скрытого умножения, которое имеет приоритет над другим умножением или делением. Это такое же умножение, как и остальные, и оно делается в общем порядке — как и принято во всём математическом мире.
Получается, что нам сначала надо сложить 2 + 2 в скобках, потом 8 разделить на 2, и полученный результат умножить на то, что в скобках:
8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16
Кстати, если на айфоне записать это выражение точно так же, как в условии, телефон тоже даст правильный ответ.
А инженерный калькулятор на Windows 10 так записывать не умеет и пропускает первую двойку-множитель. Попробуйте сами 🙂
Тут в тред врываются математики и с воплями «Шустеф!» поясняют криком:
«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исключение: в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается. Например, a:b·c= a: (b·c)».
Этот текст из «Методики преподавания алгебры», курс лекций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)
Раз в спорном примере знак умножения опущен, то спорный пример алгебраический, а значит, сначала умножаем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!
Та самая цитата.
А вот как на это отвечают те, кто действительно в теме и не ленится полностью посмотреть первоисточник:
«Для устранения недоразумений В. Л. Гончаров указывает, что предпочтительнее пользоваться в качестве знака деления чертой и ставить скобки [87]. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров [59] предложили изменить порядок действий в арифметике и решать, например, так: 80:20×2=80:40=2 вместо обычного: 80:20×2=4×2=8. Однако это предложение не нашло поддержки».
Если апеллировать к Фриде Максовне Шустеф, то выходит, что:
Самое интересное, что дальше в примерах Фрида Максовна пользуется как раз правильным порядком действий, объясняя решение. Даже там, где есть умножение на скобку с опущенным знаком, она выполняет действия слева направо.
Полная цитата из Шустеф, которая, оказывается, имеет в виду совсем не то.
Моделируем ход техногенной катастрофы с помощью простого уравнения.
Красивые, полезные и странные — всё как мы любим.
Без рекламы и встроенных покупок.
Пусть рассудит машина.
В заголовке всё сказано.
Странно, но в интернете её часто решают неправильно.
Немного логики, капля математики и много любви к российским фермерам.
Всё настолько просто, что половину можно решить в уме.
Правильные решения в запутанных условиях.
Что быстрее — вспомнить формулы за 7 класс или написать программу для решения?
Порядок действий в математике
Основные операции в математике
Порядок вычисления простых выражений
Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:
Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.
Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.
Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.
Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.
Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.
В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.
Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.
Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?
Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.
Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.
Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.
Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.
Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:
Действия первой и второй ступени
В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.
С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:
Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).
Порядок вычислений в выражениях со скобками
Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:
Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.
Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.
Как правильно решить пример:
Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:
10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.
На этом все действия выполнены.
Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.
Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).
Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:
Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:
5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.
Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.
Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.
Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.
И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.
В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.
Подставляем полученное значение в исходное выражение:
Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:
Закрепить на практике тему «Порядок действий» можно на курсах по математике в Skysmart!