Квадратное сечение куба что такое

Что такое куб: определение, свойства, формулы

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA₁B₁B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.

Источник

Меч ниндзя разрезает математический куб пополам

Итак, вопрос.
Разрезав куб на две равные половинки, мы получим в сечении …?
— A: квадрат;
— B: прямоугольник;
— C: ромб;
— D: шестиугольник.

Если вы думаете, что ответ A (квадрат) очевиден и отбрасываете все другие ответы, то делаете большую ошибку. Может показаться, что например, такой вариант ответа как D: (шестиугольник) здесь заведомо лишний. Но это не так. Здесь все варианты ответов верные!

Как продемонстрировать, что это возможно? Как доказать, что куб можно разрезать на две равные половинки?
Для этого мы рассмотрим каждый вариант ответа и изготовим модели кубов состоящие из двух половинок.
У нас будет развёртка только одной половинки, чтобы исключить всякие сомнения.
А как же вторая половинка?
Вторая половинка должна быть точно такая же, как и первая. Тогда утверждение будет доказано.
Просто ещё раз соберите половинку из этой же развёртки.
Сложите половинки вместе, и вы получите исходный куб!

Источник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Сечение куба плоскостью

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости ( ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

Источник

Куб — свойства, виды и формулы

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

у куба все грани равны, являются квадратами;

у куба все рёбра равны;

один центр и несколько осей симметрии.

Источник

«Сечение куба плоскостью и практическое их применение в задачах».

Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней №2

отдела образования администрации города Кировское

«Сечение куба плоскостью

и практическое их применение в задачах».

Подготовила учитель математики

Задачи на построение сечений многогранников занимают значительное место как школьном курсе геометрии для старших классов, так и на экзаменах разного уровня. Решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, систематизации знаний и умений, развитию пространственного представления и конструктивных навыков. Общеизвестны трудности, возникающие при решении задач на построение сечений.

Основными действиями, составляющими метод построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построение линий пересечения двух плоскостей, построение прямой параллельной плоскости, построение прямой перпендикулярной плоскости.

Проиллюстрирую построение сечения на одной задаче из школьного курса математики:

Отсюда по соображениям непрерывности делаем вывод:

Особо следует посмотреть, что произойдёт, если точка М₁ займёт положение вершины В.

При построении сечения куба плоскостью Х при произвольном расположении точек в сечении получается: треугольник, трапеция, прямоугольник, пятиугольник или шестиугольник. Естественно возник вопрос, как вид сечения зависит от вида расположения точек задающих это сечение

Я решил провести исследование, цель которого является выяснение.

Построить сечения куба плоскостью, когда заданы три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной.

В сечении получился равносторонний треугольник, так как A ₁ C ₁, A ₁ D u DC ₁ – диагонали граней этого куба.

Три точки: A ₁ u C ₁ – вершины куба, а точка F принадлежит ребру куба DD ₁. Точки принадлежат прямым выходящим из вершины D ₁.

В сечении получился равнобедренный треугольник, так как F равноудалена от точек A ₁ u C ₁.

Три точки: A ₁ u C ₁ – вершины куба, а точка F принадлежит прямой ребра куба DD ₁. Точки принадлежат прямым выходящим из одной вершины D ₁.

В сечении получается равнобедренная трапеция, так как F равноудалена от точек A ₁ u C ₁, то есть LA ₁= KC ₁.

Три точки принадлежащие рёбрам с одной вершиной D ₁. Точки F u M принадлежат продолжениям рёбер D ₁ D u D ₁ C соответственно, а точка A ₁ является вершиной куба.

Три точки лежат на рёбрах с одной вершиной D ₁.

Вывод: три задающих сечение точки принадлежат трём рёбрам куба с общей вершиной или являются их продолжением, то в сечении получается: треугольник, пятиугольник, шестиугольник трапеция, параллелограмм.

Построение сечения куба плоскостью, когда заданы три точки, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья точка лежит на ребре не смежном с ними.

В сечении получается правильный шестиугольник KLGNHM

Три точки взяты так, что K u L принадлежат рёбрам куба с одной вершины A ₁, а точка M ребре DD ₁.

Вывод: Если секущая плоскость задана тремя точками, две из которых лежат на смежных рёбрах, а третья на ребре не смежном с ними, то в сечении может получиться прямоугольник, пятиугольник, шестиугольник, трапеция.

В сечении куба параллелограмм и его частные случаи.

В сечении куба правильные многоугольники

Треугольник АВВ₁ равносторонний, так как его стороны это диагонали граней куба.

Треугольник КМТ равносторонний, так как КВ=МВ=ТВ.

Куб и несколько задач по стереометрии с ЕГЭ.

Общий пример решения:

DEFKLM – сечение куба плоскостью основания цилиндра, окружность которого проходит через середину А₁В₁, А – центр второго основания цилиндра, или это сечение куба плоскостью большого круга сферы с центром А, сфера которого проходит через середину А₁В₁.

AO EL, т . к . EAL – равнобедренный: AL = AE .

( ABE u EAL – прямоугольные, AB = AQ = а, BE = LQ = )

Если А – вершина конуса то АО – его высота, если А – центр второго основания цилиндра, то АО- высота цилиндра.

АВС: АС=, P – точки пресечения диагоналей основания куба, АР=, РР ₁ =АА ₁ = а . ОР=РР ₁ = , тогда из прямоугольного РОА АО=. И так АО=.

Тогда, если идёт речь о конусе:

=

(из ).

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Корникова Т. А. и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ – 2005

Задача. Даны призма АВСА₁В₁С₁ и цилиндр. Стороны АВ и ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ₁ и взаимно перпендикулярны. Центром основания цилиндра служит точка А₁ окружность второго основания проходит через середину ребра А₁В₁.

Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если ВВ₁=АВ=ВС=10. Найдите его объём.

. .

Так как стороны АВ и ВС основания призмы перпендикулярны ребру ВВ₁ и взаимно перпендикулярны и АВ=ВС=ВВ₁, то призма АВСА₁В₁С₁ – это половина куба с ребром АВ. Окружность второго основания цилиндра проходит через середину А₁В₁. Эта окружность пересекает и другие рёбра куба. И эти точки пересечения окружности второго основания цилиндра и рёбер куба лежит в одной плоскости (плоскость сечения) и равноудалены от центра второго основания цилиндра. Плоскость второго основания цилиндра образует в сечении куба шестиугольник DEFKLM , все вершины которого являются вершинами соответствующих рёбер. Тогда ED =АР= R , ЕВ₁ D , В=90 0 (по условию), B ₁ E = DB ₁=, тогда по теореме Пифагора ED =, R =.

По теореме Пифагора ОА= (ОА= h =).

SPO, P=90 0 PS= SO

в AOS: AO 2 =75 SO 2 =

Ответ:

Корникова Т. А. и др. типовые тестовые задания. ЕГЭ – 2005

Задача. Даны призма АВСА₁В₁С₁ и конус. Стороны АВ и ВС основания перпендикулярны ребру ВВ₁ и взаимно перпендикулярны. Вершина конуса располагается в точке А, окружность основания проходит через середину ребра А₁В₁.

Найдите площадь полной поверхности конуса, если ВВ₁=АВ=ВС=8. Найдите объём этого конуса.

. .

Так как по условию дана прямая призма, в которой ВВ₁=АВ=ВС, то эта призма является половиной куба. Вершина куба А является и вершиной конуса, основание которого пересекает А₁В₁ в точке D , следовательно AD – образующая конуса AD =. Сечение куба плоскостью основания конуса – это правильный шестиугольник DEFKLM , т.к. А D , AE , AF , AK , AL , AM – это образующие конуса, вершины D , E , F , K , L , M – равноудалены от основания высоты конуса в точке О, являются серединами рёбер куба. R=ED, EB ₁ D, B ₁ D =B ₁ E=4, ED=4.

AA ₁ D, A ₁ =90 0 , AD=.

.

AC = (из ОАН, ОН АН, НО=4, АН=4).

Ответ:

В результате проведённого компьютерного эксперимента в работе было выявлено: что в зависимости от точек задающих секущую плоскость в сечении куба могут получиться треугольники (произвольный, равнобедренный и правильный), четырёхугольники (квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм), пятиугольники и шестиугольники. Особое выделены правильный треугольник и шестиугольник, рассмотрены свойства этих многоугольников и задачи с ними связанные располагавшиеся в одном из пособий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Выполнение работы расширило мои представления о выполнении построений сечения многогранников плоскостью, дало возможность более глубоко освоить некоторые компьютерные программы способствующие развитию конструктивных навыков, которые позволили разобраться в решении задач по стереометрии, предлагающихся в ЕГЭ по математике.

Источник