Как сделать судоку своими руками

Решаем судоку с помощью Алгоритма X

В этой статье рассмотрим «Алгоритм X» Кнута и его применение для решения судоку. Прелесть алгоритма в том, что судоку при этом решается быстро без программирования каких-то продвинутых техник решения.

Началось всё, собственно, с задачки из Project Euler, где, чтобы получить ответ, нужно решить 50 судоку. И вроде ответ на неё получил, написав программку для решения довольно тупым перебором, но как-то осталась неудовлетворённость скоростью решения. Посмотрев, как решают судоку нормальные люди, я обнаружил, что сейчас для этого используется Алгоритм X, придуманный тем самым Дональдом Кнутом.

Алгоритм X

Этот алгоритм решает задачу точного покрытия множества. Или, если хотите, собирает «дискретный паззл», имея в наличии информацию о форме доступных кусочков. Более формально:

Для алгоритма X Кнута множество Y представляется в виде двоичной матрицы, где строки соответствуют элементам Y, и A_i,j = 1, если S_j находится в Y_i. Т.е. для примера выше:

Алгоритм поиска точного покрытия следующий:

В общем, ничего особо сложного. По существу — обычный поиск в глубину. Заметим, кстати, что если изначально задать стэк непустым, то задачу можно сформулировать как «найти точное покрытие, в которое входят элементы, уже лежащие на стэке».

Тонкость в том, что на практике этот алгоритм применяется для задач, где множества в Y — «маленькие», т.е. матрица весьма разреженная, из-за чего, например, поиск пересечений между столбцами при стандартном хранении в виде матрицы занимает непозволительно много времени.
Поэтому Кнут дополняет этот алгоритм механизмом «пляшущих ссылок». Матрица представляется в виде двумерного двусвязного списка: для каждой строки в списке хранятся только номера столбцов, где в этой строке содержатся единицы. Также в списке хранятся ссылки на следующий и предыдущий элемент в строке и столбце. Такая организация позволяет удалять из разреженной матрицы столбцы и строки за время O(1) по сравнению с O(m * n) при хранении в двумерном массиве.

Интересно, что Ali Assaf предлагает альтернативу механизму пляшущих ссылок с использованием ассоциативных списков, что позволяет на высокоуровневых языках реализовывать алгоритм X буквально в несколько десятков строчек.

Идея в том, чтобы хранить как столбцы, так и строки матрицы в ассоциативных списках. В столбцах храним индексы строк, на пересечении с которыми находятся ненулевые элементы, в строках — соответственно, индексы столбцов. Причём в строках будем индексы хранить упорядоченно, в массиве — заметим, что в алгоритме Кнута модифицировать строки, по существу, не требуется, поэтому оптимизация под быстрое удаление элемента из строки не нужна. А вот столбцы будут задаваться в виде множеств, т.к. при удалении строки из матрицы нужно удалить её идентификатор из всех столбцов (и при удалении его из всех столбцов — строка исчезает «сама собой»).

Рассмотрим реализацию алгоритма на Julia.
Матрица из примера будет выглядеть теперь так:

Для работы алгоритма нужна функция, вынимающая из матрицы строки, пересекающиеся с заданной, и функция, возвращающая эти строки на место.

Теперь сам алгоритм X:

Судоку

Алгоритм есть, дело за малым — представить судоку как задачу поиска точного покрытия.

Сформулируем требования, которым должно удовлетворять решённое судоку:

Каждое из этих требований должно выполняться ровно по 1 разу, т.е. они и формируют множество, которое надо покрыть. В нём ровно 4n 2 элементов (столбцов в матрице).

Подмножества, которые рассматриваем, формируются подстановкой конкретного числа в конкретную клетку. Например, число 9 на пересечении 1 строки и 4 столбца «накрывает» подмножество «в клетке (1,4) есть число, в 1 строке есть число 9, в 4 столбце есть число 9, во 2 квадранте есть число 9» (подразумевая обычное судоку 9×9).

После этого алгоритм решения пишется тривиально.

Проверим на каком-нибудь примере:

Вроде работает, и скорость приемлемая.

Надо отметить, что никаких приёмов специально для судоку (как, например, здесь или здесь) в алгоритм не закладывалось, если не считать специфического представления искомого множества и покрывающих элементов.

Источник

Сразу извиняюся за возможное повторение темы!

Необходима помощь в составлении алгоритма генерации массивов судоку.

Стандартный судоку представляет собой таблицу 9*9, заполненную цифрами от 1 до 9 по следующим правилам:
1)ни в одной строке не должно быть повторяющихся цифр

2)ни в одном столбце не должно быть повторяющихся цифр

3)двумерный массив разделен на сектора размерностью 3*3 клетки(таких секторов 9)
и в этих секторах не должно быть повторяющихся цифр

Повторяю, нужен именно алгоритм генерации исходной таблицы, а не алгоритм решения!

я смог додуматься только до такого:

с1:
1 2 3 4 //первая строка
1 2 3 4//вторая строка
1 2 3 4//третья строка
1 2 3 4//четвертая строка

тоже самое и для столбцов, и для секторов.

2)далее в двойном цикле по строкам и столбцам сначала определяем номер сектора(здесь у меня вообще сделано по дилетантски, кто подскажет более оптимальный алгоритм, буду премного благодарен) затем случайно определяем число от 1 до n, затем смотрим присутствует ли оно в массиве кандидатов на эту строчку, столбец и сектор. Если присутствует, то элементу массива судоку присваеваем это число, а в массивах кандидатов его зануляем.

Выглядит это примерно так:
Генерируем к примеру 12 элемент(все описываю для массива судоку 4*4). Номер его строки 3, номер столбца 4, номер сектора 4. Выпало число 3
тогда массивы кандидатов будут выглядеть так:

строки:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 0 4
1 2 3 4

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 0

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 0

Шаг 2 повторяем до тех пор, пока не будут сгенерированы верно все элементы.

Алгоритм у меня кривой, не хватает одного или нескольких пунктов. Если кто то знает каких пунктов не хватает у меня, или может поделиться своим алгоритмом, то прошу помочь.

в качестве реализации выбрал язык BС++:

Можно еще реализовать алгоритм рекурсивно(читал на сайтах), но я не понимаю что представляет из себя алгоритм перебора с возвратом и каким образом с помощью него можно реализовать данную задачу(читал еще про алгоритм раскраски графа)

если кто то знает ссылку на сайт, где объясняется мой вопрос, прошу поделиться.

ошибка в примере массивов кандидатов. Недосмотрел:

строки:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 0 4
1 2 3 4

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 0 4

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 0 4

Прогоняя по шагам программу(для массива 9*9), я понял что она зацикливается примерно в таких случаях:

2 7 4 1 9 3 6 8 5
3 6 8 4 5 7 2 1 9
1 9 5 8 6 2 4 3 7
8 4 2 7 2 5 1 9 3
5 3 9 4 2 8 7 6 X

То есть если в общей области строки и столбца (или сектора) попадается элемент который уже ставили, то программа зацикливается.

Как сделать обработчик таких ситуаций? Тут вроде нужна рекурсия (алгоритм перебора с возвратом наверное), но я не понимаю как этот алгоритм можно применить к данной ситуации.

Прочитал что представляет из себя рекурсия, ну и попытался сгенерировать массив диагональный массив судоку(там нет разделения на сектора, а есть только проверка в главной и побочной диагонали). Составил алгоритм, он описывается так:

1. первую ячейку таблицы назначаем произвольным образом
2. заполняем следующие ячейки:

а. назнаем произвольное число
б. если это число:
не содержится в текущем столбце, текушей строке, или находится на какой либо диагонали и не содержится в ней, то текущей ячейке присваиваем это число
в. если число не удовлетворяет описанным условиям, делаем откат на один шаг и назначаем другое число для предыдущей ячейки, удовлетворяющая описанным выше условиям

г. если число заполненных ячеек = 81, заканчиваем работу

Получилось написать програмку генерации правильного судоку с разделением на сектора, теперь встал вопрос о правильном удалении элементов в таблице таким образом, чтобы имелось одно решение. Я вроде составил алгоритм, он вот:

1. выбираем случайным образом координаты ячейки
2. если встретили ячейку с цифрой ноль(т.е. уже удаленную) то возвращаемся на шаг 1, иначе шаг 3
3. сохраняем значение ячеки в какой нибудь буфферной переменной и ставим цифру 0 в данную ячейку
4. восстанавливаем значение предыдущего удаленного элемента таблицы
5. если текущему (т. е. не предыдущему удаленному, а удаленному на данном шаге элементу) можно сопоставить более одного значения из набора 1 2 3 4 5 6 7 8 9 таким образом, чтобы они не противоречили правилам судоку,то возвращаемся на шаг 1, иначе данную ячейку оставляем с цифрой 0.

Источник

Как играть в Судоку? Правила головоломки «на пальцах»

Чтобы играть, просто нужно заполнить пустые ячейки таким образом, чтобы в каждой строке, столбце и поле 3×3 не было повторяющихся чисел. Это кажется простым объяснением, но когда начинаешь решать, понимаешь, что все не так просто. Это головоломка, требующая терпения, остроты зрения и рассуждений.

В зависимости от сложности Судоку, на его решение может уходить разное количество времени. Самые простые из примеров можно решить за несколько минут, а самые сложные — лишь за несколько часов.

Приведем несколько примеров разного уровня:

Правила игры Судоку

Правила очень просты. Каждая из строк состоит из 9 ячеек, в которые вы должны поместить ряд чисел от 1 до 9 в том порядке, который вы считаете подходящим, но не повторяя его и, очевидно, не оставляя ни одной из них для ввода.

В свою очередь, столбцы также имеют ту же структуру, только по вертикали, что и строки. При размещении в столбце числа вы должны учитывать, чтобы оно не повторялось в том же столбце.

Далее игра еще немного усложняется за счет введения в действие блоков размером 3×3 ячеек. Все они должны содержать полные серии чисел от 1 до 9.

Приведем пример нерешенного и решенного примера Судоку:

Способы и советы по решению Sudoku

Пожалуй, следует начать с нескольких простых практических советов:

Если вы начинаете играть в Судоку на сайте https://sudokuhit.com/ru/, лучше всего начинать с более легких уровней, а позже, когда у вас будет больше практики, увеличивайте сложность.

Хорошим подспорьем может быть написание возможных вариантов в ячейках, где вы пока что не знаете ответ. Так вам будет легче запомнить все возможности. Используйте для этого карандаш и ластик (если, конечно, вы играете не на компьютере).

Начните с квадратов 3×3 ячеек, содержащих наибольшее количество чисел.

Последовательность решения Судоку следующая:

Первое, что нужно сделать, это всмотреться в блоки 9×3 как по горизонтали, так и по вертикали, и оценить позиции размещенных чисел. Нужно это чтобы осуществить удаление чисел по регионам, когда это конечно возможно. Рассмотрим на примере:

Мы знаем, что тройка находится в последней позиции строки, поскольку, находясь внутри первого блока, она не позволяет быть еще одной тройке частью первых трех позиций самой верхней строки:

Это правило может быть расширено следующим образом — красные линии исключают позиции, где могла бы быть восьмерка (изображения 1 и 2) и двойка (изображение 3):

Когда невозможно обнаружить новые числа с помощью вышеописанного метода, полезно прибегнуть к вышеупомянутому совету и пометить в каждой ячейке номера чисел-кандидатов, которые ее займут.

После того, как числа-кандидаты выписаны, начинаем последовательное исключение, при котором выбираются возможные решения, пока не будет достигнуто окончательное решение. Это делается путем выбора одного из возможных вариантов в ячейке, и исходя из него выполняется новое сканирование. Впоследствии возможности, которые не приводят нас к решению, устраняются.

Важно заметить, что лучше всего начинать с тех ячеек, в которых меньше всего чисел-кандидатов.

Источник

Как сделать судоку своими руками

Любознашки: развивающие игрушки своими руками запись закреплена

СУДОКУ СО СЪЕМНЫМИ КАРТИНКАМИ

Небольшой мастер-класс, как сшить игру Судоку из фетра.

Все картинки будут съемные. Это очень удобно, так как можно самостоятельно делать разные варианты заданий.

Когда ребенок уже легко будет справляться с заданиями, можно предложить ему на пустом поле самостоятельно разложить картинки по правилам игры.

Здесь я показываю два варианта Судоку из фетра:
картинки крепятся при помощи липучки (лента велкро)
картинки крепятся при помощи магнитных кнопок

1. Вырезаем 25 квадратов размером 4*4 см.

2. На каждый квадратик пришиваем по пуговице.

8. Делим его на квадраты (я рисовала термоисчезающим маркером)

9. Пришиваем мягкую часть липучки.

Можно отдельно на каждый квадратик пришить липучку в виде небольшого кружочка или квадратика. Так будет экономнее по расходу липучки.

11. Прошиваем по линиям, делящим поле на квадраты.

Источник

Как решать судоку — способы, методы и стратегия

Правила судоку

Данная головоломка занимает мало места, в отличие от сканвордов, кроссвордов и так далее. Игровое поле, состоящее из 81 квадратов, ячейки разбиты на малые блоки, размером 3*3. Его можно легко уместить на листке бумаги. Задание выглядит в виде выборочно заполненных клеток, которые необходимо дополнить значениями и заполнить всю табличку. В судоку правила игры очень просты и позволяют исключить множественные решения. В каждой строке или столбце проставляются цифры от 1 до 9. Также значения не повторяются в рамках одного малого блока.

Судоку различаются по уровню сложности, который зависит от количества заполненных числами клеток и методов решения. Обычно различают около 5 уровней, где самый сложный способны решить только настоящие мастера.

Игра в судоку имеет свои правила и секреты. Наиболее простые головоломки можно решить за несколько минут с помощью дедукции, как есть так всегда, как минимум, одна клетка, для которой подходит только одно число. Сложные судоку можно разгадывать часами. Правильно составленная головоломка имеет только один способ решения.

Правила, как разгадывать судоку

Чтобы получить верное решение, необходимо учесть несколько простых правил:

Если оба пункта учтены, значит можно быть уверенным, что ячейка заполнена верно.

Как решать судоку простые?

Рассмотрим на конкретном примере как разгадывать судоку. Игровое поле на картинке представляет собой относительно простой вариант игры. Правила игры судоку для простых сводятся к выявлению зависимостей в горизонтальной и вертикальной плоскости и в отдельных квадратах.

Например, в центральной вертикали не хватает цифр 3, 4, 5. Четверка не может находиться в нижнем квадрате, так как в нем уже присутствует. Также можно исключить пустую центральную клетку, так как мы видим 4 в горизонтальной линии. Из этого делаем вывод, что она располагается в верхнем квадрате. Аналогично можем проставить 3 и 5 и получить следующий результат.

Проведя линии в верхнем среднем малом квадрате 3*3 можно исключить ячейки, в которых не может находиться цифра 3.

Разгадывать Продолжая подобным образом, необходимо заполнить оставшиеся ячейки. В результате получается единственно верное решение.

Такой метод некоторые называют «Последний герой» или «Одиночка». Он также используется в качестве одного из нескольких на мастерских уровнях. Среднее время, затрачиваемое на простой уровень сложности, колеблется около 20 минут.

Как решать сложные судоку?

Многие задаются вопросом, как решать судоку, есть ли стандартные методы и стратегия. Как и в любой логической головоломке есть. Самый простой из них мы рассмотрели. Чтобы перейти на более высокий уровень, необходимо иметь больший запас времени, усидчивость, терпение. Для решения головоломки придется делать предположения и, возможно, получать неверный результат, возвращающий к месту выбора. По сути судоку сложные – это как решать задачу с помощью алгоритма. Рассмотрим несколько популярных методик, применяемых профессиональными «судокуведами» на следующем примере.

В первую очередь необходимо заполнить пустые ячейки возможными вариантами, чтобы максимально облегчить решение и иметь перед глазами полную картину.

Ответ, как решить судоку сложные для каждого свой. Кому то удобнее использовать разные цвета для окрашивания ечеек или цифр, кто то предпочитает черно-белый вариант. На рисунке видно, что нет ни одной ячейки, в которой бы стояла единственная цифра, однако, это не говорит о том, что в данном задании нет одиночек. Вооружившись правилами судоку и внимательным взглядом, можно увидеть, что в верхней строке среднего малого блока стоит цифра 5, которая встречается единожды в своей линии. В связи с этим можно смело проставить ее и исключить из ячеек, окрашенных в зеленый цвет. Данное действие повлечет за собой возможность проставить цифру 3 в оранжевой клетке и смело вычеркнуть ее из соответствующик фиолетовых по вертикали и малом блоке 3*3.

Таким же образом проверяем остальные клеточки и проставляем единицы в обведенных клетках, так как они также являются единственными в своих строках.

Чтобы разобраться, как решать судоку сложные, необходимо вооружиться несколькими простыми методами.

Метод «Открытые пары»

Чтобы очистить поле дальше, необходимо найти открытые пары, которые позволяют исключить имеющиеся в них цифры из других ячеек в блоке и строках. В примере такими парочками являются 4 и 9 из третьей строки. Они наглядно показывают, как разгадывать сложные судоку. Их комбинация говорит о том, что в данных клетках могут быть проставлены исключительно 4 или 9. Этот вывод делается на основании правил судоку.

Из выделенных зеленым ячеек можно удалить значения синих и тем самым сократить количество вариантов. При этом располагающаяся в первой строке комбинация 1249 называется по аналогии «открытой четверкой». Также можно встретить «открытые тройки». Такие действия влекут за собой появление других открытых пар, например 1 и 2 в верхней строке, которые также дают возможность сузить круг комбинаций. Параллельно проставляем в обведенной ячейке первого квадрата 7, так как пятерка в данной строке в любом случае будет располагаться в нижнем блоке.

Метод «Скрытые пары/тройки/четверки»

Данный метод является противоположным к открытым комбинациям. Его суть заключается в том, что необходимо найти ячейки, в которых повторяются цифры в рамках квадрата/строки, не встречающиеся в других клеточках. Как это поможет разгадывать судоку? Прием позволяет вычеркнуть остальные цифры, так как они служат фоном и не могут быть проставлены в выбранные клетки. Данная стратегия имеет несколько других названий, например «Ячейка не резиновая», «Тайное становится явным». Сами имена объясняют суть метода и соответствие правилу, говорящему о возможности проставить единственную цифру.

Примером могут служить окрашенные в голубой цвет клетки. Цифры 4 и 7 встречаются исключительно в этих ячейках, поэтому остальные можно смело удалить.

Подобно действует система сопряжения, когда можно исключить из ячеек блока/строки/столбца значения, несколько раз встречающееся в соседнем или сопряженном.

Перекрестное исключение

Принцип того, как разгадывать судоку, заключается в умении анализировать и сопоставлять. Еще одним способом исключить варианты является наличие какой-либо цифры в двух столбцах или строчках, которые пересекаются между собой. В нашем примере подобной ситуации не встретилось, поэтому рассмотрим другой. На картинке видно, что «двойка» встречается во втором и третьем среднем блоке единожды, при комбинации чем связаны, и взаимоисключают друг друга. Исходя из этих данных, цифру 2 можно удалить из других ячеек в указанных столбцах.

Также можно применять для трех и четырех строк. Сложность метода заключается в трудностях визуализации и выявления связей.

Метод «Сокращение»

В результате каждого действия количество вариантов в ячейках сокращается и решение сводится к методу «Одиночка». Этот процесс можно назвать сокращением и выделить в отдельный метод, так как он предполагает тщательный анализ всех строк, столбцов и малых квадратов с последовательным исключением вариантов. В итоге мы приходим к единственному решению.

Цветовой метод

Данная стратегия мало отличается от описанной, и заключается в цветовой индикации ячеек или цифр. Способ помогает визуализировать весь ход решения, однако, подходит не всем. Некоторых расцветка сбивает и мешает сосредоточиться. Чтобы грамотно использовать гамму, необходимо выбрать два-три цвета и окрашивать в них одинаковые варианты в разных блоках/линиях, а также спорные ячейки.

Чтобы разобраться, как решать судоку, лучше вооружиться ручкой и бумагой. Такой подход позволит натренировать голову, в отличие от использования электронных алгоритмов с наличием подсказок. Команда BrainApps рассмотрела несколько наиболее популярных, понятных и действенных методик, однако, существует множество других алгоритмов. Например, метод «Проб и ошибок», когда выбирается пробный вариант из двух или трех возможных и проверяется вся цепочка. Недостатком данной методики является необходимость использовать компьютер, так как на листке бумаги к исходному варианту вернуться не так просто.

Источник