Какие углы называются смежными чему равна сумма смежных углов геометрия
Углы. Смежные углы.
Какие углы называются смежными?
Смежными углами называется пара углов с общей вершиной и одной
общей стороной. 2 оставшиеся стороны делают продолжение друг
другу, образовывая прямую линию. Для угла 135 градусов смежным
будет угол равный 45 градусам. Для угла x градусов смежным
является угол (180 – x) градусов.
Два смежных угла — это углы, с одной общей стороной, а остальные стороны находятся на одной прямой.
При пересечении 2-х прямых получается 4-ре пары смежных углов:
Но, так как ∠1 =∠4, ∠2 = ∠3 (как вертикальные), то достаточно рассматривать
только одну из этих пар.
Свойство смежных углов.
Чему равна сумма смежных углов?
Смежные углы равны: сумма смежных углов 180º.
Следствия из теоремы о смежных углах.
Тригонометрические соотношения.
противоположные знаки (исключение неопределенные значения).
Задание. Чему будет равна градусная мера угла α, когда градусная мера смежного ему угла = 70°?
Как найти смежный угол?
Решение. Из теоремы о смежных углах находим:
Какие углы называются смежными чему равна сумма смежных углов геометрия
Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a1b) и (a2b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a1 и a2 являются дополнительными полупрямыми.
Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.
Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.
Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a1b1) и (a2b2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a1b2) является смежным с углом (a1b1) и с углом (a2b2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a1b1) и (a2b2) дополняет угол (a1b2) до 180°, т.е. углы (a1b1) и (a2b2) равны. Что и требовалось доказать.
Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.
Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».
Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b1.
Углы (a1b1) и (a1c1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a1. Но от полупрямой a1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.
Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.
Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.
Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
Какие углы называются смежными чему равна сумма смежных углов геометрия
Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a1b) и (a2b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a1 и a2 являются дополнительными полупрямыми.
Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.
Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.
Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.
Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a1b1) и (a2b2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a1b2) является смежным с углом (a1b1) и с углом (a2b2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a1b1) и (a2b2) дополняет угол (a1b2) до 180°, т.е. углы (a1b1) и (a2b2) равны. Что и требовалось доказать.
Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.
Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».
Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b1.
Углы (a1b1) и (a1c1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a1. Но от полупрямой a1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.
Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.
Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.
Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
Углы. Смежные углы.
Какие углы называются смежными?
Смежными углами называется пара углов с общей вершиной и одной
общей стороной. 2 оставшиеся стороны делают продолжение друг
другу, образовывая прямую линию. Для угла 135 градусов смежным
будет угол равный 45 градусам. Для угла x градусов смежным
является угол (180 – x) градусов.
Два смежных угла — это углы, с одной общей стороной, а остальные стороны находятся на одной прямой.
При пересечении 2-х прямых получается 4-ре пары смежных углов:
Но, так как ∠1 =∠4, ∠2 = ∠3 (как вертикальные), то достаточно рассматривать
только одну из этих пар.
Свойство смежных углов.
Чему равна сумма смежных углов?
Смежные углы равны: сумма смежных углов 180º.
Следствия из теоремы о смежных углах.
Тригонометрические соотношения.
противоположные знаки (исключение неопределенные значения).
Задание. Чему будет равна градусная мера угла α, когда градусная мера смежного ему угла = 70°?
Как найти смежный угол?
Решение. Из теоремы о смежных углах находим:
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Свойства смежных углов:
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.
Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.
Давайте докажем это свойство.
Укажем ещё одно свойство смежных углов.
Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.
Углы, которые не являются смежными:
∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.
Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов
Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.
На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.
В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.
№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.
Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.
№3. Тип задания: выделение цветом.
Выделите верный ответ из списка:
60 0 ; 30 0 ; 75 0 ; 90 0
