Разность двух нечетных чисел равна 8 докажите что эти числа взаимно простые
Теория чисел
В теории чисел есть множество разнообразных задач, как решенных, так и нет, как очень сложных, так и доступных любому, кто имеет начальный уровень в математике. Их решение зачастую не требует каких-то специальных знаний и навыков, необходим лишь здравый смысл и присутствие логики.
В конце статьи приведен список литературы, которая послужила источником приведенных здесь задач.
Задачи на делимость
Задача Найти число делителей и сумму делителей числа 720.
Решение: Каноническое раpложение числа 720 = 2 4 *3 2 *5
Найдем сумму делителей по формуле:
Найдем число делителей числа 720:
N = (4+1)(2+1)(1+1) = 30
Задача Если сумма двух трехзначных чисел делится на 37, то и шестизначное число, составленное приписыванием одного из них к другому, также делится на 37.
Доказательство: Если N1=abc и N2=def, то abcdef=N1*10 3 + N2 = (N1 + N2) + 999N1.
(N1 + N2) делится на 37 по определению, а 999 кратно 37.
Задачи на нахождение наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного [НОК]
Задача Найти НОД для следующих чисел:
1. d = (a,b) и m = [a,b]
2. ab и m = [a,b]
3. a+b и m=[a,b]
Решение:
1. (d, m) = (d, [dx, dy]) = d(1, [x, y]) = d
2. (ab, m) = (dm, m)=m(d, 1) = m, где d=(a, b)
3. Пусть (a, b)=d и a = dx, b = dy, где (x, y) = 1. Тогда (a+b, m) = (d(x+y), dxy) = (d(x+y, xy) = d. Следовательно, (а+b, [a, b]) = (a, b).
Задача Решить систему уравнений:
x+y=150
(x,y)=30
Решение:
Второе уравнение равносильно системе из 3 уравнений:
x=30u
y=30v
(u,v)=1
После подстановки в первое уравнение получаем: u+v=5, откуда u может принимать значения 1,2,3,4. Отсюда x=30,60,90,120. y=120,90,60,30.
Задачи о простых числах
Задача Разложить на простые множители число 30!
Решение:
Разложение имеет вид:
30! = 2 a1 + 3 a2 + 5 a3 + 7 a4 + 11 a5 + 13 a6 + 17 a7 + 19 a8 + 23 a9 + 29 a10
Найдем a1 = |30/2| + |30/4| + |30/8| + |30/16| = 26
Найдем a2 = |30/3| + |30/9| + |30/27| = 14
Найдем a3 = |30/5| + |30/25| = 7
И т.д. В результате
30! = 2 26 + 3 14 + 5 7 + 7 4 + 11 2 + 13 2 + 17 + 19 + 23 + 29
Задача Доказать, что по модулю 4 множество всех простых чисел может быть разбито на два подмножества: на простые числа вида 4п+1 и на простые числа вида 4n+3
Доказательство: Множество всех натуральных чисел по модулю 4 может быть разбито на 4 подмножества (по числу возможных остатков): на числа вида 4п, 4n+1, 4n+2 и 4n+З. Числа вида 4п и вида 4n+2 составные. Следовательно, все простые числа содержатся среди натуральных чисел вида 4n+l и вида 4n+З.
Разные задачи
Задача Дано целое число A, у которого есть взаимно-простые с ним числа n. Также у этого числа A имеются простые делители p. Убедиться в справедливости следующего равенства:
S = ∑ μ(d)*Sd
Теория чисел
В теории чисел есть множество разнообразных задач, как решенных, так и нет, как очень сложных, так и доступных любому, кто имеет начальный уровень в математике. Их решение зачастую не требует каких-то специальных знаний и навыков, необходим лишь здравый смысл и присутствие логики.
В конце статьи приведен список литературы, которая послужила источником приведенных здесь задач.
Задачи на делимость
Задача Найти число делителей и сумму делителей числа 720.
Решение: Каноническое раpложение числа 720 = 2 4 *3 2 *5
Найдем сумму делителей по формуле:
Найдем число делителей числа 720:
N = (4+1)(2+1)(1+1) = 30
Задача Если сумма двух трехзначных чисел делится на 37, то и шестизначное число, составленное приписыванием одного из них к другому, также делится на 37.
Доказательство: Если N1=abc и N2=def, то abcdef=N1*10 3 + N2 = (N1 + N2) + 999N1.
(N1 + N2) делится на 37 по определению, а 999 кратно 37.
Задачи на нахождение наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного [НОК]
Задача Найти НОД для следующих чисел:
1. d = (a,b) и m = [a,b]
2. ab и m = [a,b]
3. a+b и m=[a,b]
Решение:
1. (d, m) = (d, [dx, dy]) = d(1, [x, y]) = d
2. (ab, m) = (dm, m)=m(d, 1) = m, где d=(a, b)
3. Пусть (a, b)=d и a = dx, b = dy, где (x, y) = 1. Тогда (a+b, m) = (d(x+y), dxy) = (d(x+y, xy) = d. Следовательно, (а+b, [a, b]) = (a, b).
Задача Решить систему уравнений:
x+y=150
(x,y)=30
Решение:
Второе уравнение равносильно системе из 3 уравнений:
x=30u
y=30v
(u,v)=1
После подстановки в первое уравнение получаем: u+v=5, откуда u может принимать значения 1,2,3,4. Отсюда x=30,60,90,120. y=120,90,60,30.
Задачи о простых числах
Задача Разложить на простые множители число 30!
Решение:
Разложение имеет вид:
30! = 2 a1 + 3 a2 + 5 a3 + 7 a4 + 11 a5 + 13 a6 + 17 a7 + 19 a8 + 23 a9 + 29 a10
Найдем a1 = |30/2| + |30/4| + |30/8| + |30/16| = 26
Найдем a2 = |30/3| + |30/9| + |30/27| = 14
Найдем a3 = |30/5| + |30/25| = 7
И т.д. В результате
30! = 2 26 + 3 14 + 5 7 + 7 4 + 11 2 + 13 2 + 17 + 19 + 23 + 29
Задача Доказать, что по модулю 4 множество всех простых чисел может быть разбито на два подмножества: на простые числа вида 4п+1 и на простые числа вида 4n+3
Доказательство: Множество всех натуральных чисел по модулю 4 может быть разбито на 4 подмножества (по числу возможных остатков): на числа вида 4п, 4n+1, 4n+2 и 4n+З. Числа вида 4п и вида 4n+2 составные. Следовательно, все простые числа содержатся среди натуральных чисел вида 4n+l и вида 4n+З.
Разные задачи
Задача Дано целое число A, у которого есть взаимно-простые с ним числа n. Также у этого числа A имеются простые делители p. Убедиться в справедливости следующего равенства:
S = ∑ μ(d)*Sd
Теория чисел
В теории чисел есть множество разнообразных задач, как решенных, так и нет, как очень сложных, так и доступных любому, кто имеет начальный уровень в математике. Их решение зачастую не требует каких-то специальных знаний и навыков, необходим лишь здравый смысл и присутствие логики.
В конце статьи приведен список литературы, которая послужила источником приведенных здесь задач.
Задачи на делимость
Задача Найти число делителей и сумму делителей числа 720.
Решение: Каноническое раpложение числа 720 = 2 4 *3 2 *5
Найдем сумму делителей по формуле:
Найдем число делителей числа 720:
N = (4+1)(2+1)(1+1) = 30
Задача Если сумма двух трехзначных чисел делится на 37, то и шестизначное число, составленное приписыванием одного из них к другому, также делится на 37.
Доказательство: Если N1=abc и N2=def, то abcdef=N1*10 3 + N2 = (N1 + N2) + 999N1.
(N1 + N2) делится на 37 по определению, а 999 кратно 37.
Задачи на нахождение наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного [НОК]
Задача Найти НОД для следующих чисел:
1. d = (a,b) и m = [a,b]
2. ab и m = [a,b]
3. a+b и m=[a,b]
Решение:
1. (d, m) = (d, [dx, dy]) = d(1, [x, y]) = d
2. (ab, m) = (dm, m)=m(d, 1) = m, где d=(a, b)
3. Пусть (a, b)=d и a = dx, b = dy, где (x, y) = 1. Тогда (a+b, m) = (d(x+y), dxy) = (d(x+y, xy) = d. Следовательно, (а+b, [a, b]) = (a, b).
Задача Решить систему уравнений:
x+y=150
(x,y)=30
Решение:
Второе уравнение равносильно системе из 3 уравнений:
x=30u
y=30v
(u,v)=1
После подстановки в первое уравнение получаем: u+v=5, откуда u может принимать значения 1,2,3,4. Отсюда x=30,60,90,120. y=120,90,60,30.
Задачи о простых числах
Задача Разложить на простые множители число 30!
Решение:
Разложение имеет вид:
30! = 2 a1 + 3 a2 + 5 a3 + 7 a4 + 11 a5 + 13 a6 + 17 a7 + 19 a8 + 23 a9 + 29 a10
Найдем a1 = |30/2| + |30/4| + |30/8| + |30/16| = 26
Найдем a2 = |30/3| + |30/9| + |30/27| = 14
Найдем a3 = |30/5| + |30/25| = 7
И т.д. В результате
30! = 2 26 + 3 14 + 5 7 + 7 4 + 11 2 + 13 2 + 17 + 19 + 23 + 29
Задача Доказать, что по модулю 4 множество всех простых чисел может быть разбито на два подмножества: на простые числа вида 4п+1 и на простые числа вида 4n+3
Доказательство: Множество всех натуральных чисел по модулю 4 может быть разбито на 4 подмножества (по числу возможных остатков): на числа вида 4п, 4n+1, 4n+2 и 4n+З. Числа вида 4п и вида 4n+2 составные. Следовательно, все простые числа содержатся среди натуральных чисел вида 4n+l и вида 4n+З.
Разные задачи
Задача Дано целое число A, у которого есть взаимно-простые с ним числа n. Также у этого числа A имеются простые делители p. Убедиться в справедливости следующего равенства:
S = ∑ μ(d)*Sd
Теория чисел
В теории чисел есть множество разнообразных задач, как решенных, так и нет, как очень сложных, так и доступных любому, кто имеет начальный уровень в математике. Их решение зачастую не требует каких-то специальных знаний и навыков, необходим лишь здравый смысл и присутствие логики.
В конце статьи приведен список литературы, которая послужила источником приведенных здесь задач.
Задачи на делимость
Задача Найти число делителей и сумму делителей числа 720.
Решение: Каноническое раpложение числа 720 = 2 4 *3 2 *5
Найдем сумму делителей по формуле:
Найдем число делителей числа 720:
N = (4+1)(2+1)(1+1) = 30
Задача Если сумма двух трехзначных чисел делится на 37, то и шестизначное число, составленное приписыванием одного из них к другому, также делится на 37.
Доказательство: Если N1=abc и N2=def, то abcdef=N1*10 3 + N2 = (N1 + N2) + 999N1.
(N1 + N2) делится на 37 по определению, а 999 кратно 37.
Задачи на нахождение наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного [НОК]
Задача Найти НОД для следующих чисел:
1. d = (a,b) и m = [a,b]
2. ab и m = [a,b]
3. a+b и m=[a,b]
Решение:
1. (d, m) = (d, [dx, dy]) = d(1, [x, y]) = d
2. (ab, m) = (dm, m)=m(d, 1) = m, где d=(a, b)
3. Пусть (a, b)=d и a = dx, b = dy, где (x, y) = 1. Тогда (a+b, m) = (d(x+y), dxy) = (d(x+y, xy) = d. Следовательно, (а+b, [a, b]) = (a, b).
Задача Решить систему уравнений:
x+y=150
(x,y)=30
Решение:
Второе уравнение равносильно системе из 3 уравнений:
x=30u
y=30v
(u,v)=1
После подстановки в первое уравнение получаем: u+v=5, откуда u может принимать значения 1,2,3,4. Отсюда x=30,60,90,120. y=120,90,60,30.
Задачи о простых числах
Задача Разложить на простые множители число 30!
Решение:
Разложение имеет вид:
30! = 2 a1 + 3 a2 + 5 a3 + 7 a4 + 11 a5 + 13 a6 + 17 a7 + 19 a8 + 23 a9 + 29 a10
Найдем a1 = |30/2| + |30/4| + |30/8| + |30/16| = 26
Найдем a2 = |30/3| + |30/9| + |30/27| = 14
Найдем a3 = |30/5| + |30/25| = 7
И т.д. В результате
30! = 2 26 + 3 14 + 5 7 + 7 4 + 11 2 + 13 2 + 17 + 19 + 23 + 29
Задача Доказать, что по модулю 4 множество всех простых чисел может быть разбито на два подмножества: на простые числа вида 4п+1 и на простые числа вида 4n+3
Доказательство: Множество всех натуральных чисел по модулю 4 может быть разбито на 4 подмножества (по числу возможных остатков): на числа вида 4п, 4n+1, 4n+2 и 4n+З. Числа вида 4п и вида 4n+2 составные. Следовательно, все простые числа содержатся среди натуральных чисел вида 4n+l и вида 4n+З.
Разные задачи
Задача Дано целое число A, у которого есть взаимно-простые с ним числа n. Также у этого числа A имеются простые делители p. Убедиться в справедливости следующего равенства: