Как узнать что треугольники равны
Как узнать что треугольники равны
Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами.
Треугoльник — жесткая фигура. Это свойство используют при строительстве мостовых арок, конструировании подъемных кранов и т.д. Свойства треугольника системно изложены в «Началах» Эвклида. Знак для обозначения треугольника еще в I в. н.э. применил древнегреческий учений Герон, а знак Δ применяется с IV в. н.э.
Медиана, биссектриса и высота треугольника
Равные треугольники
Аксиома существования треугольника, равного данному.
Каким бы ни был треугольник, существует треугольник, равный ему в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Свойства равных треугольников
1. В равных треугольниках соответствующие стороны равны.
2. В равных треугольниках соответствующие углы равны.
3. Периметры равных треугольников равны.
4. Площади равных треугольников равны.
5. Против равных сторон лежат равные углы.
6. Против равных углов лежат равные стороны.
Признаки равенства треугольников
Дополнительные признаки равенства
• Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, такие треугольники равны.
• Если два угла и высота,проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.
• Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам,на которые она делит угол, другого треугольника, эти треугольники равны.
Это конспект по теме «Треугoльник. Равенство треугольников». Выберите дальнейшие действия:
Треугольник. Признаки равенства треугольников.
Треугольник – геометрическая фигура, сформированная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не принадлежащие одной прямой.
Стороны треугольника формируют в вершинах треугольника три угла. Перефразируя, треугольник – это многоугольник, у которого три угла.
Практическое значение признаков равенства треугольников сводится к нижеследующему: согласно формулировке треугольники равны, в случае когда получается их наложить друг на друга так, чтобы они совпали; однако реализовать наложение треугольников иногда бывает трудно, а иногда и невозможно.
Признаки равенства треугольников позволяют заменить наложение треугольников нахождением и сопоставлением отдельных основополагающих компонентов (сторон и углов) и таким образом обосновать равенство треугольников.
У равных треугольников тождественны и их соответствующие элементы.
И так треугольники равны, если у них соответственно равны:
1. Две стороны и угол между ними:
2. Сторона и прилежащие к ней два угла:
Еще выделяют четвертый признак, который не так широко освещен в школьном курсе математики как предыдущие три. Он формулируется следующим образом:
Если две стороны первого треугольника соответственно равны двум сторонам второго треугольника и угол, противолежащий большей из этих сторон в первом треугольнике, равен углу, противолежащему соответственно равной ей стороне во втором треугольнике, то эти треугольники равны.
Признаки равенства треугольников
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Первый признак равенства треугольников
Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.
Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.
Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.
Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.
Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.
AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.
CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.
Вершина B совпадает с вершиной B1.
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство 3 признака равенства треугольников:
Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.
Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.
Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.
Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.
Признаки равенства треугольников
Треугольники и признаки равенства между ними — тема, которую проходят на уроках геометрии в 7 классе. Принято выделять несколько признаков равенства — три из них являются основными, их нужно помнить каждому человеку. Напомним, какие три признака дают основания говорить о равенстве треугольников.
Первый признак равенства треугольников: равенство двух сторон и смежного угла
Первое из правил формулируется следующим образом: равны между собой будут те треугольники, у которых совпадают длины двух сторон и находящийся между этими сторонами внутренний угол.
Иными словами, при наложении треугольники точно совпадут друг с другом по контурам.
Второй признак равенства треугольников: равенство двух углов и расположенной между ними стороны
Второе из правил формулируется иначе — о равенстве между двумя треугольниками можно говорить в том случае, когда у них совершенно аналогичны два из трех углов и одна сторона, лежащая между рассматриваемыми углами.
Третий признак равенства треугольников: равенство всех трех сторон
И наконец, наиболее простым можно считать третий признак. В нем говорится о том, что равенство двум треугольникам обеспечивают три равные стороны — если это правило выполняется, то измерять углы уже не нужно.
Иными словами, если в треугольниках ВСА и АДЕ равны между собой стороны ВС и АД, СА и ДЕ, ВА и АЕ, то и сами геометрические фигуры — совершенно одинаковые.
Зная всего три основных признака равенства, можно с легкостью решать многие геометрические задачи. Например, если в задании даны два равных треугольника, и необходимо найти для них неизвестную сторону, необязательно проводить вычисления для каждого треугольника отдельно.
Можно установить длину неизвестной стороны только для одной из фигур — а потом доказать по одному из признаков, что треугольники являются равными. Таким образом, неизвестная сторона второго треугольника по умолчанию будет равна длине стороны в первой геометрической фигуре.
Признаки равенства треугольников
теория по математике 📈 планиметрия
Существует три признака равенства треугольников, которые используют для доказательства равенств треугольников при решении задач.
По двум сторонам и углу между ними
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
На рисунке изображены два треугольника, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1, угол А равен углу А1. Равные элементы показаны одинаковым количеством штрихов (для сторон) или дуг (для углов). В соответствии с формулировкой первого признака данные треугольники будут равны. Кратко можно сказать, что треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
По стороне двум прилежащим к ней углам
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
На рисунке изображены два треугольника, у которых АВ=А1В1, угол А равен углу А1, а угол В равен углу В1. В соответствии с формулировкой второго признака данные треугольники будут равны. Кратко можно сказать, что треугольники равны по стороне и прилежащим к ней углам.
По трем сторонам
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
На рисунке изображены два треугольника, у которых АВ=А1В1, ВС=В1С1, АС=А1С1. В соответствии с формулировкой третьего признака данные треугольники будут равны. Кратко можно сказать, что треугольники равны по трем сторонам.