Какая матрица называется квадратной что понимается под ее порядком

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2. m; j=1,2. n).

Числа a_ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи a_ij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Побочная диагональ матрицы

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. a_ij=0, при всех i T ).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

Источник

Какая матрица называется квадратной что понимается под ее порядком

Матрицей размерности m×n называется таблица чисел a_ij, содержащая m строк и n столбцов. Числа a_ij называются элементами этой матрицы, где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Матрица, содержащая m строк и n столбцов, имеет вид:

Виды матриц:
1) при m=n – квадратная, в данном случае n называют порядком матрицы;
2) квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю – диагональная;
3) диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице – единичная и обозначается E;
4) при n≠m – прямоугольная;
5) при m=1 – матрица-строка (вектор-строка);
6) при n=1 – матрица-столбец (вектор-столбец);
7) при всех a_ij =0 – нулевая матрица.

Заметим, что основной числовой характеристикой квадратной матрицы является ее определитель. Определитель, соответствующий матрице n-го по-порядка, также имеет n-ый порядок.

Дадим ряд необходимых определений.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число

Минором М_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий две пропорциональные (равные) строки (столбца), равен нулю.

4. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой его строки (столбца), предварительно умноженные на любое число.

7. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

Поясним данное свойство на примере определителя 3-го порядка. В данном случае свойство 7 означает, что

Свойство 7 представляет собой теорему о разложении определителя, сформулированную Лапласом.

8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.

Последнее свойство часто называют псевдоразложением определителя.

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Главная диагональ

Особые виды

Диагональная или треугольная матрица

Единичная матрица

Обратимая матрица и ее обратная

Симметричная или кососимметричная матрица

По спектральной теореме вещественные симметричные (или комплексные эрмитовы) матрицы имеют ортогональный (или унитарный) собственный базис ; т.е. каждый вектор может быть выражен как линейная комбинация собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения действительны.

Определенная матрица

принимает только положительные значения (соответственно только отрицательные значения; как некоторые отрицательные, так и некоторые положительные значения). Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно-полуопределенной (соответственно отрицательно-полуопределенной); следовательно, матрица неопределенна именно тогда, когда она не является ни положительно-полуопределенной, ни отрицательно-полуопределенной.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны. В таблице справа показаны две возможности для матриц 2 × 2.

Использование в качестве входных данных двух разных векторов вместо этого дает билинейную форму, связанную с A :

Ортогональная матрица

что влечет за собой

Нормальная матрица

Операции

Это сразу следует из определения умножения матриц:

Кроме того, след матрицы равен следу ее транспонирования, т. Е.

Детерминант

Определитель матриц 2 × 2 задается формулой

Определитель матриц 3 × 3 включает 6 членов ( правило Сарруса ). Более длинная формула Лейбница обобщает эти две формулы на все измерения.

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей:

Собственные значения и собственные векторы

Число λ и ненулевой вектор, удовлетворяющие v <\ displaystyle \ mathbf >

Источник

Виды матриц

Виды матриц не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Диагональные матрицы

Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.

Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.

Треугольные матрицы

Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Ступенчатая матрица

Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

Другое определение ступенчатой матрицы.

$$A=\left(\begin a_ <11>& a_ <12>& a_ <13>& \ldots & a_ <1 r>& \ldots & a_ <1 n>\\ 0 & a_ <22>& a_ <23>& \ldots & a_ <2 r>& \ldots & a_ <2 n>\\ 0 & 0 & a_ <33>& \ldots & a_ <3 r>& \ldots & a_ <3 n>\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a_ & \ldots & a_ \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end\right)$$

Другое определение ступенчатой матрицы.

Примеры ступенчатых матриц:

Примеры матриц, которые не являются ступенчатыми:

Решение. Проверяем выполнение условий из определения:

Источник

Виды матриц с примерами

В данной публикации мы рассмотрим, какие виды матриц существуют, сопроводив их практическими примерами для демонстрации изложенного теоретического материала.

Напомним, что матрица – это некая прямоугольная таблица, состоящая из столбцов и строк, которые заполнены определенными элементами.

Виды матриц

1. Если матрица состоит из одной строки, она называется вектор-строкой (или матрицей-строкой).

2. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектором-столбцом (или матрицей-столбцом).

4. Нулевая – матрица, все элементы которой равняются нулю ( a_ij = 0).

5. Диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением расположенных на главной диагонали, равняются нулю. Одновременно является верхней и нижней треугольной.

6. Единичная – это разновидность диагональной матрицы, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Обычно обозначается буквой E.

7. Верхняя треугольная – все элементы матрицы ниже главной диагонали равны нулю.

8. Нижняя треугольная – матрица, все элементы которой выше главной диагонали равняются нулю.

9. Ступенчатая – матрица, для которой выполняются следующие условия:

Источник