зачем в психологии нужна математика

Математика в психологии

В бытийном восприятии даже высокообразованных в других сферах людей психология часто занимает место своеобразного шаманства. Порой и в популярной литературе постулируется несоответствие психологии классическим научным принципам повторяемости результата эксперимента и возможности развития теорий различными группами исследователей вне зависимости от принадлежности к научной школе. Однако подобные утверждения лишь демонстрируют недостаточность знаний авторов и их поверхностное знакомство с психологией.

Математика, которой оперирует психология, требует довольно высокого уровня понимания. Для анализа данных в психологии используется матричное исчисление, вероятностные и статистические подходы, теории распределений и другие математические области, в которых задействована обширная понятийная база и сложные уравнения. Серьёзные психологические исследования в обязательном порядке опираются на математические расчёты, и в рамках научных публикаций указываются принципы этих расчётов, границы применимости, оцениваются погрешности вычислений и возможные ошибки.

Математика в психодиагностике

С помощью психометрии психолог может и качественно, и количественно решить две важнейшие диагностические задачи:

1. Выявить свойства психики клиента:
— Определить степень развития конкретного психологического свойства у конкретного человека.
— Выявить особенности поведения, которые определяются этим свойством.
— Проанализировать границы эмоциональных реакций, зависящих от этого свойства.
— Установить влияние свойства на обший психологический статус.

2. Обозначить выраженность или слабость свойства психики в сравнении с другими людьми:
— Провести сравнение степеней развитости психологического свойства у различных людей.
— Определить вхождение с статистические границы нормы или отклонение от показателей, принятых за норму.
— Сделать вывод о необходимости психокоррекции, психотерапии.

Математика как инструмент определения нормы

Понятие «нормы» в психологии трактуется как с позиций некоего усреднённого показателя, которому соответствует большая часть популяции, так и с точки зрения индивидуальной нормы, соответствующей оптимальному функционированию конкретной личности. В некоторых публикациях можно встретить представление о норме как об некоем эталоне, идеальном во всех отношениях. Однако такие построения носят больше абстрактный характер, а реальная практика опирается на суммы психических характеристик личности, каждая из которых может сильно отклоняться от условной нормы, но в целом психика будет стабильной за счёт общей функциональности.

Сбор и получение массивов данных об общих показателях является одной из важных задач современной исследовательской психологии. Вместе с накоплением численных данных постоянно происходят и пересмотры тех или иных норм, и определения новых взаимосвязей различных характеристик. Наличие отклонений от условных средних норм является для психодиагноста важным маркером в поиске психических качеств, определяющих характер и эмоциональный статус клиента. Не в каждом случае отклонения являются показателем, который играет существенную роль в тех или иных психических проявлениях, но на первом этапе диагностики и изучения всех этих проявлений психологу важно о них знать.

Количественные данные, выраженные числами и формулами, весьма разнообразны и могут быть собраны различными способами. Тесты и оценочные суждения, ответы на вопросы с использованием шкал и графов, арифметический подсчёт лексических форм различной эмоциональной окраски, время ответов и решения задач, и даже физиологические показатели состояния здоровья могут быть посчитаны и обработаны для получения комплексной суммарной оценки. Такие наборы данных, собранные выборкой участников, могут давать средние показатели, а данные по одному клиенту будут демонстрировать динамику изменений психического состояния во времени.

Статистические и вероятностные методы математики активно используются в исследовании психологических особенностей личности в составе группы, в том числе и в масштабах нации, страны, планеты. Чем больше и репрезентативнее выборки, по которым строится расчёт, тем точнее результат. Данные продолжают накапливаться, и психология больших групп стала активно развиваться с началом комплексного статистического учёта данных в сети интернет. Так называемые массивы больших данных (big data) оперируют колоссальным и прежде непредставимым количеством информации о личных характеристиках, стереотипах поведения, взаимодействиях людей в масштабах миллионов человек. Данные эти ещё требуют своего осмысления и понимания, хотя их уже активно используют маркетинговые компании и медийные структуры.

Математика в психокоррекции и психотерапии

Психокоррекционные программы наиболее развиты в индивидуальном консультировании, групповой работе с психологами-тренерами и в деятельности педагогов-психологов. В каждом из вариантов статистические и вероятностные методы применяются как для разработки конкретной программы, так и для определения результата работы. В индивидуальной психокоррекции важно сопоставление достигнутых результатов с теми, что были получены на более ранних этапах работы. В групповой работе важны как индивидуальные показатели, так и общее продвижение группы.

Что касается педагогико-психологической коррекции, то в ней ключевым фактором помимо фиксации достижений поставленных целей является оценка индивидуальной скорости развития ребёнка, темп набора знаний в разных областях, выявление количественных факторов показателей психического развития, позволяющих прогнозировать будущие профессиональные достижения.

Сопоставление показателей, полученных с помощью математических подходов, является критерием качества психотерапевтической помощи. Однако в формализации показателей и применении их к конкретной индивидуальной практике терапии есть свои сложности. Статистические расчёты могут рассматриваться как значимые лишь в длительной практике с регулярным сбором данных. Постоянное и частое обращение к тестированию или получению тех или иных показателей может нарушать целостность программы, в то время как редкие или частично собранные данные не могут быть обработаны с достаточной достоверностью результата. Та же проблема возникает при работе малых групп. Современные компьютерные технологии ускорили и облегчили сбор и анализ данных, однако актуальность вопросов интерпретации активно обсуждается в научных кругах.

Проблема слабой математической подготовки психологов

Многие психологические проблемы взрослых вырастают из непреодолённых детских страхов и эмоциональных травм. Однако несмотря на внедрение психологов в штаты школ, планомерной работы в этом направлении практически не ведётся, не говоря уже всерьёз об использовании разумной математики. Диагностические срезы и общероссийские проверочные работы, единые госэкзамены создают масштабную базу данных о высших, средних и низших показателях успеваемости и способности школьников решать набор типовых задач в стрессовых условиях. Это интересная статистика, однако она cпециализирована на оценках и галочках.

В рамках отдельных школ предпочтительнее разработка собственных тестовых программ, акцент в которых ставится не на знания, а на адаптацию ребёнка к школьной среде, уровень его самооценки и стрессоустойчивости. Математические методы прекрасно работают для детей, так как их психика меняется быстро и промежуточные результаты всегда показательны. Однако фактически применение таких методов часто формально и полученные данные не анализируются в контексте реальной ситуации в школе или детском коллективе.

В индивидуальном консультировании взрослых часто преобладает интуитивный или формально-рациональный подход, получение количественных данных многие психологи считают трудоёмким и избыточным. А многие тренинговые программы изначально не предполагают какого-либо контроля результата, предпочитая внушать слушателям мысль о достижении этого результата без реальных аналитических усилий.

Ограниченность использования математики психологами разных уровней часто зиждется на банальном незнании математики самими психологами. Математические методы преподаются лишь в серьёзных вузах на специальностях клинической психологии, но отсутствие системных знаний не позволяет студентам вникнуть в математические тонкости, большинство с трудом ориентируется в терминах и обозначениях. Фразы о дисперсном распределении или статистической вероятностих воспринимаются как нечто непонятное, и в дальнейшем математика исключается из практической работы, что существенно ограничивает возможности научного подхода и адекватного анализа результатов.

Применение математических методов в практике психолога-консультанта

В краткосрочном консультировании по вопросам личных и семейных отношений, карьеры, каких-либо житейских проблем психологи редко обращаются к математике, в этом не возникает необходимости. Однако при ведении многомесячной глубинной терапии, в случае психотерапии ряда кризисных состояний и депрессий важно изучение динамики психо-эмоциональных характеристик личности, и в этом случае фиксация тех или иных численных показателей, а затем их математическая обработка способны дать наглядный результат работы. В зависимости от полученных результатов психолог может оценить эффективность выбранного метода терапии и внести в него коррективы при необходимости.

Отдельно следует упомянуть о детских психологах и педагогах-психологах, деятельность которых постоянно опирается на численные показатели развития ребёнка, от прямых показателей физического развития до более сложных параметров интеллектуального и эмоционального роста. Возможность комплексного изучения этих показателей группой психологов детского сада, школы, детской поликлиники могла бы позитивно повлиять на качество взаимодействия всех тех общественных структур, внутри которых ребёнок растёт и развивается. Однако пока такие возможности рассматриваются лишь в рамках научных публикаций в тематической прессе.

Важную роль в доступности и распространении математических методов играет компьютеризация и развитие автоматизированных систем обработки информации. Многочисленные игровые тесты, серьёзные и не очень, программы расчётов и составления графиков, диаграмм значительно упростили работу психолога в плане сбора, хранения и обработки информации. Уже сегодня доступны достаточно серьёзные диагностические программы как медицинского, так и психологического профиля. Вероятно, впереди появление программных комплексов с расширенными возможностями как для клиента, так и для психолога-консультанта.

Татьяна Селянинова, психолог. 2017

Литература:
• Немов Р. С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн. – 4-е изд. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2001. – Кн. 3: Психодиагностика. Введение в научное психологическое исследование с элементами математической статистики.
• Капустин А.Н. Роль статистических методов в деятельности педагогов-психологов, психологов и социальных работников. // Перспективы Науки и Образования, 2013, №5
• Остапенко Р.И. Формирование информационно-математической компетентности студентов гуманитарных специальностей: методические аспекты // Перспективы науки и образования, 2013.

Источник

Ответы по математике: зачем её учить, с чего начать и как с этим жить

Расставляем все точки над «i» вместе с математиком Марис Сегинёвой

Слово «математика» происходит от греческого «матема» — знание, познание. Математика, как и шахматы — это способ научиться думать логически, рационально. Особенность математики в том, что её методы служат другим наукам. Например, в социологии и психологии данные опросов обрабатываются статистически. В генетике анализируют распределение признаков с помощью сложных моделей расчёта.

Одни называют математику точной наукой, другие — искусством. Каждый даёт определение в силу своего математического опыта и фантазии. Если человек научился складывать целые положительные числа в пределах сотни, то он будет считать математику точной наукой. При этом те, кто знаком с комплексными числами и неевклидовой геометрией, с ним не согласятся.

Определение математики зависит от отношения к ней. Для тех, кому на уроках было сложно и скучно, она сухая и точная. Влюблённые в математику воспринимают её как искусство. Хорошая новость в том, что строить хорошие отношения с математикой никогда не поздно, если ученик хочет в ней разбираться.

Зачем нужна математика и что значит «знать» её

Кое-что из математики используется в повседневной жизни: когда нужно поделить пиццу на 8 равных частей, посчитать стоимость товара со скидкой 20%, выбрать сумку к новым туфлям и брюкам. По мнению математика и педагога Марис Сегинёвой, обычному человеку для жизни достаточно изучить математику в объёме 5—7 класса школьной программы:

«Всё зависит от того, в какой момент в учебнике появляются отрицательные числа. Конечно, можно увидеть на термометре значение минус 10 градусов Цельсия, но вот в США пользуются шкалой Фаренгейта, а вообще кроме погоды в быту эти знания не пригодятся».

Для наглядности — в чём разница между шкалой Цельсия и Фаренгейта

В математике выделяют несколько областей знания, и то, что изучается в большинстве начальных школ правильнее называть арифметикой. Это раздел математики, который изучает числа и действия с ними: сложение, вычитание, умножение и деление целых и дробных чисел.

«Если школьник знает математику, у него и с другими предметами будет хорошо. Он научился думать, он научился видеть целое и собирать его из частей. Обратно этот принцип не работает: если ученик успешен в других предметах, нет гарантий, что он поймёт и математику», — Марис Сегинёва.

Редко в начальном курсе математики встречаются задачи на комбинаторику, логику и теорию вероятностей. Поэтому для большинства людей «знать математику» — значит уметь применить расчёты для решения житейских задач: сколько нужно продуктов, чтобы приготовить в два раза больше окрошки; какую сумму нужно сдать на общий подарок имениннику; во сколько выезжать из дома, чтобы приехать к началу спектакля.

Для чего изучают математику в старших классах

По замыслу разработчиков образовательной программы выпускники школы поступают в вузы. В вузах они осваивают профессии для того, чтобы стать практиками или исследователями в различных областях. Специалистам технических и естественнонаучных областей математика полезна, а учёным — необходима.

Марис Сегинёва: «Современная наука основана на математических методах. Когда абитуриент думает, что будет заниматься микробиологией, генетикой, психологией, социологией, лингвистикой или экономикой, в конечном счёте ему придётся заниматься и математикой тоже».

Авторы школьных учебников не знают, кто именно из выпускников станет учителем литературы, кто музейным работником, а кто программистом, поэтому на всякий случай все старшеклассники знакомятся с алгеброй и началами математического анализа.

Решать задачи с логарифмами и брать производные будет полезно любому ученику общеобразовательной школы. Будущим инженерам и математикам уроки будут подспорьем, поскольку школьная алгебра — мостик от арифметики к высшей математике, которую изучают в вузе.

Тем, кто выбрал сдавать профильный ЕГЭ по математике, лучше не останавливаться и решать задачи при каждом удобном случае. Будущим историкам, художникам и музыкантам стоит как можно скорее изучить демовариант базового ЕГЭ по математике, чтобы знать, какие темы изучать пристально, а какими можно будет пренебречь.

С чего начать отношения с математикой

Древнеегипетские жрецы умели умножать только на два, и считались очень продвинутыми. А в Средние века математики собирались в городе Пиза на конкурс деления чисел, записанных римскими цифрами. Соревновались, например, кто быстрее правильно поделит число LXXIV пополам.

Сейчас, благодаря десятичной системе счисления и приёмам работы с числами, обычный третьеклассник даст фору средневековым преподавателям. Но когда-то не было большей части того, что сегодня называется математикой.

Отношения с математикой можно начать в любой момент.

Список вдохновляющих ресурсов преподавателя математики Марис Сегинёвой

Понять математику может любой. Если ученику трудно освоить какую-то тему или раздел, нужно спуститься на ступеньку ниже. С математикой никогда не стоит торопиться, ею следует заниматься в своём темпе и с удовольствием.

Хотите получать новые статьи во «ВКонтакте»? Подпишитесь на рассылку полезных статей

Источник

Откуда берется математическое невежество? 3 психологических фактора, из-за которых мы неграмотно обращаемся с числами

Неумение обращаться с числами и вероятностями приводит людей ко множеству необоснованных решений — и на глобальном, и на бытовом уровне. Профессор математики Джон Аллен Паулос, автор книги «Математическое невежество» уверен, что почти поголовная интеллектуальная беспомощность в сфере точных наук и нелюбовь к ним вызваны не только неэффективным образованием в школе, но и психологическими факторами: приобретенной склонностью интересоваться только тем, что прямо или косвенно относится к нашей персоне, любви видеть в совпадениях скрытые смыслы и особом виде беспокойства — математической тревожности. Почему последней чаще всего подвержены женщины и кто автор мифа о математическом и нематематическом складе ума — читайте дальше.

Склонность к персонализации

Один из таких факторов — обезличенность математики. Многие из нас склонны к чрезмерной персонализации событий и не желают смотреть на них со стороны, а поскольку цифры и обезличенный взгляд на мир тесно связаны, это ведет практически к добровольному математическому невежеству.

Когда человек в своих рассуждениях выходит за рамки собственного «я», своей семьи или окружения, у него естественным образом возникают квазиматематические вопросы: как долго? как давно? как далеко? как быстро? что связывает это и то? что более вероятно? как увязывается наш проект с событиями в городе, стране и мире? а как все это соотносится с историческим, биологическим, геологическим или астрономическим временем?

Люди, глубоко укорененные в своей собственной жизни, воспринимают такие вопросы в лучшем случае с непониманием, а в худшем — с неприятием. Числа и наука привлекательны для них только в том случае, если касаются их лично. Этим объясняется популярность практик вроде карт Таро, «Книги перемен», астрологии и биоритмов. Все эти дисциплины предлагают персонализированные и «кастомизированные» решения. Заинтересовать эту публику научным фактом, который ценен, интересен или математически красив сам по себе, практически невозможно.

На первый взгляд, математическое невежество находится где-то очень далеко от реальных проблем и забот этих людей — денег, секса, семьи или друзей. Однако оно влияет на их жизнь (и жизнь каждого из нас) непосредственно и весьма разнообразно. Если летним вечером вы идете по улице курортного городка и видите счастливых людей, которые прогуливаются под руку, едят мороженое и радостно смеются, легко убедить себя, что эти люди более счастливы, более удачливы, более успешны, чем вы, и прийти от этого в уныние.

Однако именно в таких ситуациях люди и демонстрируют свою радость. Человек, находящийся в расстроенных чувствах, склонен, наоборот, прятаться и становиться «невидимым». Нужно всегда помнить, что наше восприятие таким образом фильтруется, что наша «выборка» людей и эмоций этих людей неслучайна. Полезно иногда задумываться, какой процент встреченных вами страдает от того или иного недуга или заболевания.

Вполне естественно путать группу людей и собирательный образ некоего идеального человека. Мы видим в других столько талантов, успешности, красоты, элегантности, но очевидно — все это множество желанных и недостающих нам качеств «размазано» по большой группе.

Каждый отдельно взятый индивидуум, как бы умен и талантлив он ни был, имеет массу своих недостатков. Чрезмерная зацикленность на собственной персоне мешает понять это и ведет к разочарованиям (и математическому невежеству).

Когда случаются неприятности, многие из нас задаются вопросом: почему именно я? Не нужно быть математиком, чтобы понимать: если этим вопросом задаются почти все, в смысле статистики здесь что-то неладно — как если бы директор школы жаловался, что у большинства учеников оценки ниже среднего балла по школе. Неприятности иногда случаются со всеми, так почему бы им не случаться с вами?

Повсеместность фильтрации и повсеместность совпадений

В широком смысле феномен фильтрации сводится к психологии. От того, какие впечатления отсеиваются, а какие закрепляются, во многом зависят особенности нашей личности.

В более узкой трактовке этот феномен известен под названием «эффект Джин Диксон» — когда яркие и личные события лучше запоминаются, а их значение переоценивается. Он способствует убедительности разнообразных сомнительных практик вроде шарлатанской медицины и диетологии, рецептов выигрыша в азартных играх, экстрасенсорики и псевдонауки.

Если не отдавать себе отчет в этой психологической особенности буквально на уровне инстинкта, очень сложно сохранить взвешенность суждений.

Для иллюстрации: это по три крушения «Боинга-747», под завязку забитого американскими гражданами, причем каждый день на протяжении года. Тот же ВИЧ, сколь ни страшен этот недуг, в мировом масштабе выглядит довольно невзрачно по сравнению с более прозаическими болезнями, например малярией.

Алкоголизм, который в нашей стране является непосредственной причиной смерти 80 000–100 000 человек ежегодно и сопутствующим фактором еще 100 000 летальных исходов, согласно различным подсчетам, обходится нам (в человеческом эквиваленте) дороже, чем наркотическая зависимость.

Читайте также

Несложно додумать и другие примеры (допустим, случаи голода или геноцида, которые иногда преступно замалчиваются), но более важно периодически напоминать себе о них и держать голову выше информационной лавины.

Когда человек отфильтровывает повседневное и неперсонифицированные события, то, что остается «в сите», представляет собой по большей части удивительные отклонения от нормы и совпадения, и его разум становится похож на заголовки вокзальных таблоидов.

Даже люди с менее строгими фильтрами и хорошим математическим чутьем замечают все больше и больше совпадений, возникающих главным образом по причине все возрастающего количества и сложности придуманных цивилизацией изобретений. Человек первобытный, наблюдая довольно немногочисленные природные совпадения вокруг себя, постепенно набирал «массив данных», на основе которых впоследствии развилась наука.

Однако в мире природы непосредственные свидетельства таких совпадений не лежат на поверхности (ведь еще нет ни карт, ни календарей, ни справочников, ни даже названий). В последние же годы обилие имен, дат, адресов, организаций в нашем сложном мире дало импульс врожденной склонности человека подмечать совпадения и маловероятные события. Современный человек предполагает связи там, где никаких связей нет, а есть одни лишь случайные совпадения.

Присущее нам стремление найти во всем смысл и систему может сбить с панталыку, если все время не напоминать себе о повсеместности совпадений, которая является следствием нашей склонности отсеивать тривиальное и безличное, следствием невероятной закрученности структуры нашего мира, а также, как мы уже видели на примерах выше, следствием того, что совпадения самого различного рода в принципе происходят на удивление часто.

Вера в необходимость и вероятность их осмысленности является своего рода психологическим рудиментом, наследием нашего первобытного прошлого. Это иллюзия, которой особенно подвержены люди математически безграмотные.

Эта склонность приписывать смысл явлениям, которые происходят исключительно по воле случая, также повсеместна. Показателен пример с «регрессией к среднему» — явлением, когда вслед за экстремально высоким или низким значением какой-либо величины следует значение, близкое к среднему.

Все думают, что у очень умных родителей родятся очень умные дети, но, как правило, это не так, и дети оказываются не настолько умны. То же самое относится и к людям низкого роста — их дети, вероятно, не вырастут великанами, но и такими низкорослыми, как родители, не будут.

Если я брошу 20 дротиков и 18 раз попаду в яблочко, то следующие 20 попыток вряд ли окажутся столь же результативными.

Абсурдно выглядят попытки трактовать регрессию к среднему как некий научный закон, а не естественное поведение случайного статистического множества. Если начинающий пилот совершает идеально мягкую посадку, вероятнее всего, что следующее его приземление будет не таким выдающимся. Если пилот сел неуклюже, то в следующий раз (исключительно в силу случая) у него получится лучше.

Психологи Амос Тверски и Дэниел Канеман провели исследование похожей ситуации, когда пилотов награждали за хорошую посадку и штрафовали за плохую. Летные инструкторы ошибочно полагали, что премирование расхолаживало пилотов и вело к ухудшению результатов, а штрафы, наоборот, дисциплинировали, однако и в том и в другом случае динамика являлась лишь регрессией к более вероятному среднему качеству работы пилотов.

Поскольку подобная динамика имеет всеобъемлющий характер, Тверски и Канеман пишут, что «с большой долей вероятности поведение улучшается после наказания и ухудшается после после поощрения. Поэтому в силу человеческой природы… поощряют чаще всего тех, кто наказывает других, а наказывают — тех, кто поощряет». Я все же надеюсь, что эта печальная тенденция имеет своей причиной не человеческую природу, а вполне обратимое математическое невежество.

Сиквел великого фильма обычно не дотягивает до оригинала. Вполне возможно, что причина не в простой алчности кинопроизводителей, стремящихся нажиться на популярности первого фильма, а все в той же регрессии к среднему. За крайне успешным премьерным сезоном бейсболиста, скорее всего, последует более блеклое выступление в следующем сезоне.

То же самое относится к следующей книге писателя, которую он напишет вслед за бестселлером, очередному альбому музыкальной группы после «золотой пластинки» или любому «кризису второкурсника». Регрессия к среднему — феномен, распространенный чрезвычайно широко, какую сферу жизни ни возьми.

Может быть интересно

Математическая тревожность

Еще более распространенная предпосылка математического невежества, чем психологические иллюзии, — то, что Шейла Тобиас называет «математический тревожностью». В книге «Преодоление математической тревожности» она описывает блокирующий механизм, который присутствует у многих людей (в особенности у женщин) и мешает пониманию математики, даже элементарной арифметики.

Те же самые люди, которые способны улавливать тончайшие эмоциональные нюансы в беседе, вникать в самые закрученные литературные сюжеты, продираться сквозь самые дремучие юридические дебри, не могут осилить элементарные шаги математического доказательства.

В их сознании нет ни системы координат, ни фундамента, на котором строится понимание таких задач. Они напуганы. Их запугали привыкшие командовать, а подчас и сексистски настроенные школьные учителя (многие из которых сами страдали от математической тревожности).

Печально знаменитые сюжетные задачи их пугают, и они убеждены в своей непроходимой тупости. Они уверены, что есть люди с математическим складом ума и нематематическим складом ума и что у первых ответ всегда наготове, а вторые — беспомощны и безнадежны.

Неудивительно, что подобные чувства формируют мощный блок на пути математического просвещения. Тем не менее средства для борьбы с ними существуют. Очень простая, но на удивление эффективная техника — попытаться объяснить сложную задачу другому. Если человек способен вытерпеть такое испытание, у него появляется возможность самому подольше подумать над задачей, и он понимает, что дополнительные умственные усилия могут принести результат.

Другие возможные техники: использовать меньшие числа; попробовать решить сходные, но более простые или более общие задачи; собрать относящуюся к задаче информацию; разобрать задачу наоборот — от решения; нарисовать иллюстрацию и схему; сопоставить задачу или ее элементы с уже понятыми задачами; наконец, самое главное — решать как можно больше задач и примеров.

Прописная истина о том, что человек учится читать в процессе чтения, а писать — в процессе письма, распространяется и на решение математических задач (и даже на формулирование математических доказательств).

Работая над этой книгой, я понял, как сам (да и другие пишущие математики) невольно способствую математическому невежеству. Мне сложно писать пространно. То ли мое математическое образование, то ли природный темперамент заставляют меня максимально кратко излагать главное и не отвлекаться на периферийные темы, описания или биографические справки.

В результате, как мне кажется, выходит четкое изложение материала, которое тем не менее может выглядеть тревожно для любителей более размеренного чтения. Пусть как можно больше людей пишут о математике! Вот решение проблемы. Как много раз говорилось о самых разных дисциплинах, математика слишком важна, чтобы доверять ее математикам.

Другой, еще более сложный блок — крайняя степень интеллектуальной летаргии, охватившей пока небольшой, но постоянно расширяющийся круг учеников и студентов.

Им настолько недостает умственной дисциплины и мотивации, что к их разуму невозможно пробиться. Страдающих обсессивно-компульсивным расстройством можно раскрепостить, испытывающих страх можно научить бороться со страхом, но что ты будешь делать с теми, кто не желает хоть как-то сконцентрироваться на умственной работе?

Ты стоишь у доски и увещеваешь: «Ответ не X, а V, вы не учли то-то и то-то», — а в ответ получаешь лишь пустой взгляд или безразличное: «А, ну ладно…» Вот проблема на порядок серьезнее математической тревожности.

Источник