Рациональное выражение что это
Рациональное выражение
Смотреть что такое «Рациональное выражение» в других словарях:
Рациональное выражение — Рациональное выражение алгебраическое выражение, не содержащее радикалов. Другими словам, это одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединённых между собой знаками арифметических действий: сложения, вычитания, умножения… … Википедия
РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., a2 + b, x/(y z2) … Большой Энциклопедический словарь
рациональное выражение — алгебраическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Например, a2 + b, х/(у z2). * * * РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, алгебраическое выражение, не содержащее… … Энциклопедический словарь
РАЦИОНАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — алгебрарическое выражение, не содержащее радикалов и включающее только действия сложения, вычитания, умножения и деления. Напр., а2 + b, х/(y z2) … Естествознание. Энциклопедический словарь
ВЫРАЖЕНИЕ — первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия
РАЦИОНАЛЬНОЕ — (Rational; Rational) термин, используемый для описания мыслей, чувств и действий, согласуемых с разумом; установка, базирующаяся на объективных ценностях, полученных в результате практического опыта.«Объективные ценности устанавливаются в опыте… … Словарь по аналитической психологии
РАЦИОНАЛЬНОЕ ПОЗНАНИЕ — субъективный образ объективного мира,полученный с помощью мышления. Мышление – активный процесс обобщенного и опосредованного отражения действительности, обеспечивающий открытие на основе чувственных данных ее закономерных связей и их выражение … Философия науки и техники: тематический словарь
УРАВНЕНИЕ, РАЦИОНАЛЬНОЕ — Логическое или математическое выражение, основанное на (рациональных) предположениях о процессах. Такие уравнения отличаются от эмпирических уравнений тем, что их параметры получаются в результате дедуктивных выводов из теоретических… … Толковый словарь по психологии
РАЦИОНАЛЬНЫЙ — РАЦИОНАЛЬНЫЙ, рациональная, рациональное; рационален, рациональна, рационально. 1. прил. к рационализм (книжн.). Рациональная философия. 2. Вполне разумный, обоснованный, целесообразный. Он внес рациональное предложение. Рациональное… … Толковый словарь Ушакова
РЕЗОЛЬВЕНТА — 1) Р. а л г е б р а и ч е с к о г о у р а в н е н и я f(x)=0степени п алгебраическое уравнение g(y)=0с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), такое, что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения… … Математическая энциклопедия
Целые рациональные выражения
Содержание:
Целые рациональные выражения
Целые рациональные выражения — это рациональные выражения, не содержащие деления на переменные. Целые рациональные выражения состоят из чисел и переменных, соедененных знаками арифметических действий или возведения в целую степень. При этом в знаменателе нет выражений с переменными.
Одночлены и операции над ними
Одночленом называют такое выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения. Например, 
— одночлены, тогда как выражения 
— не являются одночленами.
Любой одночлен можно привести к стандартному виду, т. е. представить в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Сумму показателей степеней всех переменных называют степенью одночлена.
Если между двумя одночленами поставить знак умножения, то получится одночлен, называемый произведением исходных одночленов. При возведении одночлена в натуральную степень также получается одночлен. Результат обычно приводят к стандартному виду.
Приведение одночлена к стандартному виду, умножение одночленов — тождественные преобразования.
Пример 1.
Привести к стандартному виду одночлен 
Решение:
Пример 2.
Выполнить умножение одночленов 
Решение:
Пример 3.
Возвести одночлен 
в четвертую степень.
Решение:
Одночлены, приведенные к стандартному виду, называют подобными, если они отличаются только коэффициентом или совсем не отличаются. Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате чего снова получается одночлен, подобный исходным (иногда получается 0). Сложение и вычитание подобных одночленов называют приведением подобных членов.
Пример 4.
Выполнить сложение одночленов 
Решение:
Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду
Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 51) и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.
Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида — в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.
Пример 1.
Привести многочлен 
к стандартному виду.
Решение:
Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена.
Получим 
После приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида 
Пример 2.
Привести многочлен 
к стандартному виду.
Решение:
Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим
Пример 3.
Решение:
Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим
Пример 4.
Решение:
Произведение одночлена и многочлена равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена:
Пример 5.
Решение:
Имеем 
Пример 6.
Решение:
Имеем 
Осталось привести подобные члены (они подчеркнуты). Получим
Формулы сокращенного умножения
В некоторых случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:
Эти тождества называют формулами сокращенного умножения.
Рассмотрим примеры, в которых нужно преобразовать заданное выражение в многочлен стандартного вида.
Пример 1.
Решение:
Воспользовавшись формулой (1), получим
Пример 2.
Решение:
Пример 3.
Решение:
Воспользовавшись формулой (3), получим
Пример 4.
Решение:
Воспользовавшись формулой (4), получим
Разложение многочленов на множители
Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких множителей — многочленов или одночленов. Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.
Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители.
1. Вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона
Пример 1.
Разложить на множители многочлен 
Решение:
Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена — целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.
2. Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1) — (7) из п. 53, будучи прочитанными «справа налево», во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.
Пример 2.
Разложить на множители 
Решение:
Имеем 
Применив формулу (1) (разность квадратов), получим 
Применив теперь формулы (4) и (5) (сумма кубов, разность кубов), получим
Пример 3.
Решение:
Сначала вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а или Ь входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим
Так как, далее, по формуле (2), 
то окончательно получаем 
3. Способ группировки. Он основан на том, что пе-реместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается один и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки.
Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители способом группировки
Пример 4.
Решение:
Произведем группировку следующим образом:
Пример 5.
Решение:
Пример 6.
Решение:
Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В нашем примере целесообразно представить 
в виде суммы 
Получим
Пример 7.
Решение:
Прибавим и отнимем одночлен 
Получим 
Здесь применен метод выделения полного квадрата.
Многочлены от одной переменной
Многочлен 
, где 
— числа (
), a х — переменная, называют многочленом первой степени; многочлен 
где 
— числа (), а х — переменная, называют многочленом второй степени или квадратным трехчленом; многочлен 
где 
— числа (), a х — переменная, называют многочленом третьей степени.
Вообще если 
— числа (), а х — переменная, то многочлен
называют многочленом п-й степени (относительно х); 
— члены многочлена, — коэффициенты, 
— старший член многочлена, 
— коэффициент при старшем члене, 
— свободный член многочлена. Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т. е. степени переменной х постепенно уменьшаются, в частности на первом месте стоит старший член, на последнем — свободный член. Степень многочлена — это степень старшего члена.
Например, 
— многочлен пятой степени, в котором 
— старший член, 1 — свободный член многочлена.
Если коэффициент при старшем члене равен 1, то многочлен называют приведенным, если указанный коэффициент отличен от 1, то неприведенным.
Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 является корнем многочлена 
так как 
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Если 
— корни квадратного трехчлена 
(т. е. корни уравнения 
= 0), то
Эта формула применяется для разложения квадратного трехчлена на множители.
Пример:
Разложить на множители 
Решение:
Применив формулу корней квадратного уравнения (см. п. 137) к уравнению 
, находим 
Значит,
Разложение на множители двучлена 
Если перемножить многочлены 
то получим
Обобщением формул (1), (2), (3) является формула разложения на множители двучлена 
Если, в частности, 
= 1, то получаем
Например, 
Возведение двучлена в натуральную степень (бином Ньютона)
В этом пункте речь идет о том, как двучлен (или бином) 
возвести в любую натуральную степень.
Воспользовавшись тем, что 
можно вывести формулу
Вообще справедлива следующая формула (бином Ньютона):
Пример:
Для 
по формуле бинома Ньютона получаем
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.