Пусть k натуральное число известно что среди 29 последовательных чисел 30k 1
Муниципальный этап 2021 олимпиада по математике задания и ответы для 6-11 класса ВСОШ
ПОДЕЛИТЬСЯ
Олимпиада по математике муниципальный этап 2021-2022 официальные задания, решения и ответы для 6,7, 8, 9, 10, 11 класса. Официальная всероссийская олимпиада школьников ВСОШ прошла в Московской области 13 ноября 2021 года.
Скачать задания и ответы
Муниципальный этап 2021 олимпиады по математике 6-11 класс задания и ответы:
1)Найдите самое маленькое число, у которого все цифры различны, сумма первых двух цифр (слева) делится на 2, сумма первых трёх цифр делится на 3, сумма первых четырёх цифр делится на 4, первых пяти цифр делится на 5, первых шести цифр делится на 6.
2)В Солнечном городе 5 коротышек едят пончики ежедневно, 7 коротышек едят пончики через день, а остальные вообще не едят пончики. Вчера 9 коротышек ели пончики. Сколько коротышек будут есть пончики сегодня?
3)Бегун пробежал в первом забеге два круга по стадиону со скоростью v за 4 минуты. Во второй раз он пробежал первый круг со скоростью p, а второй круг со скоростью v/2 и потратил на второй забег 5 минут. Найдите отношение v : p.
4)На болоте по кругу расположены 6 кочек, соединенных дорожками так, как показано на рисунке. На каждой дорожке сидело несколько лягушек (не обязательно равное количество). Затем каждая лягушка поймала на своей дорожке по 10 мух, и положила по 5 мух на каждую из двух кочек, которые соединяла ее дорожка. На пяти кочках указано, сколько мух на них оказалось в итоге. Сколько мух могло оказаться на шестой кочке?
5)Заметим, что каждая лягушка положила по 5 мух на одну белую и на одну серую кочку. Это значит, что суммарное количество мух, оказавшихся на серых кочках равно количеству мух, оказавшихся на белых кочках (а также в 5 раз больше общего количества лягушек). 1) 85 + 40 + 55 = 180 (мух) – всего; 2) 180 − 50 − 65 = 65 – на шестой кочке.
6)За круглый стол сели 9 человек – лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждому из них дали по монете. Затем каждый из сидящих передал свою монету одному из двух своих соседей. После чего каждый сказал: «У меня монет больше, чем у соседа справа». Какое наибольшее число рыцарей могло сидеть за столом?
8)В Солнечном городе 6 коротышек едят пончики ежедневно, 8 коротышек едят пончики через день, а остальные вообще не едят пончики. Вчера 11 коротышек ели пончики. Сколько коротышек будут есть пончики сегодня?
9)У Васи и Миши телефоны показывают 15% заряда. А через час у Васи – 11%, у Миши – 12%. Может ли телефон Миши разрядиться раньше телефона Васи, если телефоны разряжаются равномерно, а показываемый процент заряда – это округленное до целых значение заряда?
10)Даны девять карточек, на которых написаны числа 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9. Из этих карточек сложили три трёхзначных числа A, B, C, у каждого из которых все три цифры разные. Какое наименьшее значение может быть у выражения A + B − C?
11)За круглый стол сели 10 человек – лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждому из них дали по монете. Затем каждый из сидящих передал свою монету одному из двух своих соседей. После чего 5 человек сказали: «У меня одна монета», а остальные 5 сказали: «У меня нет монет». Какое наибольшее число рыцарей могло сидеть за столом?
13)Найдите наибольшее натуральное число, все цифры которого различны, при этом такое, что сумма любых двух его цифр — простое число.
14)У Васи и Миши телефоны показывают 15% заряда. А через час у Васи – 11%, у Миши – 12%. Может ли телефон Миши разрядиться раньше телефона Васи, если телефоны разряжаются равномерно, а показываемый процент заряда – это целая часть значения заряда? Целая часть числа A – это наибольшее целое число, не превосходящее A.
15)Дан прямоугольный треугольник ABC (AB – гипотенуза). На большем катете AC треугольника ABC выбрана точка K так, что AK = BK. Пусть CH – высота треугольника ABC, и точка M симметрична точке B относительно точки H. Докажите, что отрезки BK и CM перпендикулярны.
16)За круглый стол сели 10 человек – лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждому из них дали по монете. Затем каждый из сидящих передал свою монету одному из двух своих соседей. После чего каждый сказал: «У меня монет больше, чем у соседа справа». Какое наибольшее число рыцарей могло сидеть за столом?
17)Если из дискриминанта трехчлена f(x) = ax2 + 2bx + c вычесть дискриминант трехчлена g(x) = (a + 1)x 2 + 2(b + 2)x + c + 4, то получится 24. Найдите f(−2).
18)За круглый стол сели 6 человек – лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждому из них дали по монете. Затем каждый из сидящих передал свою монету одному из двух своих соседей. После чего 3 человек сказали: «У меня одна монета», а остальные 3 сказали: «У меня нет монет». Какое наибольшее число рыцарей могло сидеть за столом?
19)На доске написано N простых чисел (не обязательно различных). Оказалось, что сумма любых трех чисел на доске — тоже простое число. При каком наибольшем N это возможно?
20)Вася вырезал из картона треугольник и занумеровал его вершины цифрами 1, 2 и 3. Оказалось, что если Васин треугольник повернуть по часовой стрелке вокруг его вершины под номером 1 на угол равный углу при этой вершине 15 раз, то треугольник вернется в исходное положение. Если повернуть по часовой стрелке Васин треугольник вокруг его вершины под номером 2 на угол равный углу при этой вершине 6 раз, то треугольник вернется в исходное положение. Вася утверждает, что если повернуть его треугольник вокруг вершины под номером 3 на угол равный углу при этой вершине n раз, то треугольник вернется в исходное положение. Какое минимальное n мог назвать Вася так, чтобы его утверждение было правдивым хотя бы при каком-то картонном треугольнике?
21)В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса CL. Точка K выбрана на гипотенузе этого треугольника так, что AL = BK. Перпендикуляр к AB, проходящий через точку K, пересекает луч CL в точке N. Докажите, что KN = AB.
24)Даны три квадратных трехчлена f(x) = ax2+bx+c, g(x) = bx2+cx+a, h(x) = cx2+ ax+b, где a, b, c – различные ненулевые действительные числа. Из них составили три уравнения f(x) = g(x), f(x) = h(x), g(x) = h(x). Найдите произведение всех корней этих трех уравнений, если известно, что каждое из них имеет по два различных корня
25)На продолжении стороны AC треугольника ABC за точку C выбрана точка D. Пусть S1 – окружность, описанная около треугольника ABD, S2 – окружность, описанная около треугольника CBD. Касательная к окружности S1, проходящая через точку A, и касательная к окружности S2, проходящая через точку C, пересекаются в точке P. Докажите, что точка P лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
26)Дан «скелет» клетчатого квадрата 10 × 10 (то есть множество из вертикальных и горизонтальных отрезков, делящих квадрат на квадратики со стороной 1, включая границу квадрата). И этот скелет разбили на уголки (из двух единичных отрезков) и отрезки длины 2 (тоже из двух единичных отрезков). Могло ли «отрезков длины 2» быть ровно 21?
27)Из трёхзначного числа A, не содержащего в записи нулей, получили двухзначное число B, записав вместо первых двух цифр их сумму (например, число 243 превращается в 63). Найдите A если известно, что A = 3B.
Решения и ответы муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2009-2010 учебном году
муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников
по математике в 2009-2010 учебном году
1.Найдите наименьший целый корень уравнения 
.
2.В треугольнике 
биссектриса 
равна отрезку 
. Найдите угол , если 
.
Ответ. 
Решение:
Пусть отрезок 
симметричен 
относительно (см. рис.).
Так как — биссектриса, точка 
лежит на прямой 
. 
как симметричные, значит, 
, т. е. — медиана 
. Так как равнобедренный, его медиана является высотой, т. е. 
. Тогда и 
.
3. На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могут иметь целые значения?
Ответ. Десять дробей, например: 
.
Покажем, что больше десяти дробей, равных целым числам, получить нельзя. Рассмотрим простые числа 13, 17 и 19. Они могут дать целое число только при делении на 1. Поэтому даже если одно из чисел 13, 17, 19 поделено на 1, то оставшиеся два «испортят» по крайней мере одну дробь. Всего же дробей 11. Следовательно, больше десяти дробей, равных целым числам, получить нельзя.
4. Сколько существует пар двузначных чисел 
и 
, для которых произведение 
является числом, записанным одинаковыми цифрами?
Если и — двузначные числа, то произведение — либо трехзначное, либо четырехзначное число. Предположим, что — четырехзначное число, записанное одинаковыми цифрами. Тогда должны выполняться равенства 
, где 
-ненулевое однозначное число, что невозможно для двузначных чисел и , поскольку 101 – простое число.
Следовательно, всего имеется 7 искомых пар.
Допустим, каждое вычеркнутое число написали ровно два человека. Так как они оба его вычеркнули, то число вычеркнутых записей четно. Но первоначальное число записей, ровно 300, четно. Поэтому должно быть четным и число оставшихся записей. Однако по условию осталось нечетное число записей: 45+68+54=167. Противоречие.
муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников
по математике в 2009-2010 учебном году
1. Имеется 30 бревен, длины 3 и 4 метра, суммарная длина которых равна 100 метров. Каким числом распилов можно распилить бревна на чурбаны длины 1 метр? (Каждым распилом пилится ровно одно бревно).
Первое решение: Склеим все бревна в одно 100 – метровое бревно. Для его раздела на 100 частей нужно сделать 99 распилов, из которых 29 уже было сделано.
Второе решение: Если было 
трехметровых и 
четырехметровых бревен, то 
, откуда 
. Поэтому нужно сделать 
распилов.
2. Какое наименьшее количество чисел нужно исключить из набора 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы оставшиеся числа можно было разбить на две группы с одинаковым произведением чисел в группах? Приведите пример такого разбиения на группы.
Ответ. Нужно исключить три числа, например, 3,7 и 11.
Подойдут группы, произведение чисел в которых равно 1440, например, 
и 
. Очевидно, что числа 7 и 11 должны быть исключены. Произведение остальных чисел есть 
. Поэтому еще необходимо исключить 3 или 12.
3. Точка пересечения медиан 
треугольника является центром окружности, вписанной в треугольник 
. Докажите, что треугольник — равносторонний.
Решение. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому диагональ 
(см. рис.) параллелограмма
( 
и 
— средние линии 
)
является биссектрисой его угла 
. Значит, — ромб. Но тогда
, т. е. 
. Аналогично, 
.
4. Назовём натуральное число особым, если оно представимо в виде 
, где и — целые числа. Докажите, что произведение двух особых чисел – также особое число.
Утверждение задачи следует из тождества: 
.
5. В шахматном турнире в школе участвовало 20 участников. Каждый сыграл с каждым по одной партии. После окончания турнира оказалось, что ровно один ученик набрал 9,5 очков и он занял девятнадцатое место. Мог ли победитель турнира обойти игрока, занявшего второе место, на 1 очко?
В любом случае первого от второго отделяет не более 0,5 очка.
муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников
по математике в 2009-2010 учебном году
1. Известно, что x и y – различные числа, причем (x – 2009)(x – 2010) = (y – 2009)(y – 2010). Какие значения может принимать выражение x + y?
Первый способ. В данном равенстве раскроем скобки, перенесем все в левую часть, и разложим ее на множители: x2 – y2 – 4019x + 4019y = 0 Û (x – y)(x + y – 4019) = 0. Так как x ¹ y, то x + y = 4019.
Второй способ. Пусть (x – 2009)(x – 2010) = (y – 2009)(y – 2010) = с, тогда x и y – корни квадратного уравнения z2 – (2009 + 2010)z + 2009×2010 – c = 0. По теореме Виета находим сумму корней полученного квадратного уравнения: x + y = 2009 + 2010 = 4019.
2. Кузнечик прыгает по координатной прямой. Сначала он прыгает из точки с координатой 0 в точку с координатой 1, а длина каждого следующего прыжка вдвое больше предыдущего. Сможет ли он вернуться в исходную точку, двигаясь подобным образом? (Направление каждого прыжка: влево или вправо – не зависит от направления предыдущего прыжка.)
3. Известно, что сумма четырех целых чисел кратна шести. Докажите, что сумма кубов этих чисел также кратна шести.
Заметим, что если n – целое число, то n3 – n кратно 6. Действительно, n3 – n = n(n2 – 1) = (n – 1)n(n + 1), что представляет собой произведение трех последовательных целых чисел, среди которых хотя бы одно число делится на 2 и ровно одно число делится на 3.
Таким образом, разность (a3 + b3 + c3 + d3) – (a + b + c + d) = (a3 – а) + (b3 – b) + (c3 – c) + (d3 – d) кратна 6. По условию сумма целых чисел a + b + c + d кратна 6, Следовательно, сумма их кубов a3 + b3 + c3 + d3 также кратна 6.
Отметим, что первую часть доказательства можно было провести иначе, а именно: рассматривая все возможные остатки от деления целого числа на 6, показать, что числа n3 и n имеют одинаковые остатки при делении на 6.
4. В треугольнике ABC медиана BM равна стороне AC. На продолжениях сторон BA и AC за точки A и C выбраны точки D и E соответственно, причём AD = AB и CE = CM. Докажите, что прямые DM и BE перпендикулярны
Пусть F – середина отрезка ВМ (см. рис.). Из условия задачи следует, что MF = MA = MC, значит, ÐАFC = 90°. Кроме того, из условия следует, что AF – средняя линия треугольника DBM, а CF – средняя линия треугольника ВМЕ. Следовательно, DM || AF, BE || CF, поэтому, DM^ВЕ, что и требовалось.
5. Квадрат разделили на прямоугольники, проведя несколько разрезов, параллельно его сторонам (от края до края). Оказалось, что сумма периметров этих прямоугольников в семь раз больше периметра исходного квадрата. Какое наибольшее количество прямоугольников могло получиться?
Рассмотрим квадрат ABCD со стороной a, тогда его периметр равен 4а. Пусть проведенные разрезы разбили сторону АВ на m отрезков, а сторону ВС – на n отрезков (см. рис). Количество получившихся при этом прямоугольников равно mn.
Так как каждый отрезок, лежащий на границе квадрата ABCD, является стороной одного из таких прямоугольников, а каждый внутренний отрезок – стороной двух прямоугольников, то сумма периметров образовавшихся прямоугольников равна: 2(m – 1)a + 2(n – 1)a + 4a = 2(m + n)a.
По условию задачи: 2(m + n)a = 28а, то есть m + n = 14. Если сумма двух положительных чисел m и n фиксирована, то их произведение достигает наибольшего значения, когда m = n. Это следует, например, из неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим 
или из того, что наибольшее значение квадратичной функции f(x) = x(S – x) достигается при 
.
муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников
по математике в 2009-2010 учебном году
1. Кузнечик прыгает по координатной прямой. Сначала он прыгает из точки с координатой 0 в точку с координатой 1, а длина каждого следующего прыжка вдвое больше предыдущего. Сможет ли он вернуться в исходную точку, двигаясь подобным образом? (Направление каждого прыжка: влево или вправо – не зависит от направления предыдущего прыжка.)
Первый способ. Поскольку длина первого прыжка нечетна, а остальные длины прыжков – четные, то и сумма длин всех прыжков нечетна. А для того, чтобы вернуться в начальную точку, кузнечику нужно преодолеть путь четной длины.
Второй способ. Заметим, что в любой момент длина последнего прыжка больше, чем сумма длин всех предыдущих прыжков: 2n > 1 + 2 + 22 + … + 2n – 1 = 2n – 1. Это означает, что после n – 1 прыжков кузнечик не может оказаться от начала координат на расстоянии 2n.
2. Квадратный трехчлен f(x) = x2 + аx + b имеет два корня, один из которых лежит внутри отрезка [0; 1], а другой – вне этого отрезка. Определите знак f(b).
Ответ: f(b) |b|. Учитывая, что x1 > 0, рассмотрим два случая:
1) Если x2 1, то b = x1×x2 > 1 и x2 > b. Следовательно, bÎ(x1; x2), то есть f(b) 1 и заканчивается числом m. Тогда число n + m, являющееся суммой двух чисел одного цвета, можно также представить и как сумму двух чисел другого цвета: n + m = (n – 1) + (m + 1).
муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников
по математике в 2009-2010 учебном году