Какова вероятность того что при пяти подбрасываниях монеты орел выпадет два раза
Какова вероятность того что при пяти подбрасываниях монеты орел выпадет два раза
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Обозначим выпадение орла буквой О, а выпадение решки буквой Р. Возможных восемь исходов:
OOO, OОР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР
Из них благоприятными являются OОР, ОРО и РОО. Поэтому искомая вероятность равна 
то есть 0,375. (Этот подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки.)
Приведем другое решение.
Каждое бросание с равной вероятностью может дать орел или решку, поэтому для трех бросаний равновозможны 
различных вариантов. Орел выпадает ровно два раза в трех случаях: орел-решка-орел, решка-орел-орел, орел-орел-решка. Поэтому вероятность этого события 
Приведем решение, основанное на комбинаторных формулах.
Общее количество различных вариантов описывается формулой для размещений с повторениями: 
Количество способов получить ровно три орла дается перестановками с повторениями 
Искомая вероятность равна отношению благоприятных случаев ко всем возможным:
Приведем решение, использующее теоремы о вероятностях.
Возможны три варианта: орел-орел-решка, орел-решка-орел, решка-орел-орел. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Вероятность выпадения монетки одной стороной и дважды — другой стороной равна 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Выбрать из этих «трех» сторон два орла можно 
способами. Следовательно, искомая вероятность равна 0,375.
Примечание. Последнее рассуждение — не что иное, как вывод формулы Бернулли для нашего случая. В общем случае, если проводится 
испытаний, в каждом из которых некоторое событие наступает в вероятностью p, то вероятность наступления этого события ровно 
раз дается формулой 
Задачи 891-900
891. Имеются три одинаковые на вид коробки. В первой коробке 10 белых и 5 черных шаров, во второй – 8 белых и 8 черных шаров, а в третей – только черные. Наугад берется коробка, а из нее шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
892. В продаже имеются телевизоры трех заводов: 30% телевизоров первого завода, 40% – второго завода, 30% – третьего. Продукция первого завода не содержит невидимого дефекта с вероятностью 0,92, второго завода – с вероятностью 0,87, а третьего – 0,85. Какова вероятность того, что купленный наугад телевизор окажется исправным?
893. Проводятся два независимых выстрела снарядами по цели с вероятностью попадания 0,6 при каждом выстреле. Цель поражается с вероятностью 0,5 при попадании в нее оного снаряда и с полной вероятностью при двух попаданиях. Какова вероятность того, что цель будет уничтожена?
894. Два завода изготовляют одинаковые реактивы, причем 8% пачек первого і 6% второго завода имеют количество примесей, больше допустимого. На складе имеется 200 пачек реактивов первого завода и 300 пачек второго завода. Взятая наугад пачка реактива оказалась нормальной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом заводе?
895. Пять раз бросают монету. Какова вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза? Хотя бы 2 раза?
Решение. Вероятность выпадения орла(решки) при многократном подбрасывании монеты вычисляется по формуле Бернулли, где p=0,5, q=1-p=0,5. Вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза:
p5(2) = C52· p2· q5-2 = 10· (0,5)2· (0,5)3 = 0,3125.
Какова вероятность того что при пяти подбрасываниях монеты орел выпадет два раза
Задача 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Общее число равновозможных комбинаций может быть четыре:
«орел-орел», «орел-решка», «решка-орел», «решка-решка».
Из них благоприятных исходов по условию задачи два – это «орел-решка» и «решка-орел». Следовательно, искомая вероятность, равна
.
Задача 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза.
1-й способ: Решать эту задачу можно аналогично предыдущей. Всего исходов может быть 8:
Благоприятных исходов по условию задачи 3 – это «орел-решка-решка», «решка-орел-решка», «решка-решка-орел». И искомая вероятность равна
.
2-й способ. В рамках данной задачи общее число исходов можно определить по формуле
,
где 
— число подбрасываний монеты (в данном случае 
), а 2 – число возможных исходов при подбрасывании монеты (либо «орел», либо «решка»). Таким образом, сразу получаем число исходов 
.
Число благоприятных исходов можно определить по формуле
,
где 
— число выпадения «решки» из подбрасываний. В данной задаче 
и
.
В итоге получаем искомую вероятность
.
Второй способ может существенно сократить время на решение подобных задач, особенно когда речь идет о четырех и более подбрасываний монеты. В этом случае перебирать все варианты и не ошибиться становится трудно, и применение указанных формул существенно облегчает задачу.
Задача 3. В случайном эксперименте монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно три раза.
В данной задаче имеется только один благоприятный исход из восьми равновероятных исходов:
Следовательно, искомая вероятность равна
.
Общее число исходов также можно определить по формуле , приведенной в предыдущей задаче.
Задача 4. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Изумруд» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Изумруд» выиграет жребий ровно один раз.
Будем считать, что выпадение «орла» соответствует началу игры мячом команды «Изумруд». Тогда задача сводится к определению вероятности выпадения «орла» ровно один раз из трех бросаний монеты.
Всего исходов 8 (см. предыдущие задачи). Из них «орел» выпадет ровно один раз в 
вариантах – это случаи: «орел-решка-решка», «решка-орел-решка», «решка-решка-орел». Следовательно, искомая вероятность равна
.