Какими способами можно задать множество что такое пустое множество

Понятие множества. Способы задания множеств.

Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.

Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец «канторовскому раю». Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием «парадокс брадобрея» звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, – а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей – вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали «наивной». Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая «аксиома выбора». Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.

Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.

Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:

А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:

Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:

Простыми числами именуют такие натуральные числа большие 1, которые делятся лишь на 1 или на самое себя. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Для сравнения: число 12 не является простым числом, так как оно делится не только на 12 и 1, а ещё и на иные числа (например, на 3). Число 12 является составным.

Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.

$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$

Введём ещё одно определение – универсальное множество.

Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:

Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.

Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.

Примечание относительно терминологии: показать\скрыть

Вообще говоря, тут есть некая путаница в терминологии. Приведённое выше определение несобственных множеств принято в американской и части отечественной литературы. Однако в другой части отечественной литературы есть несколько иная трактовка понятия несобственных множеств.

Иными словами, пустое множество в такой трактовке исключается из собственных подмножеств и переходит в разряд несобственных. Выбор терминологии – дело вкуса.

Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.

Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.

Ответ: Утверждения в пунктах №1, №2, №4 – истинны.

Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.

Способы задания множеств.

Первый способ – это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:

$$P(x)=»x\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

$$P(27)=»27\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

$$P\left(\frac<2><5>\right)=»\frac<2><5>\; – \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7″$$

Третий способ – задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).

$$3^1=1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$

Обычно при задании множества с помощью таких правил (которые часто называют рекурсивными или индуктивными) третий пункт подразумевается, но не оговаривается явно. Но нужно иметь его в виду.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Источник

§1. Множества и операции над ними

Объяснение и обоснование

В курсах алгебры и алгебры и начал математического анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество М состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: М = <1; 2; 3>. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества М), записывается с помощью специального значка ∈ следующим образом: 2 ∈ М; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: 5 ∉ М.

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например: множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом ∅, множество всех натуральных чисел — буквой N, множество всех целых чисел — буквой Z, множество всех рациональных чисел — буквой Q, а множество всех действительных чисел — буквой R.

Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества А = <7>и M = <1; 2; 3>— конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества N, Z, Q, R — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило (характеристическое свойство), которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, А = <–1; 0; 1>(множество задано перечислением элементов), B — множество всех четных целых чисел (множество задано характеристическим свойством всех элементов множества). Последнее множество иногда записывают так: B = или так: B = ∈ Z> — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое свойство*.

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: A = , где P (x) — характеристическое свойство. Например, = < –1, 1>, ∈ R и x2 + 1 = 0> = ∅.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, <1; 2; 2>= <1; 2>, поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Если каждый элемент множества A является элементом множества B, то говорят, что множество A является подмножеством множества B.

Это записывают следующим образом: A ⊂ B.

Например, <1; 2>⊂ <0; 1; 2; 3>, N ⊂ Z (поскольку любое натуральное число — целое), Z ⊂ Q (поскольку любое целое число — рациональное), Q ⊂ R (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда ∅ ⊆ A, то есть пустое множество является подмножеством любого множества.

Иногда вместо записи A ⊂ B используется также запись A ⊆ B.

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества А и В равны, то: 1) каждый элемент множества А является элементом множества В, следовательно, А — подмножество В (A ⊆ B); 2) каждый элемент множества В является элементом множества А, следовательно, В — подмножество А (B ⊆ A). Таким образом,

два множества равны тогда и только тогда, когда каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера–Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами N, Z, Q, R.

Источник

Множество и его элементы. Подмножества

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Множество людей в салоне самолёта

Множество деревьев в парке

Множество планет Солнечной системы

Множество электронов в атоме

Множество натуральных чисел

Множество «синих-синих презелёных красных шаров»

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Помидоры на грядке

Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)

Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]

Полосатые летающие слоны

Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Множество всех континентов Земли:

Множество букв слова «математика»:

Множество натуральных чисел меньших 5:

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

D = – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

Источник

Теоретический материал на тему «Общие понятия теории множеств. Операции над множествами и их свойства.»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Множество – определенная совокупность объектов.

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества .

Множество домов на данной улице, множество натуральных чисел, множество студентов группы и т. д.

Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым (обозначается: Ø).

Множества из элементов которого составляем конкретное множество называется универсальным ( обозначается: U ).

U – множество людей на земле, А – студенты группы Эп-305.

Тема 2.2. Способы задания множеств

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами:

1) Перечислением всех элементов множества в фигурных скобках.

Р( x ) = x N x характеристический предикат.

M = < x : Р( x )> или M = < x : x N x

Множество M можно задать и перечислением его элементов:

Если множество состоит из небольшого количества элементов, то его удобно задавать перечислением всех элементов, если же элементов много или множество имеет бесконечное число элементов, то оно задается с помощью характеристического предиката.

Тема 2.3. Операции над множествами

Множество А называется подмножеством м ножества В, если все элементы множества А содержатся во множестве В.

# Пустое множество Ø является подмножеством всех множеств.

# Универсальное множество U содержит все множества.

# Если , то В надмножество А .

А=<0, 1, 2, 3>, В=<0, 1>, .

2) Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы обоих множеств.

.

3) Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из общих элементов обоих множеств.

А=<К, А, Т, Я>, В=<К, О, С, Т, Я>, =<К, Т, Я>.

4) Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А не содержащихся в В.

5) Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А не содержащихся в В и всех элементов множества В не содержащихся в А.

,

Степенью множества называется декартовое произведение множества A само на себя n раз.

, .

Свойства операций над множествами

4) Закон поглощения.

А Ø = А

А Ø = Ø

8) Свойство единицы.

9) Закон де Моргана

Мощностью к онечного множества называется число его элементов.

Мощность множества X обозначается: | X |

Источник

Множества и операции над ними для старших школьников

Юлия Мехонцева
Множества и операции над ними для старших школьников

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

1. Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не имеет точного определения и, как правило, объясняется с помощью примеров.

Дадим следующее интуитивное определение понятия множества:

Множество – определенная совокупность объектов.

Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множество домов на данной улице, множество натуральных чисел, множество студентов группы и т. д.

Множества обычно обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, D, X, Y, элементы множества строчными латинскими буквами – a, b,c, d, x, y…

Для обозначения того, что объект x является элементом множества A,используют символику: x А (читается: x принадлежит А, запись x А обозначает, что объект x не является элементом множества A (читается: x не принадлежит А).

Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым (обозначается🙂.

Множества из элементов которого составляем конкретное множество называется универсальным (обозначается: U).

U – множество людей на земле, А – студенты группы Эп-305.

Множества можно изображать с помощью кругов, которые называются кругами Эйлера или диаграммами Венна, универсальное множество принято обозначать прямоугольником.

Множество Название множества 3 элемента множеств

N Натуральные числа 1,2,3

Q Рациональные числа 0,5;-7,2;17

R Действительные числа

3.4. Способы задания множеств

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат.Это можно сделать различными способами:

1) Перечислением всех элементов множества в фигурных скобках.

2)Характеристическим предикатом, который описывает свойство всех элементов, входящих в множество. Характеристический предикат записывается после двоеточия или символа «|».

Р(x) = x N x Презентация «Мы любим мир живого. Кто спас шмеля?» Истории с раскрасками для старших дошкольников и младших школьников» ЛЮБИТЬ И ЗНАТЬ ПРИРОДУ Вы должны знать, что нельзя поймать ежика и принести его домой, нельзя поймать белочку и посадить ее в клетку. Какая.

Презентация «Мы не можем друг без друга» — учим старших дошкольников и младших школьников придумывать чистоговорки» Детей, начиная со старшего дошкольного возраста, не очень сложно научить придумывать рифмовки, ритмовки и чистоговорки. Например, для сочинения.

Презентация «Развитие в игровой форме мышления и речи у старших дошкольников и младших школьников «Все мы разные» Дорогие воспитатели, педагоги и родители! Предлагаю следующую презентацию, из серии пособий для развития мышления, речи и пополнения словарного.

Презентация «Семейное чтение с раскрасками «Подружка — совесть» для старших дошкольников и младших школьников Многие родители в своем желании доставить своим детям различные удовольствия, сделать их жизнь возможно более радостной, помнят о книгах.

Презентация «Стихи о характерах с раскрасками «Нам нравится учиться» для старших дошкольников и младших школьников» Сидели как-то дети во дворе и громко распевали: Солнышко, ядрышко, Выгляни в окошко, Нас согрей немножко! По улице шел дедушка. Он засмеялся.

Презентация «Стихи с раскрасками для старших дошкольников и младших школьников о характерах «О нашей любознательности» Дорогие мои воспитатели, педагоги и родители, заинтересованные в позитивном воспитании детей! Продолжаю публиковать небольшие подборки детских.

«Пришли Святки-а с ними и Колядки». Сценарий фольклорного праздника для старших дошкольников После новогодних праздников детям хочется продления сказки. Поэтому мы с педагогами воплощаем мечту в реальность. Готовим совместными.

Сценарий конкурсной литературной игры для старших дошкольников и младших школьников «По страницам любимых книг» Предварительная подготовка: игра построена по принципу телевизионной игры «Своя игра». Группа детей делится на 2 команды. Каждая команда.

Сценарий новогоднего представления для школьников средних и старших классов «Новогодний круиз со Снегурочкой» МБУДО «Дом пионеров и школьников Кувандыкского городского округа Оренбургской области» Сценарий новогоднего представления для школьников.

Стихотворение ко Дню Победы для старших дошкольников и младших школьников «ПИСЬМО С ФРОНТА» Рисунок Буянова Никиты Приближается великая дата – 75-летие Победы! И верно нет человека в нашей стране, не думающего,.

Источник