Пять в нулевой степени чему равно
Число в нулевой степени
Возведение в степень является одним из основных математических действий, без которых невозможны сложные расчеты. При этом отдельного рассмотрения заслуживает нулевая степень числа.
Возведение числа в нулевую степень
Известно, что при x 0 любое x равно 1 (x 0 = 1). Чтобы доказать это, нужно выяснить, откуда собственно взялся этот ноль?
Для этого вспомним формулы сложения и вычитания степеней.
7 3 = 7 2+1 = 7 2 × 7 1 = 7 × 7 × 7, ⇒
7 0 = 7 3-3 = 7 3 ÷ 7 3 = 1
Доказательство получено. Однако есть исключение из этого правила.
Парадокс нуля
Здесь все гораздо сложнее, но не настолько, чтобы не разобраться.
Известно, что 0 x = 0. Например: 0 4 = 0 × 0 × 0 × 0 = 0
Почему же мы часто встречаем выражение 0 0 = 1?
Подберем значения по табл.1.
Таблица 1. Функция ƒ(x) = x x
| x | x x |
| 1 | 1 |
| 0,9 | 0,909 |
| 0,8 | 0,836 |
| 0,7 | 0,779 |
| 0,6 | 0,736 |
| 0,5 | 0,707 |
| 0,4 | 0,693 |
| 0,3 | 0,697 |
| 0,2 | 0,725 |
| 0,1 | 0,794 |
| 0,01 | 0,955 |
| 0,001 | 0,993 |
Как видим, с определенного момента значение x x растет вместе с уменьшением x. В этом нет ничего сверхъестественного, это всего лишь пример действия формулы
Изобразим это на графике
Рис.1 График y = ƒ(x) = x x
Таким образом, делаем предположение, что это выражение является пределом.
Выразить это можно так:
Проверим, вычислив это значение.
Преобразуем основание выражения. Получаем:
x x = (e ln x ) x = e x ln x
Получаем следующее выражение:
Пользуемся правилом Лопиталя:
Официальная позиция современной математики гласит, что выражение 0 0 — представляет собой неопределенность, то есть не имеет точного значения.
Однако на практике, при расчетах, его значение подстраивается под конкретные требования. И чаще всего в этих случаях оно равно единице. Чтобы лучше разобраться с темой нулевой степени, советуем посмотреть видео ниже.
Степень 0
В алгебре возведение с нулевую степень встречается часто. Что такое степень 0? Какие числа можно возводить в нулевую степень, а какие — нет?
Любое число в нулевой степени, за исключением нуля, равно единице:
Таким образом, какое бы число ни возвели в степень 0, результат всегда получится одинаковый — единица.
И 1 в степени 0, и 2 в степени 0, и любое другое число — целое, дробное, положительное, отрицательное, рациональное, иррациональное — при возведении в нулевую степень дает единицу.
Единственное исключение — нуль.
Нуль в нулевой степени не определен, такое выражение не имеет смысла.
То есть в нулевую степень можно возводить любое число, кроме нуля.
Если при упрощении выражения со степенями получается число в нулевой степени, его можно заменить единицей:
Если при упрощении получается переменная или выражение с переменными в нулевой степени, пишем дополнительное условие — основание степени должно быть отличным от нуля:
Число в первой и нулевой степени, как состовлять
Свойства степени с натуральным показателем.
Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями мы основания не меняем, а показатели степеней складываем :
например: 7 1.7 · 7 – 0.9 = 7 1.7+( – 0.9) = 7 1.7 – 0.9 = 7 0.8
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем :
При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.
например: (2 3 ) 2 = 2 3·2 = 2 6
Если необходимо рассчитать возведение в степень произведения, то в эту степень возводится каждый множитель
При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби
Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа
Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа, например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа, к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».
Таблица степеней от 1 до 10
1 1 = 1
1 2 = 1
1 3 = 1
1 4 = 1
1 5 = 1
1 6 = 1
1 7 = 1
1 8 = 1
1 9 = 1
1 10 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024
3 1 = 3
3 2 = 9
3 3 = 27
3 4 = 81
3 5 = 243
3 6 = 729
3 7 = 2187
3 8 = 6561
3 9 = 19683
3 10 = 59049
4 1 = 4
4 2 = 16
4 3 = 64
4 4 = 256
4 5 = 1024
4 6 = 4096
4 7 = 16384
4 8 = 65536
4 9 = 262144
4 10 = 1048576
5 1 = 5
5 2 = 25
5 3 = 125
5 4 = 625
5 5 = 3125
5 6 = 15625
5 7 = 78125
5 8 = 390625
5 9 = 1953125
5 10 = 9765625
6 1 = 6
6 2 = 36
6 3 = 216
6 4 = 1296
6 5 = 7776
6 6 = 46656
6 7 = 279936
6 8 = 1679616
6 9 = 10077696
6 10 = 60466176
7 1 = 7
7 2 = 49
7 3 = 343
7 4 = 2401
7 5 = 16807
7 6 = 117649
7 7 = 823543
7 8 = 5764801
7 9 = 40353607
7 10 = 282475249
8 1 = 8
8 2 = 64
8 3 = 512
8 4 = 4096
8 5 = 32768
8 6 = 262144
8 7 = 2097152
8 8 = 16777216
8 9 = 134217728
8 10 = 1073741824
9 1 = 9
9 2 = 81
9 3 = 729
9 4 = 6561
9 5 = 59049
9 6 = 531441
9 7 = 4782969
9 8 = 43046721
9 9 = 387420489
9 10 = 3486784401
10 1 = 10
10 2 = 100
10 3 = 1000
10 4 = 10000
10 5 = 100000
10 6 = 1000000
10 7 = 10000000
10 8 = 100000000
10 9 = 1000000000
10 10 = 10000000000
Возведение числа в нулевую степень
Первая степень числа
Любое число в первой степени равно самому себе, так как показатель степени 1 указывает что число берётся сомножителем всего один раз, то есть оно ни на что не умножается,а просто остаётся без изменений.
Отрицательный показатель степени
Показатели степени могут быть не только положительными, но и отрицательными.
Возведение в степень
Результат возведения в степень называется степенью (также как и само выражение, значение которого вычисляется). В выражении:
2 – это основание степени, 3 – показатель степени, 8 – степень.
a) 11 2 = 11 · 11 = 121;
б) 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32;
в) 10 4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.
Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.
При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.
Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.
Теория множеств
Вроде на этом можно остановиться, но есть еще одно элегантное доказательство. Дело в том, что математика, это не только цифры и числовые оси. Есть комбинаторика, теория функций, множество других разделов, где нужно значение 0 в степени 0.
Итак, есть три блогера смежной тематики: Я, Артур Шарифов и Топа. И есть две обалденные темы для ролика, например, искусственный интеллект и космос! Каждый записывает 1 ролик на 1 тему, повторяться, конечно, можно. Вопрос: сколькими вариантами они могут это сделать? Ну то есть все на одну тему, или двое одну, третий другую?
К чему эта задача? В теории множеств есть теорема, согласно которой множество с количеством элементов M можно отобразить на множество с количеством элементов N вот столькими вариантами N в степени M.
Здесь как раз множество блогеров (3 элемента) отображается на множество тем (2 элемента). В итоге получается 8 вариантов.
Если что, вот они все перед вами:
Дело в том, что бывают и пустые множества! И есть только один вариант отображения пустого множества на пустое. А это значит, что 0 в степени 0 и есть единица! Это чисто символическое доказательство, не такое серьезное. Но все равно, логично что, ноль блогеров может записать ноль роликов только одним способом.
Как возвести число в натуральную степень?
Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:
Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.
Как возвести число в целую отрицательную степень?
Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.
Теория
Степень числа – это сокращенная запись операции многократного умножения числа самого на себя. Само число в данном случае называется – основанием степени, а количество операций умножения – показателем степени.
запись читается: «a» в степени «n».
«a» – основание степени
«n» – показатель степени
4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096
Данное выражение читается: 4 в степени 6 или шестая степень числа четыре или возвести число четыре в шестую степень.
Как возвести число в степень.
Давайте рассмотрим процесс возведения в степень на примере. Пусть нам необходимо возвести число 5 в 3-ю степень. На языке математики 5 — это основание, а 3 — показатель (или просто степень). И записать это можно кратко в таком виде:
Возведение в степень
А чтобы найти значение, нам будет необходимо число 5 умножить на себя 3 раза, т. е.
5 3 = 5 x 5 x 5 = 125
Соответственно, если мы хотим найти значение числа 7 в 5 степени, мы должны число 7 умножить на себя 5 раз, т. е. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Другое дело когда требуется возвести число в отрицательную степень.
Парадокс нуля
Таблица 1. Функция ƒ(x) = x x
| x | x x |
| 1 | 1 |
| 0,9 | 0,909 |
| 0,8 | 0,836 |
| 0,7 | 0,779 |
| 0,6 | 0,736 |
| 0,5 | 0,707 |
| 0,4 | 0,693 |
| 0,3 | 0,697 |
| 0,2 | 0,725 |
| 0,1 | 0,794 |
| 0,01 | 0,955 |
| 0,001 | 0,993 |
Как видим, с определенного момента значение x x растет вместе с уменьшением x. В этом нет ничего сверхъестественного, это всего лишь пример действия формулы
Изобразим это на графике
Проверим, вычислив это значение. Преобразуем основание выражения. Получаем:
x x = (e ln x ) x = e x ln x
Пользуемся правилом Лопиталя:
Доказательство получено. Официальная позиция современной математики гласит, что выражение 0 0 – представляет собой неопределенность, то есть не имеет точного значения. Однако на практике, при расчетах, его значение подстраивается под конкретные требования. И чаще всего в этих случаях оно равно единице. Чтобы лучше разобраться с темой нулевой степени, советуем посмотреть видео ниже.
Как пользоваться таблицей степеней числа два?
| Степень двойки (n) | Значение степени двойки 2 n | Максимальное число без знака, |
записанное с помощью n бит
Как пользоваться калькулятором степеней
Калькулятор помогает возводить число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые целые числа и десятичные дроби. Показатель степени тоже может быть любой десятичной дробью, однако следует помнить о том, что для отрицательных чисел не определена операция возведения в нецелую степень.
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
Степень с целым показателем
Степень числа a с целым положительным показателем есть не что иное как степень числа a с натуральным показателем: 
, где n – целое положительное число.
Рассмотрим данное определение степени с целым отрицательным показателем на конкретных примерах: 
.
Подытожим информацию этого пункта.
Степень числа a с целым показателем z определяется так:
Better Explained: Как понять ноль в нулевой степени?
Как мы можем повторить ноль нулевое количество раз и получить единицу? Всё дело в том, что наш подход к степени числа как к многократному умножению неверен. Нам нужно сменить парадигму. Давайте посмотрим, как мы привыкли воспринимать арифметические действия, и что они на самом деле из себя представляют.
Сложение
Как мы привыкли думать: это повторяющийся счёт
Как на самом деле: перемещение
Умножение
Как мы привыкли думать: это многократное сложение
Как на самом деле: масштабирование
Степень
Как мы привыкли думать: многократное умножение
Как на самом деле: рост с течением времени
Смотрим на арифметику как на преобразование
Отойдём на шаг назад. Как мы изучаем арифметику? Нас учат, что числа — это некое количество единиц; сложение — это прибавление одного количества единиц к другому количеству единиц (3+4 = 7), а умножение — это многократное сложение (2*3 = 2+2+2 = 6).
Очевидно, что эта модель восприятия неполноценна. Числа — это не просто единицы чего-то; гораздо лучше представлять их как некие точки с определённым положением на линии. Положение может быть отрицательным (-1), либо между другими числами (2²), либо в другом измерении (i).
Таким образом арифметика предстаёт перед нами как способ преобразовывать число. Сложение становится перемещением (+3 — это перемещение на 3 единицы вправо); умножение становится масштабированием (*3 — это увеличить число в три раза).
А что же такое тогда степень числа?
Познакомьтесь с Экпандотроном™
Это Экспандотрон 3000. Он выглядит как достаточно потрёпанная микроволновка, но вместо подогрева пищи она занимается ростом чисел. Просто положите число внутрь и проделайте несколько простых операций.
Вуаля! После звукового сигнала достаём наше новенькое готовое число. Например, мы хотим изменить 1 на 9. Что нам нужно сделать?
Что мы видим? Мы видим, как число начинает преобразовываться: 1; 1,1; 1,2. По окончании первой секунды оно уже выглядит как 3 и продолжает меняться: 3,1; 3,5; 4,0; 6,0; 7,5. И по окончании второй секунды оно превратилось в 9.
В математическом представлении Экспандотрон (или показательная функция) делает для нас следующее:
Например, 3 2 = 9/1. Основанием является то количество раз, в которое нам нужно вырастить число (х3), а степенью — количество времени (2). Формула типа 2 n означает «Используйте свой Экспандотрон на мощности х2 в течение n секунд».
Работу Экспандотрона мы всегда начинаем с 1, чтобы посмотреть, как он меняет одну единицу. Если мы хотим посмотреть, что случится с 3 в Экспандотроне, мы просто масштабируем конечный результат. Например:
Начните с 1 и умножьте на двойку в третьей степени: 1*2 3 = 1 * 2 * 2 * 2 = 8
Начните с 3 и умножьте на двойку в третьей степени: 3*2 3 = 3 * 2 * 2 * 2 = 24
Каждый раз, когда вы видите простую степень, вы начинаете с 1.
Идём к пониманию масштабирующего множителя
При умножении мы можем просто указать конечный масштабирующий множитель. Хотите число в 8 раз больше? Умножаем на 8. Готово.
Степени более капризны в обращении. Вот как они работают:
Вы: Хочу вырастить вот это число.
Экспандотрон: Ок, давай его сюда.
Вы: И насколько большим оно станет?
Экспандотрон: Пффф, без понятия. Давай посмотрим.
Вы: Посмотрим? Я думал, ты зна.
Экспандотрон: Тихо! Оно растёт! Растёт!
Экспандотрон: Готово! Это шедевр!
Это может звучать раздражающе неопределённо, но знаете, что? Большинство явлений природы заканчиваются неизвестно чем!
Как думаете, бактерия действительно планирует делиться каждые 14 часов? Нет, она просто питается забытым вами в холодильнике хлебом и растёт так быстро, как только может. Чтобы предсказать поведение этой бактерии, мы можем лишь использовать значения темпа её роста и длительности роста — и только потом мы получим конечное значение.
Иными словами, степень числа — это такой способ сказать «Начинаем с таких условий, изменяем их и смотрим, к чему мы придём». Этим и занимается наш Экспандотрон.
Идём к пониманию дробных степеней
Очень легко запутаться, если мы думаем о двойке в полуторной степени привычным способом — как о многократном умножении. Но в Экспандотроне всё просто: 1,5 — это всего лишь проведённое в нём время.
2 1,5 означает 1,5 секунды в машине, значит, этот рост окажется где-то между двукратным и четырёхкратным.
Умножение степеней
Что если мы захотим прогнать два цикла роста один за другим? Ну, например, мы используем машину в течение 2 секунд, а потом ещё 3 секунды на той же мощности:
Представьте самую обычную микроволновку. Разве это не будет самый обычный цикл длительностью в 5 секунд? Будет. Здесь происходит то же самое — раз уже мощность (основание) остаётся одинаковой, мы просто складываем время:
Квадратные корни
Продолжим. Предположим, мы выбрали мощность а и устанавливаем рост в течение 3 секунд:
Неплохо. Как будет выглядеть рост в течение половины этого времени? Логично, что 1,5 секунды.
А если мы проделаем то же самое два раза?
частичный рост * частичный рост = полный рост
Смотрим на это уравнение и видим, что «частичный рост» — это квадратный корень из значения полного роста. А если мы разделим время на три части?
частичный рост * частичный рост * частичный рост = полный рост
А вот и кубический корень! Это даёт нам интуитивное понимание того, почему деление степеней даёт нам корни: мы разбиваем время на равные доли.
Отрицательные степени
А как быть с отрицательными степенями? Отрицательные степени для нас будут значить обратный отсчёт во времени. Если движение вперёд во времени приводит нас к росту, движение назад, скорее всего, выльется в уменьшение числа.
Это значит следующее: «Секунду назад у нас была половина от текущего количества (1/2 1 ). Любой график экспоненциального роста строится именно так.
Выберите точку на шкале времени, например, 3,5 секунды (2 3,5 = 11,3). Через секунду мы удвоим наше количество (2 4,5 = 22,5). А секунду назад у нас была всего лишь половина от текущего количества (2 2,5 = 5,65).
Приходим к нулевой степени
Значит, масштабирующий множитель равен единице, значит, никаких изменений с нашим числом не происходит. Новое число будет равняться исходному числу, то есть (вы же помните, что исходное число у нас единица?) единице. Масштабирования не происходит.
Приходим к нулевому основанию
Приходим к нулевому основанию в нулевой степени
0 в степени 0 означает рост х0 в течение 0 секунд. Хоть мы и планировали аннулировать число, мы так и не запустили машину. Новое число равно исходному числу (то есть в наш Экспандотрон мы положили единицу), масштабирующий множитель тоже равен единице.
Конечно, Экспандотрона на самом деле не существует (а жаль!). Конечно, числа на самом деле не выстраиваются в линейку — они всего лишь один из множества способов взглянуть на мир.
По материалам очаровательной статьи на Better Explained.