Какова вероятность того что сумма трех наудачу взятых отрезков длина каждого

Мои студенты эту задачу не решили. Действительно, она довольно громоздка для ограниченного времени и нервного состояния контрольной. Думаю, она решается аккуратным перебором случаев. Но нет ли у этой задачи более изящного решения?

задан 1 Май ’12 23:53

DocentI
9.9k ● 2 ● 19 ● 52
80&#037 принятых

6 ответов

отвечен 2 Май ’12 18:41

вообще-то, нужно еще доказать, что «неблагоприятствующие» области не пересекаются.

отвечен 2 Май ’12 0:40

Тогда второй «тетраэдр» превращается в более сложный многогранник. Поэтому я и говорила и «переборе случаев».

отвечен 2 Май ’12 15:17

Но все-таки интересно, нет ли какого-нибудь хитрого рассуждения, которое давало бы ответ 1/2 без интегралов?

отвечен 2 Май ’12 14:06

Обозначим отрезки a, b и d (это не длины, а обозначения отрезков). Пусть d будет наибольшим. Тогда возможно 2 исхода: (a + b) > = d и (a + b) ссылка

отвечен 3 Май ’12 8:31

Получается, что ответ не зависит от ограничений на переменные? Если считать, что сумма длин не превосходит 1 (как сначала думал А.Ю.), то ответ будет только 1/4.

Есть вариант этой задачи, когда на отрезок случайно, равномерно и независимо бросаются две точки. Отрезок оказывается разбит на три части, и спрашивается, с какой вероятностью можно из них составить треугольник.

отвечен 20 Мар ’13 19:21

Ничего себе! Какие серьезные аналогии для учебной задачи! Большое спасибо за идею!

Здравствуйте

Источник

Теория вероятностей (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

3. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь две окрашенные стороны.

Ответ: Р(А) » 0,264×10-2; Р(В) » 0,0106; Р(С) » 0,2813; Р(Д) » 0,355×10-3.

6. Группа из восьми человек занимает места с одной стороны прямоугольника стола. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом, если: а) число мест равно 8; б) число мест равно 12.

7. Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из семи цифр, причем все комбинации цифр равновероятны, найти вероятности следующих событий:

8. Десять книг на одной полке расставлены наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.

Ответ: .

9. Определить вероятность того, что выбранное наудачу целое число N при а) возведении в квадрат; б) возведении в четвертую степень; в) умножении на произвольное число даст число, оканчивающееся единицей.

Ответ: а) р = 0,2; б) р = 0,4; в) р = 0,04.

10. Из разрезной азбуки выкладывается слово «математика». Затем все буквы этого слова тщательно перемешиваются и снова складываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово «математика»?

Ответ: .

11. На отрезке [-1; 2] наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма больше единицы, а произведение меньше единицы?

12. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит будет меньше

13. Два лица условились встретиться в определенном месте между 15 и 16 часами дня. Пришедший первым ждет второго 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждое лицо наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 15 до 16 часов).

§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ

2.1. Алгебра событий

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, причем название этих операций определяется их свойствами. Если операции обладают свойствами арифметических действий над числами, то их называют операциями сложения и умножения. Таковы, например, операции сложения и умножения векторов, сложения и умножения матриц и т. д. Эти операции позволяют не только упростить форму записи, но и во многих случаях облегчить логическое построение научных выводов. Введение таких операций над событиями плодотворно и в теории вероятностей. Объединением или суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В, безразлично какого. Сумма двух событий А и В обозначается А + В или А È В. В зависимости от обстоятельств используют одно из двух обозначений.

Если событие А – сдача первого экзамена на отлично, событие В – сдача второго экзамена на отлично, то событие А + В есть сдача только первого экзамена на отлично или только второго, или обоих вместе.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пересечением или произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном появлении события А и события В. Пересечение событий А и В обозначается А ∩ В или АВ.

Например, если событие А – появление туза при вынимании карты из колоды, событие В – появление карты бубновой масти, то АВ есть появление бубнового туза.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

На рис. 4, например, наглядно проиллюстрировано понятие произведения трех событий А, В, С.

Разностью (А – В или А/В) называется событие, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит.

Из определения операций сложения и умножения событий вытекают следующие их свойства:

3) (А + В)С = АС + ВС – дистрибутивность умножения относительно сложения;

4) АВ + С = (А + С) (В + С) – дистрибутивность сложения относительно умножения.

На рис. 5 можно увидеть следующие тождества:

(А + В) – В = А – АВ = А= А – В, где, как всегда, – событие, противоположное событию В. Событие А называется противоположным событию В, если они образуют полную группу событий. Событие, противоположное событию В, обозначается .

Примером противоположных событий могут служить попадание и промах при одном выстреле.

2.2. Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). (2.1)

Докажем эту теорему для схемы случаев. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, эта теорема постулируется (вводится аксиоматически).

Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые для наглядности изобразим в виде точек

Будем считать, что m случаев благоприятствуют событию А, а k случаев – событию В. Тогда Р (А) = m/n, P(B) = k/n. Так как события А и В несовместны, то событию А + В благоприятствуют m + k случаев и Р(А + В) = (m + k)/n = m/n + k/n = Р(А) + Р(В). Эта теорема легко обобщается на случай любого числа несовместных событий. Ее удобно записать в виде:

. (2.2)

.

Действительно, так как события Ai образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них есть достоверное событие, т. е.

.

Но так как события Ai несовместны, то к ним применима теорема сложения вероятностей событий:

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Это следствие является частным случаем следствия 1. Оно выделено ввиду его большой важности в практическом применении теории вероят-

ностей. На практике часто легче вычислить вероятность противоположного события , чем вероятность прямого события А.

Пример 1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет попадает выйгрыш 500 руб., на 10 билетов – выигрыши по 100 руб., на 50 билетов – выигрыши по 20 руб., на 100 билетов – выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

Решение. Рассмотрим события: А – выиграть не менее 20 рублей,

А1 – выиграть 500 рублей, А2 – выиграть 100 рублей, А3 – выиграть 20 рублей, тогда, .

События А1, А2 и А3 несовместны и по теореме сложения вероятностей имеем:

.

Пример 2. Круглая мишень (рис. 6) состоит из трех зон I, II, III. Вероятности попаданий в зоны I, II, III при одном выстреле соответственно равны 0,1; 0,2 и 0,15. Найти вероятность промаха.

Решение. Обозначим А – промах, – попадание.

Тогда где – попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны.

0,1 + 0,2 + 0,15 = 0,45,

откуда 0,55.

Если события А и В совместны, то вероятность суммы этих событий выразится формулой:

Рассматривая рис. 4, можно сделать вывод, что

Методом полной математической индукции можно получить общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий:

, (2.4)

где суммы рассматриваются для различных значений индексов i, j.

Разрешая равенство (3.4) относительно получим

(2,5)

Для n = 2 формула (2.5) принимает вид:

, (2.6)

– (2.7)

Пример 3. Техническое устройство состоит из трех агрегатов: двух агрегатов первого типа – А1 и А2 – и одного агрегата второго типа – В. А1 и А2 дублируют друг друга: при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на другой. Агрегат В не дублирован. Для того чтобы устройство прекратило работу, нужно чтобы одновременно отказали оба агрегата А1 и А2 или агрегат В. Таким образом, отказ устройства – событие – представляется в виде: С = А1 А2 +В, где А1 – отказ агрегата А1, А2 – отказ агрегата А2, В – отказ агрегата В. Требуется выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы, а не произведения элементарных событий А1, А2 и В.

Решение. Применяя свойство дистрибутивности сложения относительно умножения, а затем формулу (2.6) и определение суммы событий, получим:

2.3. Теорема умножения вероятностей

Известно, что в основе определения вероятности события А лежит некоторая совокупность условий опыта или наблюдения. Если никаких других ограничений при вычислении вероятности Р(А) не налагается, то такие вероятности называются безусловными.

Во многих случаях приходится находить вероятности событий при дополнительном условии: произошло некоторое событие В. Такие вероятности будем называть условными и обозначать символом Р(А/В) или , читается: вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Пример 1. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 9 (событие А), если известно, что эта сумма не превышает 10 очков (событие В).

Решение. Все возможные случаи, которые могут представиться, запишем в табл. 1, каждая клетка которой содержит запись возможного события: на первом месте в скобках указывается число очков, выпавших на первой кости, а на втором месте – число очков, выпавших на второй кости.

Источник