Каково наименьшее натуральное n такое что n делится на 990

Каково наименьшее натуральное n такое что n делится на 990

Задача 1:

Решение:

Ответ: а) 4; б) 6; в) 9; г) (n + 1)(m + 1).

Задача 2:

Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Решение:

Указание: Среди этих трех чисел есть хотя бы одно четное число и одно число, делящееся на 3.

Задача 3:

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится а) на 30; б) на 120.

Решение:

Среди этих чисел есть число, кратное 3, есть число, кратное 5, и есть два четных числа, одно из которых делится на 4.

Задача 4:

p – простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших p и взаимно простых с ним; б) меньших p² и взаимно простых с ним?

Решение:

Ответ: а) p – 1; б) p² – p.

Задача 5:

Каково наименьшее натуральное n, такое, что n! делится на 990?

Решение:

Поскольку 990 = 2 • 3² • 5 • 11, то n = 11.

Задача 6:

Может ли n! оканчиваться ровно на 5 нулей?

Решение:

Нет, поскольку 24! оканчивается на 4 нуля, а 25! – уже на 6 нулей.

Задача 7:

Решение:

Это степень, в которой входит число 5 в разложение числа 100! на простые множители.

Задача 8:

Докажите, что число, имеющее нечетное число делителей, – точный квадрат.

Решение:

Указание: Если d – делитель n, то n/d – также делитель n.

Задача 9:

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причем одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось АБ • ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся.

Решение:

Число слева не делится на 11, а справа – делится.

Задача 10:

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Решение:

Указание: Это число делится на 3, но не делится на 9.

Задача 11:

56a = 65b. Докажите, что a + b – составное число.

Решение:

65(a + b) = 65a + 65b = 65a + 56a = 121a. Так как 65 и 121 взаимно просты, то a + b делится на 121. Поскольку 121 = 11² – составное число, то и a + b – составное.

Задача 12:

Решите в натуральных числах уравнение а) x² – y² = 31; б) x² – y² = 303.

Решение:

Указание: x² – y² = (x – y)(x + y).

Ответ: а) x = 16, y = 15; б) x = 152, y = 151 или x = 52, y = 49.

Задача 13:

Решите в целых числах уравнение x³ + x² + x – 3 = 0.

Решение:

x(x² + x + 1) = 3. Отсюда либо x = ± 1, либо x = ± 3.

Задача 14:

Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство .

Решение:

Указание: Проверьте, что любое простое число p входит в одной и той же степени в обе части равенства.

Источник

ЕГЭ 2011. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра

ЕГЭ 2011. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра

Диагностическая работа
§ 1. Делимость, признаки делимости. Простые и взаимно простые числа
§ 2. Десятичная запись числа
§ 3. Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения)
§ 4. Прогрессии. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия
§ 5. Среднее арифметическое и неравенство о средних
§6.Задачи, аналогичные предложенным на ЕГЭ-2010
§ 7. Ответы, указания, решения

ЕГЭ 2011. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра

§ 1. Делимость, признаки делимости

Пример 1.1. Может ли число, сумма цифр которого равна 2010, быть квадратом целого числа?
Пример 1.2. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 30.
Пример 1.3. Докажите, что дробь несократима (n — натуральное число).
Пример 1.4. Докажите, что квадраты натуральных чисел не дают остатка 2 при делении на 3.
Пример 1.5. Докажите, что натуральное число является точным квадратом тогда и только тогда, когда у него нечетное число натуральных делителей.
Пример 1.6. Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?
Пример 1.7. Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
Пример 1.8*. Докажите, что при любом натуральном n сумма цифр числа не меньше 19.
Пример 1.9. Решите в натуральных числах уравнение , где p — заданное простое число.

Пример 2.1. В трехзначном числе поменяли местами цифры, стоящие в разряде сотен и в разряде единиц, и из полученного числа вычли исходное. Докажите, что разность всегда делится на 99.
Пример 2.2. В примере на умножение двузначных чисел одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, а разные цифры — разными. Докажите, что при вычислении была допущена ошибка: .
Пример 2.3. Докажите, что квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5, оканчивается на 25.
Пример 2.4. Найдите все двузначные числа, которые равны сумме цифры десятков и квадрата цифры, стоящей в разряде единиц.
Пример 2.5. Сложили шесть трехзначных чисел, полученных перестановками трех различных цифр в разном порядке. Докажите, что полученная сумма делится на 37.
Пример 2.6. При каком наименьшем натуральном n в десятичной записи правильной дроби после запятой могут подряд встретиться цифры 0. 501.
Пример 2.7. Может ли произведение всех цифр десятичной записи натурального числа равняться 2010?
Пример 2.8. Докажите, что десятичная запись числа содержит более 90, но не более 100 цифр.

2.1. Цифры двузначного числа поменяли местами и из полученного числа вычли исходное. Докажите, что разность всегда делится на 9.
2.2. Двузначное число умножили на произведение его цифр. В ответе получилось трехзначное число из одинаковых цифр, совпадающих с цифрой в разряде единиц исходного числа: . Какое двузначное число мы умножали?
2.3. Докажите, что десятичная запись числа содержит не более 10 цифр.
2.4. Натуральные числа от 1 до 20 выписали в строчку подряд: В полученном натуральном числе нужно вычеркнуть 10 цифр так, чтобы натуральное число, образованное оставшимися цифрами, было как можно больше. Как это сделать?
2.5. Натуральные числа от 1 до 20 выписали подряд после запятой и получили десятичную дробь: 0,Как вычеркнуть 10 цифр, чтобы десятичная дробь, образованная оставшимися цифрами, была как можно меньше?
2.6. Число делится на 41. Докажите, что число также делится на 41.
2.7. Найдите все трехзначные числа, для которых любое число, полученное из них произвольной перестановкой цифр, делится на 7.
2.8. Найдите все двузначные числа, квадрат которых оканчивается теми же двумя цифрами, что и само число.
2.9. Найдите все трехзначные числа, квадрат которых оканчивается теми же тремя цифрами, что и само число.
2.10. Сколько существует двузначных чисел, которые ровно в 9 раз больше суммы своих цифр? А сколько существует таких трехзначных чисел?
2.11. В натуральном числе поменяли местами две соседние цифры и из полученного числа вычли исходное. Докажите, что полученная разность всегда делится на 9.
2.12. В натуральном числе поменяли местами две цифры, стоящих через одну, и из полученного числа вычли исходное. Докажите, что разность всегда делится на 99.
2.13. В примере на умножение двузначных чисел одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, а разные — разными. Докажите, что при вычислении была допущена ошибка: .
2.14. Пусть a, b, c, d — различные цифры. Докажите, что не делится на .
2.15. На чем основан следующий способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой пять: отбросьте цифру 5 и умножьте полученное число на следующее за ним натуральное число, а к результату справа припишите число 25 (например, для получения квадрата числа 115 нужно 11 умножить на 11 + 1 = 12 и к произведению 11 х 12 = 132 приписать 25, получив в ответе 13225)?
2.16. Какое наибольшее значение может принимать частное от деления трехзначного числа на сумму всех его цифр?
2.17. Найдите все четырехзначные числа такие, что .
2.18. Из трех различных цифр составили всевозможные двузначные числа без повторений цифр в одном числе. Сумма шести полученных чисел оказалась равной 528. Найдите эти цифры.
2.19. Друг за другом подряд выписали десятичную запись чисел и . Сколько всего цифр выписали?
2.20. При некотором натуральном n десятичная запись чисел и начинается с одной и той же цифры. Какая это может быть цифра?
2.21. Существует ли натуральное число, которое при зачеркивании первой слева цифры уменьшается ровно в 2011 раз?
2.22. Девятизначное число, в записи которого есть все цифры, кроме нуля, после некоторой перестановки цифр уменьшилось в 8 раз. Найдите все такие числа.
2.23. При каком наименьшем натуральном n в десятичной записи дроби после запятой могут подряд встретиться цифры 0. 142. А в десятичной записи правильной дроби ?
2.24. а) Сколько существует натуральных чисел n, меньших 100, таких, что каждое из чисел и выражается конечной десятичной дробью? б) Найдите все такие натуральные n.

§ 3. Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения)

Пример 3.1. Решите уравнение xy + 2x + Зy = 7 в целых числах.
Пример 3.1. Решите в натуральных числах уравнение .
Пример 3.2. Решите в целых числах уравнение .
Пример 3.3. Решите в целых числах уравнение: Зх + 2у = 7.
Пример 3.4. Решите в целых числах уравнение х(х+1) = 4у(у + 1).

§4. Прогрессии

Пример 4.1. Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если =4.
Пример 4.2. Том Сойер красил забор длиной 105 метров, причем день за днем количество выкрашенного за один день уменьшалось на одну и ту же величину. За сколько дней был покрашен забор, если за первые три дня Том выкрасил 36 метров забора, а за последние три — только 27 метров?
Пример 4.3. Два положительных неравных числа являются первым и третьим членами некоторой арифметической прогрессии и первым и третьим членом некоторой геометрической прогрессии. У какой из этих прогрессий сумма трех первых членов больше?
Пример 4.4. В арифметической прогрессии четвертый член равен 1. При каком значении разности произведение второго и седьмого членов будет наибольшим?
Пример 4.5. Могут ли числа 2, 3 и 17 быть членами (не обязательно последовательными) одной геометрической прогрессии?
Пример 4.6. Дана арифметическая прогрессия с первым членом 1 и разностью 2. Докажите, что число является целым.
Пример 4.7. Шесть простых чисел являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Докажите, что разность этой прогрессии не менее 30.
Пример 4.8. Различные числа a, b и c (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию, а числа , , (в том же порядке) — арифметическую. Найдите сумму арифметической прогрессии.
Пример 4.9. Найдите наибольшую разность арифметической прогрессии, среди членов которой есть числа , и .

§ 5. Среднее арифметическое и неравенство о средних

5.1. Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды — 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму?
5.2. Может ли среднее арифметическое 10 целых чисел равняться 566,23?
5.3. Докажите, что для любого положительного числа а выполняется неравенство .
5.4. Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35?
5.5. Средний рост пяти баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее количество из этих игроков может быть ниже, чем 191 см?
5.6. Средний рост шести друзей — 1,2 м. Рост самого низкого из них — 1,1 м. Каков средний рост остальных пяти?
5.7. Средний рост пяти игроков баскетбольной команды — 2,04 м. После замены игрока, рост которого равен среднему, средний рост команды увеличился до 2,08 м. Каков рост нового игрока?
5.8. Среднее арифметическое десяти различных положительных целых чисел равняется 10. Чему может равняться наибольшее среди этих чисел?
5.9. В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй — 80; третий — среднее арифметическое очков первых двух; четвёртый — среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок?
5.10. Известно, что произведение двух положительных чисел равно 16. Какое наименьшее значение может принимать их сумма?
5.11. Докажите, что если сумма двух положительных чисел фиксирована, то произведение тем больше, чем ближе друг к другу они расположены на координатной оси.
5.12. Докажите, что если a, b и c — неотрицательные числа, то .
5.13. Докажите, что для неотрицательных чисел a, b, с и d.
5.14. Произведение положительных чисел равно 1. Докажите, что их сумма больше или равна n.
5.15. На шахматной доске расставлены числа, причем число в каждой клетке равно среднему арифметическому чисел в соседних клетках (клетки называются соседними, если у них есть общая сторона, так, например, у угловой клетки есть две соседних клетки). Докажите, что все числа равны. Решите задачу, если известно, что числа а) натуральные; б) целые.
5.16. Найдите наибольшее натуральное число, каждая некрайняя цифра которого меньше среднего арифметического соседних с ней цифр.

Источник

Каково наименьшее натуральное n такое что n делится на 990

Задача 1:

Задача 2:

Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Задача 3:

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится а) на 30; б) на 120.

Задача 4:

p – простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших p и взаимно простых с ним; б) меньших p² и взаимно простых с ним?

Задача 5:

Каково наименьшее натуральное n, такое, что n! делится на 990?

Задача 6:

Может ли n! оканчиваться ровно на 5 нулей?

Задача 7:

Задача 8:

Докажите, что число, имеющее нечетное число делителей, – точный квадрат.

Задача 9:

Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причем одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось АБ • ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся.

Задача 10:

Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?

Задача 11:

56a = 65b. Докажите, что a + b – составное число.

Задача 12:

Решите в натуральных числах уравнение а) x² – y² = 31; б) x² – y² = 303.

Задача 13:

Решите в целых числах уравнение x³ + x² + x – 3 = 0.

Задача 14:

Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство .

Источник

Каково наименьшее натуральное n такое что n делится на 990

§ 6. Задачи, аналогичные предложенным на ЕГЭ-2010

PS. Надеюсь, что истинные ценители творчества Учителя оценят очередную порцию этих бессмертных творений с подобающим пиететом.

§ 1. Делимость, признаки делимости

Пример 1.1. Может ли число, сумма цифр которого равна 2010, быть квадратом целого числа?
Пример 1.2. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 30.
Пример 1.3. Докажите, что дробь `(2n+1)/(3n+2)` несократима (n — натуральное число).
Пример 1.4. Докажите, что квадраты натуральных чисел не дают остатка 2 при делении на 3.
Пример 1.5. Докажите, что натуральное число является точным квадратом тогда и только тогда, когда у него нечетное число натуральных делителей.
Пример 1.6. Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?
Пример 1.7. Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
Пример 1.8*. Докажите, что при любом натуральном n сумма цифр числа `1981^n` не меньше 19.
Пример 1.9. Решите в натуральных числах уравнение `1/x+1/y=1/p`, где p — заданное простое число.

§ 2. Десятичная запись числа

Пример 2.1. В трехзначном числе `bar ` поменяли местами цифры, стоящие в разряде сотен и в разряде единиц, и из полученного числа вычли исходное. Докажите, что разность `bar — bar ` всегда делится на 99.
Пример 2.2. В примере на умножение двузначных чисел одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, а разные цифры — разными. Докажите, что при вычислении была допущена ошибка: `bar * bar = bar `.
Пример 2.3. Докажите, что квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5, оканчивается на 25.
Пример 2.4. Найдите все двузначные числа, которые равны сумме цифры десятков и квадрата цифры, стоящей в разряде единиц.
Пример 2.5. Сложили шесть трехзначных чисел, полученных перестановками трех различных цифр в разном порядке. Докажите, что полученная сумма делится на 37.
Пример 2.6. При каком наименьшем натуральном n в десятичной записи правильной дроби `m/n` после запятой могут подряд встретиться цифры 0. 501.
Пример 2.7. Может ли произведение всех цифр десятичной записи натурального числа равняться 2010?
Пример 2.8. Докажите, что десятичная запись числа `2^300` содержит более 90, но не более 100 цифр.

§ 3. Уравнения в целых числах (диофантовы уравнения)

Пример 3.1. Решите уравнение xy + 2x + Зy = 7 в целых числах.
Пример 3.1. Решите в натуральных числах уравнение `3^x + 4^y = 5^z`.
Пример 3.2. Решите в целых числах уравнение `x^2 + 4xy + 13y^2 = 58`.
Пример 3.3. Решите в целых числах уравнение: Зх + 2у = 7.
Пример 3.4. Решите в целых числах уравнение х(х+1) = 4у(у + 1).

Источник

Каково наименьшее натуральное n такое что n делится на 990

Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 16?

б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значение n, если сумма всех данных чисел равна 235.

а) Да. Например, числа 1, 3, 5, 7 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равняться

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через A, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе через B.

а) Заметим, что где и — некоторые натуральные числа. Значит,

Если то что невозможно. Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам не может равняться

б) Например, для оценок экспертов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равна

в) Пусть — наименьшая из оценок, — наибольшая, а — сумма остальных пяти оценок. Тогда

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 разность равна Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно

Ответ: а) нет; б) да; в)

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 12 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма оценивают следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое оставшихся оценок.

а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться

б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться

в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через A, а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе через B.

а) Заметим, что где и — некоторые натуральные числа. Значит,

Если то что невозможно. Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам не может равняться

б) Например, для оценок экспертов 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания равна

в) Пусть — наименьшая из оценок, — наибольшая, а — сумма остальных пяти оценок. Тогда

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 12 разность равна Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равно

Ответ: а) нет; б) да; в)

Аналоги к заданию № 505421: 505427 Все

Потому, что он происходит методом пристального взгляда, или путем проб и ошибок.

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки 200p рублей. Если на втором объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки (50p + 300) руб. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

Составим таблицу исходя из данных условия задачи.

Количество рабочих	Заработная плата (руб/сут) на 1 рабочего
Первый объект	p
Второй объект	30 − p
Всего:	30

Пусть

Наименьшее значение функции достигается при По условию p — это натуральное число, поэтому найдем значения функции при p = 6 и p = 7:

Тогда 43150 рублей — наименьшая суточная зарплата всем рабочим, достигается при p = 7.

Так как то на первый объект следует отправить 7 рабочих, а на второй —

Ответ: 1-й объект — 7 человек, 2-й объект — 23 человека; 43 150 рублей.

На листочке записано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 7, среднее арифметическое семи наибольших из них равно 16.

а) Может ли наименьшее из 13 чисел равняться 5?

б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 12?

в) Пусть P — среднее арифметическое всех 13 чисел, Q — седьмое по величине число. Найдите наибольшее значение выражения P − Q.

а) Если наименьшее число равно 5, то сумма семи наименьших чисел не меньше а их среднее арифметическое больше 7.

б) Пусть сумма шести наименьших чисел равна А, седьмое по величине число равно Q, а сумма шести наибольших чисел равна С. Предположим, что среднее арифметическое всех тринадцати чисел равно 12. Тогда получаем:

откуда Это невозможно, поскольку перед Q должно быть еще шесть различных натуральных чисел.

в) Имеем: Получаем:

Значит, нужно найти наименьшее значение Q.

Пусть числа, написанные на доске, равны причем Тогда откуда

Покажем, что число Q может равняться 10. Например, если на доске написаны числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 37, то условия задачи выполнены и Таким образом,

Ответ: а) нет, б) нет, в)

Аналоги к заданию № 520851: 528993 520789 Все

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться 11?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех чисел.

а) Если наименьшее число равно 3, то сумма шести наименьших чисел не меньше а их среднее арифметическое больше 5.

б) Упорядочим числа по возрастанию и обозначим их Сумма шести наименьших чисел равна 30, сумма шести наибольших чисел равна 90, сумма всех десяти чисел равна 110. Тогда то есть Но такого быть не может, так как и

в) Докажем, что Пусть тогда значит (иначе ). Но тогда Противоречие. Значит, Таким образом Тогда среднее арифметическое всех 10 чисел не превосходит 10,5.

Среднее арифметическое набора 2, 3, 4, 6, 7, 8, 14, 16, 22, 23, удовлетворяющего условиям задачи, как раз равно 10,5.

Ответ: а) нет; б) нет; в)

Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.

Сумма чисел кратна их наибольшему общему делителю, поэтому их наибольший общий делитель является делителем числа 43, откуда следует, что он равен 1. Тогда наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению. Обозначив искомые числа х и у, получаем систему

решая которую, получаем числа 40 и 3.

Сумма двух натуральных чисел равна 17, а их наименьшее общее кратное в 70 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.

Сумма чисел кратна их наибольшему общему делителю, поэтому их наибольший общий делитель является делителем числа 17, откуда следует, что он равен 1. Тогда наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению. Обозначив искомые числа х и у, получаем систему

решая которую, получаем числа 10 и 7.

Аналоги к заданию № 484673: 511323 Все

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 6, к каждому числу из второй группы приписали справа цифру 9, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 9 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 19 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Пусть сумма всех чисел в первой группе равна A, во второй — B, в третьей — C, и пусть количества чисел равны соответственно x, y и z. Приписывание цифры к числу увеличивает его в 10 раз и прибавляет эту цифру.

а) Да, это возможно. Например, можно из чисел 2, 7, 3 сделать числа 26, 79, 3.

б) Нет. Учитывая замечание, сделанное в начале решения, получим уравнение или что невозможно, поскольку сумма чисел всегда не меньше их количества, а следовательно, откуда то есть Противоречие.

в) Рассмотрим частное новой суммы и старой:

Видно, что C должно быть сделано как можно меньше, поэтому можно считать, что в третьей группе лишь одно число (иначе перенесем одно из чисел из третьей группы во вторую). Аналогично при переносе числа из первой группы во вторую числитель дроби увеличится, а знаменатель не изменится. Значит, и в первой группе должно быть лишь одно число. Далее, если число в третьей группе не минимальное изо всех, то его выгодно обменять местами с минимальным — это не повлияет на знаменатель, но увеличит числитель — а затем заменить на единицу — это уменьшит знаменатель и не изменит числитель. Имеем:

При фиксированном y следует сделать знаменатель дроби как можно меньше. Для этого на роль чисел, составляющих A и B, следует взять наименьшие возможные, то есть Получим:

Найдем значения полученного выражения при различных y:

y = 1:

y = 2:

y = 3:

y = 4:

Докажем, что при прочих y ответ тоже будет меньше, чем 11,6. Для этого изучим поведение второго слагаемого. Пусть Найдем производную:

При найденная производная отрицательна, функция f убывает, а потому при ее значения меньше, чем значение при

Итак, наибольшее возможное увеличение суммы составляет 11,6 исходной величины и достигается, например, для чисел, 1, 2, 3, 4, 5, которые превращаются в 1, 26, 39, 49, 59 с суммой

Ответ: а) да, б) нет, в) в 11,6 раза.

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

а) Пусть на доске были написаны числа 1, 8 и 4, из которых получили числа 13, 87 и 4. При этом Значит, сумма увеличилась в 8 раз.

б) Пусть в первой группе было m чисел, а их сумма равнялась А, во второй группе было n чисел, а их сумма равнялась B, а сумма чисел в третьей группе равнялась C. Тогда сумма чисел была равна а стала

Предположим, что сумма увеличилась в 17 раз. Тогда получаем:

Это невозможно, поскольку

в) Рассмотрим отношение Q получившейся суммы чисел и изначальной:

Если перенести одно число из первой или третьей группы во вторую, то не изменится, а увеличится. Значит, отношение Q будет наибольшим, если в первой и третьей группах находится по одному числу. Поэтому будем считать, что m = 1, а общее количество чисел равно n + 2. Поскольку числа различные, получаем Кроме того, Значит,

Найдём, при каком значении n выражение принимает наибольшее значение. Рассмотрим разность

Значит, при и при Таким образом, f(n) принимает наибольшее значение при n = 4. Следовательно,

Покажем, что отношение Q могло равняться Пусть было написано шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, из которых получили числа 1, 23, 37, 47, 57, 67. Тогда сумма чисел была равна 21, а стала 232. Таким образом,

Ответ: а) да, 6) нет, в)

Аналоги к заданию № 548430: 548575 Все

Дана бесконечная последовательность чисел в которой при каждом член последовательности является корнем уравнения

1. Найдите наибольший порядковый номер члена последовательности такой, что в десятичной записи числа x используется не более семи цифр.

2. Укажите наименьшее натуральное число среди делителей которого содержится ровно 8 членов данной последовательности.

3. Существует ли такое натуральное число что сумма идущих подряд

членов этой последовательности равна некоторому члену этой последовательности.

4. Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности таких, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом.

1. Сразу заметим, что уравнение имеет единственный корень Следовательно, формула общего члена последовательности имеет вид

Для ответа на первый вопрос заметим, что тогда число содержит в десятичной записи более семи цифр. Легко убедитьcя, что условию задачи удовлетворяет число то есть

2. Число будет содержать среди делителей ровно 8 членов данной последовательности в случае, если его делителями являются первые 8 членов последовательности, а девятый уже не является. Следовательно, искомое натуральное число должно делиться на Для того, чтобы оно было наименьшим, оно не должно иметь других делителей, то есть это число 6561.

3. Нет. Предположим, что такой набор существует, то есть при некоторых значениях и имеет место равенство

По формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем 3 свернем левую часть последнего равенства. Тогда получаем равенство или Отсюда получаем равенство Последнее равенство возможно только при выполнении условий и (иначе правая часть равна 1, а левая делится на 3), что не удовлетворяет условию задачи.

4. Да, существует. Этому условию удовлетворяет любой набор, содержащий членов (в том числе и 2012 членов) последовательности, каждый из которых имеет вид Тогда любой набор содержит минимальное число, которое при суммировании можно вынести за скобки и получится выражение вида которое не является квадратом.

По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 11% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма S. На вкладе «А» каждый год сумма увеличивается на 10%, т. е. умножается на коэффициент 1,1.

Тогда через три года сумма на вкладе «А» равна 1,1 3 S = 1,331S. Аналогично на вкладе «Б» сумма через три года будет равна

где n — натуральное число.

По условию требуется найти наименьшее целое решение неравенства

По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 21% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма S. На вкладе «А» каждый год сумма увеличивается на 20%, т. е. умножается на коэффициент 1,2.

Тогда через три года сумма на вкладе «А» равна 1,2 3 S = 1,728S. Аналогично на вкладе «Б» сумма через три года будет равна

где n — натуральное число.

По условию требуется найти наименьшее целое решение неравенства

Аналоги к заданию № 512360: 512402 524054 524076 Все

Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения не меньше 9.

Данное уравнение равносильно совокупности уравнений или откуда:

Сравним полученные корни, чтобы понять, какой из них наименьший, а какой наибольший.

Следовательно, x₂ — наибольший корень.

Следовательно, x₃ — наименьший корень.

Осталось решить неравенство

Поэтому наш ответ — число 17.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — натуральное число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет составлять целое число миллионов рублей.

Долг перед банком (в млн рублей) на июль каждого года должен уменьшаться до нуля следующим образом:

По условию, в январе каждого года долг увеличивается на 25%, значит, долг в январе каждого года равен:

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют:

По условию, сумма выплат

должна быть натуральным числом. Значит, число S должно делиться на 8. Наименьшее натуральное число, делящееся на 8 — это число 8.

а) Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей и получаются натуральные числа.

б) Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей и получаются натуральные числа.

в) Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей и получаются натуральные числа.

Пусть искомая дробь в несократимом имеет вид используемый далее параметр t — натуральное число.

а) Нужно, чтобы числа и были натуральными. Значит, a кратно 14 и 21, поэтому кратно и 42. Пусть тогда дроби примут вид и Следовательно, и кратны b, поэтому и кратно b, откуда и Эта дробь подходит.

б) Аналогично целыми должны быть числа и Тогдаa кратно 35, 28 и 25, и потому кратно 700. Пусть тогда дроби примут вид Следовательно, числа 1320t, 4125t и 6468t кратны b, причем t взаимно просто с b как делитель a. Значит, числа 1320, 4125, 6468 кратны b. Поэтому b — делитель их наибольшего общего делителя, равного 33. Тогда Эта дробь подходит.

в) Аналогично: дроби выражают натуральные числа, поэтому a кратно 154, 231 и 385, откуда Числа 2925t, 936t и 1300t кратны b, откуда и Эта дробь подходит.

Источник