Как сделать семиугольник в окружности

Как начертить семиугольник

При необходимости построить правильный семиугольник обычно возникают небольшие сложности. Однако если вам не нужна идеальная точность чертежа и погрешность в 0,2% не является для вас критичной, вы можете легко произвести построение такого многоугольника при помощи циркуля и обычной линейки.Вам понадобится

Чтобы начать построение, начертите произвольную окружность и обозначьте ее центр буквой О. Затем проведите радиус этой окружности в любом направлении. Точку пересечения радиуса с окружностью обозначьте буквой А. После этого переставьте циркуль в точку А и проведите окружность или дугу того же радиуса, что и у исходной окружности (ОА). Данная дуга пересечет исходную окружность в двух точках. Обозначьте их буквами В и С.

Соедините две полученные точки. При этом отрезок ВС пересечет радиус ОА. Точку их пересечения обозначьте буквой D. Образовавшиеся при этом отрезки ВD и DC будут равны между собой и каждый из них будет приблизительно равен стороне правильного семиугольника, который можно вписать в исходную окружность.

Отмерьте циркулем расстояние ВD (или DC) и, начиная с любой точки на окружности, отложите это расстояние шесть раз. Затем соедините все семь точек. Так вы получите семиугольник, который с небольшой погрешностью можно назвать правильным. Все его стороны и углы будут приблизительно равны.

Есть и другой способ построения правильного семиугольника. Для начала начертите произвольную окружность и проведите два взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности. Назовите их АВ и СD. Далее один из диаметров (например, АВ) разделите на семь равных частей. Например, если длина вашего диаметра составляет 14 см, то длина каждой его части будет равна 2 см. В результате на данном диаметре должно появиться шесть отметок.

Затем переставьте циркуль в один из концов данного диаметра (например, В) и проведите из этой точки дугу, радиус которой будет равен диаметру исходной окружности (АВ). После этого продлите второй диаметр (СD) до пересечения с построенной дугой. Полученную точку обозначьте буквой Е.

Теперь из точки Е проведите прямые, проходящие только через четные или только через нечетные деления на диаметре АВ. Например, через второе, четвертое и шестое деления. Точки пересечения этих прямых с окружностью будут тремя из семи вершин вашего будущего многоугольника. Обозначьте их F, G и H. Четвертой вершиной будет точка А (в том случае, если вы проводили прямые через четные отметки) или точка В (если одна из прямых прошла через ближайшую к точке А отсечку).

Чтобы найти пятую, шестую и седьмую вершины, проведите из точек F, G и H прямые, строго перпендикулярные диаметру АВ. Те точки, в которых эти прямые пересекут противоположную сторону окружности, будут тремя искомыми вершинами. Для завершения построения вам нужно будет соединить все семь вершин.

Источник

Как начертить правильный семиугольник

Сколько занимательных заданий порой получают школьники по геометрии. И очень часто решение геометрических задач на построение различных фигур находит свое отражение в черчении. К примеру, построить правильный семиугольник с помощью транспортира не составит школьнику труда, а вот выполнить задачу только с линейкой и циркулем сможет не каждый.Вам понадобится

Начертите по линейке две перпендикулярные прямые (оси координат Х и Y). Это легко сделать на тетрадном листе в клетку. Точка пересечения прямых послужит центром будущего правильного а. Теперь нарисуйте окружность диаметром кратным семи, для удобства построения фигуры. Соответственно радиус окружности должен быть кратным трем с половиной. Используйте радиус, равный семи клеткам или семи сантиметрам. Точки пересечения окружности и вертикального диаметра обозначьте буквами А и В.

Разделите вертикальный диаметр полученной окружности на семь равных частей. Если вы использовали при построении радиус в семь клеток – седьмая часть диаметра будет равна двум клеткам. Если радиус вашей окружности равен семи сантиметрам – одна седьмая часть диаметра будет равна двум сантиметрам (четырем клеткам). Пронумеруйте точки деления по вертикали сверху вниз.

Из точки В (точка №7) проведите дугу радиусом, равным диаметру построенной окружности (равным АВ). Точку пересечения дуги с горизонтальной осью Х обозначьте буквой С. Теперьиз точки С через четные деления вертикального диаметра (точки №№2, 4 и 6) проведите лучи. Пересекая окружность, лучи образуют вершины семиугольника E, F, D.

При помощи линейки через вершины E, F, D проведите параллельные оси Х прямые. Обозначьте точки пересечения прямых с противоположной частью окружности буквами K, L, M. По линейке соедините поочередно друг с другом вершины D, F, E, А, K, L, M. Правильный семиугольник готов!

Источник

Техническое черчение. Построение правильных многоугольников.

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника.

Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой.

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4, строим стороны 1 — 6, 4 — 3, 4 — 5 и 7 — 2, после чего проводим стороны 5 — 6 и 3 — 2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля. Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0 — 1 — 2 равен 30°, то для нахождения стороны 1 — 2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0 — 1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1 — 2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2 — 3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника намечаем на диаметре вершину точку 1 и проводим диаметральную линию 1 — 4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность.

Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4 — 1 и 3 —2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1 — 2 и 4 — 3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра. Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник, производим следующие построения. Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую. Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB. Получим точку 1 —вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

Длины сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй — коэффициенты. Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Источник

Техническое черчение

Popular

Основы черчения

Строительное

Машиностроительное

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Источник

§ 15. Правильные многоугольники

Правильные многоугольники уже в глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Это и понятно: ведь из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаза правильный многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.

Практическая задача построения таких многоугольников с помощью циркуля и линейки имеет давнюю историю. Евклид в своем труде по геометрии приводит способы построения правильных треугольника, четырехугольника (квадрата), пятиугольника и пятнадцатиугольника, а также всех многоугольников, которые получаются из них удвоением числа сторон (не обязательно однократным). Следовательно, древние греки могли строить правильные многоугольники с числом сторон, равным

(заметим, что правильные многоугольники со слишком большим числом сторон по внешнему виду мало отличаются от обыкновенной окружности).

В настоящем параграфе мы предлагаем вам самим поискать способы построения правильных многоугольников, вписанных в данную окружность или имеющих заданную сторону. Не менее важное практическое значение имеют методы приближенного построения в тех случаях, когда точное построение циркулем и линейкой неосуществимо.

Докажите, что для построения правильного n-угольника, вписанного в данную окружность, достаточно разделить эту окружность на n равных частей и полученные точки деления последовательно соединить кордами. Как можно приближенно разделить окружность на заданное число равных дуг?

Дан правильный многоугольник, число сторон которого представляет собой произведение натуральных чисел k и m, где m>2. Как построить правильный m-угольник?

В окружность вписан правильный многоугольник. Постройте правильный многоугольник, у которого число сторон вдвое больше, чем у исходного.

Постройте правильный треугольник со стороной, равной заданному отрезку.

Впишите в данную окружность правильный шестиугольник.

Постройте правильный шестиугольник, со стороной, равной заданному отрезку.

Впишите в данную окружность правильный треугольник.

Постройте квадрат со стороной, равной заданному отрезку.

Впишите в данную окружность квадрат.

Впишите в данную окружность правильный восьмиугольник.

Впишите в данную окружность правильный двенадцатиугольник.

Впишите в данную окружность правильный шестнадцатиугольник.

Постройте правильный восьмиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

Постройте правильный двенадцатиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

Постройте правильный шестнадцатиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

Разделите отрезок на такие две неравные части, чтобы квадрат большей из них был равен произведению длины всего отрезка и меньшей его части.

Докажите, что сторона правильного вписанного в окружность десятиугольника равна большей части «золотого сечения»;радиуса этой окружности. Впишите в данную окружность правильный десятиугольник.

Впишите в данную окружность правильный пятиугольник^

Как построить пятиконечную звезду?

Впишите в данную окружность правильный пятнадцатиугольник.

Постройте правильный пятиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

Нарисуем окружность и впишем в нее правильный треугольник. Затем, начиная от одной его вершины, последовательно сделаем на окружности шесть засечек раствором циркуля, равным половине стороны треугольника, и построим семиугольник с вершинами в полученных шести точках и в исходной точке.

Насколько точен предложенный способ построения правильного семиугольника?

Проведем окружность большого радиуса G центром в точке О (рис. 47), которую разделим на шесть равных частей точками А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆. С центрами в точках А₂, А₄ и А₆ проведем дуги окружностей того же радиуса, образующие фигуру из трех «лепестков». Радиус А₁О разделим на три части и через ближайшую к точке О точку деления проведем прямую, перпендикулярную этому радиусу. Отрезок ее ВС, содержащийся внутри лепестка, примем за сторону десятиугольника, вписанного в окружность радиуса ОВ.

Рис. 47

Насколько точен предложенный способ построения правильного девятиугольника?

На диаметре АВ данной окружности как на стороне построим правильный треугольник АСВ (рис. 48). Возьмем на отрезке АВ точку D так, чтобы выполнялось равенство

Рис. 48

Продолжим отрезок CD до пересечения его о окружностью в точке Е. Хорду АЕ примем за сторону n-угольника, вписанного в данную окружность.

Насколько точен предложенный способ построения правильного n-угольника?

Решения

15.1. Если все я сторон вписанного я-угольника стягивают равные дуги окружности, то сами стороны равны между собой. Кроме того, в этом случае каждый из углов между соседними сторонами n-угольника является вписанным и опирается на дугу, составленную из n-2 упомянутых одинаковых дуг. Следовательно, все эти углы также равны между собой. Таким образом, задача построения вписанного правильного n-угольника сведена к делению окружности на я равных дур.

Рис. 49

15.3. Проведем к каждой стороне данного многоугольника свой серединный перпендикуляр до его пересечения о дугой окружности, стягиваемой этой стороной. Так как полученные точки пересечения разделят каждую из дуг на две равные части, то эти точки вместе с вершинами исходного многоугольника образуют вершины требуемого многоугольника.

15.5. Возьмем на данной окружности с центром О произвольную точку A и раствором циркуля, равным ОА, отложим на окружности последовательно еще пять точек В, C, D, Е и F. Точки A, В, С, D, Е и F являются вершинами правильного шестиугольника. В самом деле, соединив эти точки последовательно друг с другом и с точкой О, мы получим пять равносторонних треугольников (рис. 50). Так как каждый из углов АОВ, ВОС, COD, DOE, EOF равен по 60°, то угол AOF также равен 60°, а, значит, окружность разделена на шесть равных дуг.

Рис. 50

15.6. Раствором циркуля, равным длине данного отрезка, проведем окружность. Вписав в эту окружность шестиугольник способом, предложенным в решении задачи 15.5, мы получим правильный шестиугольник с заданной стороной.

15.7. Разделим данную окружность на шесть равных частей (см. задачу 15.5) и точки деления через одну последовательно соединим хордами. Получим правильный треугольник (см. задачу 15.2).

15.8. Из концов данного отрезка АВ восставим перпендикуляры AM и BN по одну сторону от отрезка АВ (рис. 51) и отложим на них соответственно отрезки AD и ВС, равные отрезку АВ, Соединив точки С и D, получим квадрат ADCB. В самом деле, четырехугольник ADCB является параллелограммом (ибо его стороны AD и ВС равны и параллельны), ромбом (ибо АВ = ВС) и прямоугольником (ибо ∠ ABC = 90°), а значит, квадратом.

Рис. 51

15.9. Через центр окружности проведем два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD и их концы последовательно соединим хордами. Получим вписанный квадрат ABCD. Действительно, дуги АВ, ВС, CD и AD равны между собой, поскольку на них опираются равные центральные углы в 90° каждый.

15.10. Впишем в данную окружность квадрат (см. задачу 15.9) и удвоим число его сторон (см. задачу 15.3).

15.11. Удвоив число сторон правильного вписанного в данную окружность шестиугольника, мы получим правильный двенадцатиугольник, вписанный в ту же окружность (см. задачи 15.5 и 15.3).

15.12. Удвоив число сторон правильного вписанного в данную окружность восьмиугольника, мы получим правильный шестнадцатиугольник, вписанный в ту же окружность (см. задачи 15.10 и 15.3).

15.13. Из середины С данного отрезка АВ (рис. 52) восставим перпендикуляр и отложим на нем отрезок CD, равный 1 /₂ АВ. Затем на его продолжении отложим отрезок DO, равный AD. Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного восьмиугольника со стороной АВ.

Рис. 52

В самом деле, найдем величину угла АОС. Так как АС = CD, то треугольник ACD равнобедренный, и так как он прямоугольный, то угол ADC равен 45°. Поскольку AD = DO, то треугольник ADO равнобедренный и угол AOD равен и, следовательно, угол АОВ равен 45°, т. е. дуга АВ есть 1 /₈ часть окружности.

Теперь на окружности радиуса АО от любой точки последовательно отложим семь дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного восьмиугольника.

15.14. Построим равносторонний треугольник АСВ со стороной, равной данному отрезку АВ. Через точку С проведем прямую, перпендикулярную отрезку АВ. Отложим на этой прямой отрезок СО, равный АВ (рис. 53). Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника со стороной АВ. Для подтверждения этого достаточно доказать, что угол АОВ равен 30°. Точка С равноудалена от точек А, В и О, т. е. является центром окружности, описанной около треугольника АОВ. Поэтому

Рис. 53

Теперь на окружности радиуса AО от любой точки последовательно отложим 11 дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного двенадцатиугольника.

15.15. Из середины С отрезка АВ восставим перпендикуляр (рис. 54) и на нем отложим отрезок CD9 равный 1 /₂ АВ, затем отрезок DE, равный AD, и отрезок ВО, равный АЕ. Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного шестнадцатиугольника со стороной АВ.

Рис. 54

Так же как и в задаче 15.13, находим, что

Построение правильного шестнадцатиугольника выполняется аналогично построению в предыдущих задачах.

Теперь на окружности радиуса АО от любой точки последовательно отложим 15 дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного шестнадцатиугольника.

15.16. Пусть заданный отрезок АВ имеет длину а. Найдем длину х большей части «золотого сечения» отрезка АВ. Из пропорции

Рис. 55

Следовательно, задача сводится к построению отрезка указанной длины х по отрезку длины а. Число равно длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами а и а /₂, который можно построить с помощью циркуля и линейки. Для получения отрезка длины достаточно из гипотенузы построенного треугольника вычесть отрезок длины а /₂. Следовательно, построение «золотого сечения» отрезка АВ можно произвести следующим образом (рис. 55):

Рис. 56

Таким образом, разделив радиус ОВ данной окружности в «золотом сечении» (см. задачу 15.16) и взяв большую его часть ОС, мы найдем длину стороны А В правильного вписанного в эту окружность десятиугольника. Теперь от любой точки данной окружности последовательно отложим девять хорд, каждая из которых равна АВ. Один из конкретных способов построения стороны ОС = АВ требуемого десятиугольника приведен на рис. 57.

Рис. 57

15.18. Разделим данную окружность на 10 равных частей (см. задачу 15.7). Тогда точки деления, взятые через одну, являются вершинами правильного пятиугольника (см. задачу 15.2). Впрочем, на рис. 57, где построен отрезок ОС, равный стороне правильного вписанного десятиугольника, имеется и отрезок CD, равный стороне требуемого пятиугольника.

15.19. Нарисуем некоторую окружность, разделим ее на 5 равных частей (см. задачу 15.18) и соединим точки деления через одну хордами друг с другом, как указано на рис. 58.

Рис. 58

15.21. Из конца А и середины С заданного отрезка АВ восставим перпендикуляры АN и СМ и проведем окружность с центром А и радиусом АВ (рис. 59). Отложим на перпендикуляре AN отрезок AD длины АС и проведем отрезок BD. Отложим на отрезке BD отрезок DE длины AD и проведем окружность с центром В и радиусом BE до пересечения с первой окружностью в точке F. На прямой AF построим точку G на расстоянии АВ от точки В, Тогда центр О окружности, описанной около правильного пятиугольника со стороной АВ, лежит на пересечении прямой СМ с серединным перпендикуляром к отрезку BG. Действительно, окружность, описанная около треугольника ABG, является описанной и около требуемого пятиугольника, так как вписанный угол BAG равен центральному углу BAF, опирающемуся на сторону FB десятиугольника, вписанного в первую окружность (см. задачу 15.17), и, следовательно, равному 36°. Поэтому углы BOG и AOB равны 72° каждый. Остальные две вершины пятиугольника лежат на пересечениях описанной окружности с перпендикуляром СМ и с первой окружностью соответственно.

Рис. 59

Рис. 60

По таблицам синусов находим, что

Центральный угол β опирающегося на сторону правильного семиугольника равен 360° /₇, т. е.

Следовательно, построенный семиугольник не является правильным. Однако из приведенных неравенств следует,

Рис. 62

Для угла имеем

а из подобия треугольников DOC и DFE получаем

откуда после преобразований находим

Подставляя в эту формулу значения n = 5, 7, 8, 9, 10, получаем следующие углы:

Сравнение с истинными значениями центральных углов, каковыми являются соответственно углы 72°, 51 3 /₇° ≈51°26′, 45°, 40°, 36°, показывает, что при n≤7 метод дает исключительно высокую точность, а с ростом n погрешность растет. Однако преимущество этого метода состоит в том, что его можно единообразно использовать при различных значениях n.

Источник