Как сделать сечение в геометрии

Как сделать сечение в геометрии

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD₁C₁C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D, получим точку X₂;

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D₁C₁, они лежат в одной плоскости A₁B₁C₁D₁, получим точку X₃;

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

.

Источник

Как сделать сечение в геометрии

Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (рис. 2).

Теоремы, используемые при построении сечений

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.

Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости то она параллельна и самой плоскости

Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.

Алгоритм построения сечений

Для построения сечений рекомендуем пользоваться следующим алгоритмом.

1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани — сторона сечения.

2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.

3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.

Для контроля правильности построенного сечения, проверяйте, что:

– все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника;

– все стороны сечения лежат в гранях многогранника;

– в каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.

Источник

Памятка по построению сечений многогранников

учитель математики МБОУ СОШ №50 г. Белгорода

Сечение выпуклого многогранника – есть выпуклый многоугольник. Его вершины в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны – отрезками, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

Задачи на сечения многогранника плоскостью обычно состоят в том, чтобы поострить параллельную проекцию сечения, имея параллельную проекцию самого многогранника и условия, которыми задается секущая плоскость, и вычислить площадь полученного сечения или отношение, в котором секущая плоскость делит объем многогранника. Решение каждой из двух частей такой задачи должно быть убедительно обосновано.

При построении сечения многогранника плоскостью, независимо от применяемого при этом метода, приходится решать две элементарные задачи :

1. Строить точку пересечения прямой (ребра многогранника) секущей плоскостью.

2. Строить линию пересечения двух плоскостей (секущей плоскости и плоскости грани).

Определение. Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Секущая плоскость α может быть задана: тре мя точками, не лежащими на одной прямой; пря мой и не принадлежащей ей точкой; другими ус ловиями, определяющими ее положение относи тельно данного Рис. 3

2. Специальные методы построения сечений

2.1. Метод следов

Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.

Основные правила построения сечений методом следа:

Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти три точки.

Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определенной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью (точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани)

Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость основания.

То есть, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F – изображения фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.

В дальнейшем будем допускать вольность речи и говорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения».

2.2. Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников.

В некоторых учебных пособиях метод построения сечений многогранников, который мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проектирования или методом соответствий, или методом диагональных сечений. Мы примем первое название.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром Р D данной пирамиды.

Таким образом, последовательность «шагов» построения искомого сечения такова:

1. К = А D ∩ ЕС; 2. К ₁ = РК ∩ RF ;

3. Q = МК ₁ ∩ Р D; 4. H = BE ∩ А D;

5. Н ₁ = РН ∩ М Q ; 6. N = R Н ₁ ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR — искомое сечение (рис. 26, и).

Динамика построения этого сечения пирамиды проиллюстрирована на рис. 26.

Источник

Стереометрия. Задачи на построение сечений

В задачах на построение сечений мы применяем все те определения, теоремы, свойства и признаки, которые изучаем и доказываем на уроках в школе.

Например, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Это значит, что плоскость сечения и, например, плоскость грани пирамиды будут пересекаться по прямой, и на чертеже будет показана часть этой прямой – отрезок.

И может ли правильный пятиугольник быть сечением куба?

Чтобы соединить какие-либо две точки на чертеже, нам нужна плоскость, в которой эти точки лежат. Иногда это грань объемного тела. Иногда – вспомогательная плоскость.

Конечно, восьмиугольник сечением куба быть не может. Ведь у куба 6 граней, и поэтому сечение куба не может иметь больше 6 сторон.

При построении сечений мы часто используем следующие теоремы:

1. Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Именно поэтому правильный пятиугольник не может быть сечением куба. Ведь 4 из 5 сторон этого пятиугольника лежат в параллельных гранях куба и поэтому параллельны. А у правильного пятиугольника параллельных сторон нет.

2. Теорема о прямой и параллельной ей плоскости:

Пусть прямая m параллельна плоскости α. Если плоскость β проходит через прямую m и пересекает плоскость α по прямой c, то c параллельна m.

Эта теорема помогает, например, при построении сечений пирамиды.

Разберем несколько задач на построение сечений.

1. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка М лежит на ребре AD, N — на ребре DC, К — на ребре АВ.

Проведем МК в плоскости грани ABD и MN в плоскости грани ADC.

Продлим отрезки MN и АС;

Проведем РК в плоскости нижней грани; четырехугольник — искомое сечение.

2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K. Точка N лежит на ребре

Покажем, что плоскость сечения пересекает плоскость основания пирамиды по прямой NT, параллельной МК.

Прямая МК параллельна АВ, лежащей в плоскости основания АВС. Значит,

Плоскость сечения проходит прямую МК, параллельную плоскости АВС. По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и плоскости АВС параллельна прямой МК. Трапеция MKNT — искомое сечение.

3. Постройте сечение куба проходящее через вершину и середины ребер и

Пусть М — середина АВ, N — середина ВС, Продолжим прямую MN до пересечения с продолжениями ребер DC и AD;

Треугольники АМР и KCN — прямоугольные равнобедренные, причем

Проведем — в плоскости задней грани и — в плоскости левой грани куба;

Пятиугольник — искомое сечение. В нем есть параллельные стороны: так как линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

4. Постройте сечение куба проходящее через вершину В и середины ребер и

Поскольку линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны, плоскость сечения пересекает заднюю грань по прямой, параллельной ВМ, а левую грань — по прямой, параллельной BN. Тогда искомое сечение — ромб

Пусть SH — апофема грани SBC; N—середина SH.

Проведем MN в плоскости ASH;

Четырехугольник KMEF — искомое сечение.

Постройте сечение правильного тетраэдра АВСS, проходящее через точку К — середину ребра АВ, и точки М и Т — центры граней АSС и SBC.

Пусть SЕ и SH — апофемы граней ASC и SBC; точки М и Т делят отрезки SЕ и SH в отношении 2:1, считая от точки S.

Из подобия треугольников SMT и SEH получим, что Значит

По теореме о прямой и параллельной ей плоскости, линия пересечения плоскости сечения и нижней грани параллельна прямой МТ. Это значит, что плоскость сечения пересекает грань АВС по прямой АВ. Достроим сечение.

Соединив точки Р и Т в нижней грани, получим FN — линию пересечения плоскости сечения с нижней гранью;

. Трапеция FMEN — искомое сечение.

Пусть точки и — проекции точек M и N на плоскость нижней грани

Проведем в этой плоскости MN и

Точки Р и К лежат в нижней грани куба, следовательно, плоскость сечения пересекает нижнюю грань по прямой РК. Дальнейшее построение — очевидно.

Источник

Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей с примерами и образцами выполнения

Содержание:

Разверткой (выкройкой) поверхности тела называется плоская фигура, полученная путем совмещения всех точек данной поверхности с плоскостью без разрывов и складок. Построение разверток выполняется обычно графическими приемами, с применением способов, предлагаемых начертательной геометрией.

Понятие о сечениях геометрических тел

Детали машин и приборов очень часто имеют формы, представляющие собой различные геомет­рические поверхности, рассеченные плоскостями (рис. 175). Кроме того, иногда необходимо выпо­лнить развертки поверхности полых деталей, усе­ченных плоскостью. Это применяется в раскрое листового материала, из которого изготовляются полые детали. Такие детали обычно представляют собой части всевозможных трубопроводов, венти­ляционных устройств, кожухов для закрытия механизмов, ограждения станков и т.п. (рис. 176)

Построения прямоугольных и аксонометричес­ких проекций усеченных тел, а также определе­ние истинного вида сечений и разверток повер­хностей геометрических тел часто используются на практике.

Рассекая геометрическое тело плоскостью, по­лучают сечение — ограниченную замкнутую линию. все точки которой принадлежат как секущей плоскости, так и поверхности тела.

При пересечении плоскостью многогранника (например, призмы, пирамиды) в сечении получа­ется многоугольник с вершинами, расположенны­ми на ребрах многогранника. При пересечении плоскостью тел вращения (например, цилиндра, конуса) фигура сечения часто ограничена кривой линией. Точки этой кривой находят с помощью вспомогательных линий — прямых или окружнос­тей, взятых на поверхности тела. Точки пересечения этих линий с секущей плоскостью будут искомыми точками контура криволинейного сече­ния.

Пример сечения плоскостью Р геометрического тела — куба, лежащего на горизонтальной плос­кости проекции Н, показан на рис. 177.

В первом случае (рис 177, а) куб усечен фронтально-проецирующей плоскостью Р. Фигурой сечения является прямоугольник.

При построении двух проекций такого сечения (рис. 177, б) следует иметь в виду, что фронталь­ная проекция фигуры сечения совпадает с фрон­тальным следом секущей плоскости Р_V.

Горизонтальная проекция фигуры сечения — прямоугольник.

Во втором случае (рис. 177, в) куб усечен горизонтально-проецирующей плоскостью Р. Фигура сечения — прямоугольник.

На рис. 177, г приведено построение проекции этого сечения. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальным следом Р_Н секущей плоскости. Фронтальной проекцией сече­ния будет прямоугольник, одной стороной которо­го является линия пересечения плоскости Р с плоскостью передней грани куба.

Если куб пересечен плоскостью общего положе­ния (рис. 177, д, е), то полученная фигура сече­ния в данном случае (треугольник) проецируется на плоскости проекции V и H с искажением.

Сечение призмы плоскостью

Для построения проекций фигуры сечения на­ходят проекции точек пересечения плоскости Р с ребрами призмы и соединяют их прямыми линия­ми. Фронтальные проекции этих точек получают­ся при пересечении фронтальных проекций ребер призмы с фронтальным следом P_V секущей плос­кости Р (точки 1’. 5′).

Горизонтальные проекции точек пересечения 1. 5 совпадают с горизонтальными проекциями ребер. Имея две проекции этих точек, с помощью линий связи находят профильные проекции 1»…5». Полученные точки 1»…5» соединяют пря­мыми линиями и получают профильную проекцию фигуры сечения.

Действительный вид фигуры сечения можно определить любым из способов: вращения, совме­щения или перемены плоскостей проекций (см. гл. 15).

В данном примере (рис. 178, а) применен способ перемены плоскостей проекций. Гори­зонтальная плоскость проекций заменена но­вой Н₁, причем ось х₁ (для упрощения по­строений) совпадает с фронтальным следом плоскости Р.

Разверткой называется плоская фигура, полу­ченная при совмещении поверхности геометричес­кого тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).

Развертку боковой поверхности (рис. 178, б) с основанием и фигурой сечения призмы строят следующим образом. Проводят прямую, на кото­рой откладывают пять отрезков, равных длинам сторон пятиугольника, лежащего в основании призмы. Из полученных точек проводят перпен­дикуляры, на которых откладывают действитель­ные длины ребер усеченной призмы, беря их с фронтальной или профильной проекции (рис. 178, а), получают развертку боковой повер­хности призмы.

К развертке боковой поверхности пристраивают фигуру нижнего основания — пятиугольник и фигуру сечения. При этом используют метод три­ангуляции (см. рис. 50, б) или метод координат, известный из геометрического черчения. На рис. 178, а показано построение вершины 5 метолом триангуляции. Линии сгиба по ГОСТ 2.303-68 показывают на развертке штрихпунктирной линией с двумя точками.

Для наглядности выполним построение усечен­ного тела в аксонометрической проекции. На рис. 178, в построена изометрическая проекция усеченной призмы. Порядок построения изометри­ческой проекции следующий. Строят изометричес­кую проекцию основания призмы; проводят в вертикальном направлении линии ребер, на кото­рых от основания откладывают их действительные длины, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы. Полученные точки сое­диняют прямыми линиями.

Сечение цилиндра плоскостью

Построение сечения прямого кругового цилин­дра аналогично построению сечения призмы, так как прямой круговой цилиндр можно рассматри­вать как прямую призму с бесчисленным множес­твом ребер — образующих цилиндра (рис. 179, а).

Выполнение чертежа начинают с построения трех проекций прямого кругового цилиндра. На поверхности цилиндра проводят несколько равно­мерно расположенных образующих, в данном примере двенадцать. Для этого горизонтальную проекцию основания делят па 12 равных частей. С помощью линий связи проводят фронтальные проекции образующих цилиндра (рис. 179, а).

Из комплексного чертежа видно, что плоскость Р пересекает не только боковую поверхность, но и верхнее основание цилиндра. Как известно, плоскость, расположенная под углом к оси цилин­дра, пересекает его по эллипсу. Следовательно, фигура сечения в данном случае представляет собой часть эллипса (рис. 179, в).

Фронтальная проекция фигуры сечения совпа­дает с фронтальным сладом Р_V плоскости Р. Гори­зонтальная проекция этой фигуры совпадает с горизонтальной проекцией основания цилиндра.

Профильная проекция фигуры сечения пред­ставляет собой проекцию части эллипса и может быть построена по нескольким точкам, которые строятся с помощью линий связи по горизонталь­ной и фронтальной проекциям фигуры сечения. Полученные таким образом профильные проекции точек фигуры сечения соединяют кривой по лекалу.

Действительный вид фигуры сечения получен на рис. 179, а способом перемены плоскостей про­екций. Горизонтальная плоскость проекций заме­нена новой. Новая ось проекций x₁ может быть проведена параллельно следу Р_V на произвольном расстоянии, но для упрощения построений она выполнена совпадающей с Р_V (аналогично рис 178). От оси x₁ откладывают отрезки 5’5₀ = 55_x, 4’4₀ = 44_x, т.е. отрезки т, п и т.д., так как расстояние от новой проекции этой точки до но­вой оси проекций равно расстоянию от прежней проекции этой точки до прежней оси проекции.

Развертка боковой поверхности усеченного цилиндра с основанием и фигурой сечения пока­зана на рис. 179, б.

Для построения развертки боковой поверхности на горизонтальной прямой откладывают длину окружности основания, равную πD и делят ее на 12 равных частей. Из точек деления восставляют перпендикуляры к отрезку πD, на них откладыва­ют действительные длины образующих цилиндра от основания до секущей плоскости Р, которые взяты с фронтальной или профильной проекции цилиндра. Полученные точки 1₁—9₁ соединяют по лекалу плавной кривой. Затем фигуру сечения соединяют с частью верхнего основания цилиндра, ограниченного хордой l₁9₁ (сегмент), а фигуру нижнего основания цилиндра (окружность) соеди­няют с нижней частью развертки.

Изометрическую проекцию усеченного цилин­дра строят следующим образом (рис. 179, в). Сна­чала строят изометрию нижнего основания (овал) и части верхнего основания — сегмента (часть овала). На диаметре окружности нижнего основа­ния от центра О’ откладывают отрезки а, b и т.д., взятые с горизонтальной проекции основания. Затем из намеченных точек проводят прямые, параллельные оси цилиндра до пересечения с осью эллипса.

Через полученные точки проводят прямые, параллельные оси у, и на них откладывают отрез­ки, взятые с действительного вида сечения. Полу­ченные точки соединяют но лекалу. Заканчивают построение проведением очерковых образующих, касательных к основаниям — овалам.

Пылесборник машины для очистки литых дета­лей (рис. 179, г) представляет собой усеченный цилиндр. Форма крышки А трубы пылесборника является фигурой сечения прямого кругового ци­линдра и представляет собой эллипс.

Сечение пирамиды плоскостью

Правильная шестиугольная пирамида, пересе­ченная фронтально-проецирующей плоскостью Р, показана на рис 180.

Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным сле­дом Р_V плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, кото­рые являются точками пересечения плоскости Р с ребрами пирамиды.

Действительный вид фигуры сечения в этом примере определяется способом совмещения.

Развертка боковой поверхности усеченной пи­рамиды с фигурой сечения и фигурой основания приведена на рис. 180, б.

Сначала строят развертку неусеченной пирами­ды, все грани которой, имеющие форму треуголь­ника. одинаковы. На плоскости намечают точку s₁ (вершину пирамиды) и из нее, как из центра, проводят дугу окружности радиусом R, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительную длину ребра можно определить по профильной проекции пирамиды, например отрезки s»e» или s»b», так как зги ребра парал­лельны плоскости W и изображаются на ней дей­ствительной длиной. Далее по дуге окружности от любой точки, например а₁, откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника — основания пира­миды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции (отрезок ab).Точки а₁… f₁ соединяют прямыми с вершиной s₁. Затем от вершины а₁ на этих пря­мых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости.

На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух отрезков — s»5 и s»2. Действительные длины ос­тальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через вершину s. Например, повер­нув отрезок s»6« около оси до положения, парал­лельного плоскости W, получим на этой плоскости его действительную длину. Для этого достаточно через точку 6″ провести горизонтальную прямую до пересечения с действительной длиной ребра SE или SB. Отрезок s»6« ₀ (см. рис. 180).

Полученные точки 1₁, 2₁, 3₁ и т.д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрихпунктирной линией с двумя точками.

Построение изометрической проекции усечен­ной пирамиды начинают с построения изометри­ческой проекции основания пирамиды по разме­рам, взятым с горизонтальной проекции комплек­сного чертежа. Затем на плоскости основания по координатам точек 1. 6 строят горизонтальную проекцию сечения (см. тонкие синие линии на рис. 180, а, в). Из вершин полученного шести­угольника проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты, взятые с фронтальной или профильной проекций призмы, на­пример, отрезки К₁ К₂, К₃ И т.д. Полученные точки I. 6 соединяем, получаем фигуру сечения. Соединив точки 1. 6 с вершинами шестиугольни­ка, основания пирамиды, получим изометричес­кую проекцию усеченной пирамиды. Невидимые ребра изображают штриховыми линиями.

Пример сечения треугольной неправильной пирамиды фронтально-проецируемой плоскостью показан на рис. 181.

Все ребра на трех плоскостях проекций изображены с искажением. Горизонтальная проекция основания представляет собой его действительный вид, так как основание пирамиды расположено на плоскости Н.

Действительный вид 1₀, 2₀, 3₀ фигуры сечения получен способом перемены плоскостей проекций. В данном примере горизонтальная плоскость про­екций Н заменена новой плоскостью, которая параллельна плоскости Р\ новая ось х₁ совмещена со следом (рис. 181, а).

Развертку поверхности пирамиды строят следу­ющим образом. Способом вращения находят дей­ствительную длину ребер пирамиды и их отрезков от основания до секущей плоскости Р.

Например, действительные длины ребра SC и его отрезка СЗ равна соответственно длине фрон­тальной проекции s’с’ ребра и отрезка с’₁ 3₁ после поворота.

Затем строят развертку треугольной неправиль­ной пирамиды (рис. 181, в). Для этого из произвольной точки S проводят прямую, на которой откладывают действительную длину ребра SA. Из точки s делают засечку радиусом R₁ равным действительной длине ребра SB ,а из точки А — засечку радиусом R₂, равным стороне основания пирамиды AB, в результате чего получают точку b₁ и грань s₁b₁а₁ пирамиды. Затем из точек s и b₁, как из центров, делают засечки радиусами, равными действительной длине ребра SC и его стороне ВС, и получают грань s₁b₁c₁ пирамиды. Также строится грань s₁с₁а_1.

Для построения изометрической проекции усе­ченной пирамиды (рис. 181. б) проводят изомет­рическую ось х. По координатам т и п строят основание пирамиды АВС. Сторона основания АС параллельна оси х или совпадает с осью х. Как и в предыдущем примере, строят изометрическую проекцию горизонтальной проекции фигуры сече­ния 1₂2₂3₂ (используя точки I, III и IV). Из этих точек проводят вертикальные прямые, на которых откладывают отрезки, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы К₁, К₂ и К₃. Полу­ченные точки 1, 2. 3 соединяют прямыми между собой и с вершинами основания.

Сечение прямого кругового конуса плоскостью

В зависимости от расположения секцией плос­кости Р относительно оси прямого кругового кону­са получаются различные фигуры сечения, ограниченные кривыми линиями.

Сечение прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Р рассматривается на рис. 182. Основание конуса расположено на плос­кости Н. Фигура сечения в данном случае будет ограничена эллипсом.

Фронтальная проекция фигуры сечения распо­ложена на фронтальном следе плоскости Р (рис. 182. а).

Для построения горизонтальной проекции кон­тура фигуры сечения горизонтальную проекцию основания конуса (окружности) делят, например, на 12 равных частей. Через точки деления на горизонтальной и фронтальной проекциях прово­дят вспомогательные образующие. Сначала нахо­дят фронтальные проекции точек сечения 1‘. 12’, лежащих на плоскости Р₁. Затем с по­мощью линии связи находят их горизонтальные проекции. Например, горизонтальная проекция точки 2, расположенной на образующей s2, прое­цируется на горизонтальную проекцию этой же образующей в точку 2.

Найденные горизонтальные проекции точек контура сечения соединяют по лекалу. Действи­тельный вид фигуры сечения в данном примере найден способом перемены плоскости проекции. Плоскость H заменяется новой плоскостью проек­ции H₁.

На фронтальной плоскости проекции V фигура сечения — эллипс изображается в виде прямой 1’7′, совпадающей с фронтальной проекцией секущей плоскости Р. Эта прямая 1’7’ является большой осью эллипса. Малая ось эллипса а’Ь’ перпендикулярна к большой оси 1’7′ и проходит через ее середину. Чтобы найти малую ось сече­ния, через середину большой оси 1’7′ эллипса проводят горизонтальную плоскость N, которая рассечет конус по окружности, диаметр которой будет равняться малой оси эллипса (a₀b₀).

Построение развертки поверхности конуса (рис. 182, б) начинают с проведения дуги окружности радиусом, равным длине образующей кону­са из точки s₀. Длина дуги определяется углом α:

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с вершиной s₀. От вершины откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущей плоскости Р.

Действительные длины этих отрезков находят, как и в примере с пирамидой, способом вращения около вертикальной оси, проводящей через вер­шину конуса. Так, например, чтобы получить действительную длину отрезка S2, надо из 2‘ про­вести горизонтальную прямую до пересечения в точке Ь’ с контурной образующей конуса, являю­щейся действительной ее длиной.

К развертке конической поверхности пристраивают фигуры сечения и основания конуса.

Построение изометрической проекции усечен­ного конуса (рис. 182, в) начинают с построения основания—эллипса. Изометрическую проекцию любой точки кривой сечения находят с помощью трех координат, как показано на рис. 182, в.

На оси х откладывают точки I…VII, взятые с горизонтальной проекции конуса. Из полученных точек проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты z, взятые с фронтальной проекции. Через полученные на наклонной оси эллипса точки проводят прямые, параллельные оси у, и на них откладывают отрезки 6₀8₀ и 4₀10_0, взятые на действительном виде сечения.

Найденные точки соединяют по лекалу. Край­ние очерковые образующие проводят по каса­тельной к контуру основания конуса и эллипса.

Пример сечения прямого кругового конуса при­веден на рис. 182, г. Колпак сепаратора представ­ляет собой сварную конструкцию из тонкой лис­товой стали и состоит из двух конусов.

Развертка сферической поверхности

Горизонтальную проекцию сферической поверхности делим горизонтально-проецирующими плоскостями на несколько равных частей (клинь­ев), например на 12 (рис. 183, а). Фронтальную проекцию сферы поверхности тоже делят на не­сколько равных частей (желательно на 12).

Через полученные точки деления II. VI прово­дят фронтально- проецирующие плоскости Р_V1… Р_V5 (рис. 183, а).

Для построения развертки сферической повер­хности на горизонтальной прямой откладывают длину окружности диаметра D, равную πD (рис. 183, б). Полученный отрезок делят на 12 равных частей.

Через середину каждого деления проводят пер­пендикуляр и откладывают на нем отрезок I—VII, равный 0.5 длине окружности диаметра D. Отрезок I—VII делят на 6 равных частей, через полу­ченные точки деления проводят горизонтальные прямые, на которых откладывают отрезки, равные 1/12 части окружности соответствующего радиуса, например, отрезок с₁с₂ соответствует 1/12 длине окружности радиуса I—II, взятого с горизонталь­ной проекции. Полученные точки соединяют по лекалу. Развертки остальных одиннадцати клинь­ев строят аналогично.

На рис. 184 и 185 приведены примеры исполь­зования развертки сферической поверхности.

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник