если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого то такие треугольники равны

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют сравнивать прямоугольные треугольники лишь по двум элементам, так как любые два прямых угла равны.

1. Признак равенства по двум катетам

Данный признак следует из первого признака равенства треугольников.

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁.

2. Признак равенства по катету и острому углу

Данный признак следует из второго признака равенства треугольников.

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. AC = A₁C₁, C = C₁

3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Теорема

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. BC = B₁C₁, B = B₁

Доказательство

4. Признак равенства по катету и гипотенузе

Теорема

Пример:

ABC = A₁B₁C₁, т.к. BC = B₁C₁, AB = A₁B₁

Доказательство

Дано: ABC, A₁B₁C₁, BC = B₁C₁, AB = A₁B₁

Доказать: ABC = A₁B₁C₁

Доказательство:

Рассмотрим данные треугольники:

Так как A = A₁, то ABC можно наложить на A₁B₁C₁ так, что вершина A совместится с вершиной A₁, а стороны AC и AB наложатся соответственно на лучи A₁C₁ и A₁B₁. При этом вершина B совместится с вершиной B₁, потому что AB = A₁B₁. Но тогда вершина C также совместится с вершиной C₁. Действительно, если предположить, что точка C совместится с некоторой другой точкой C₂ луча A₁C₁, то получим равнобедренный треугольник C₁B₁C₂.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Урок 24. Геометрия 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Признаки равенства прямоугольных треугольников»

Первый признак равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Воспользуемся первым и вторым признаками равенства треугольников и докажем следующие признаки равенства прямоугольных треугольников.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по двум катетам):

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Возьмём два прямоугольных треугольника АВС и А₁В₁С₁. Пусть катет АС=А₁С₁, а катет ВС=В₁С₁. В прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны. То есть ∠С=С₁=90 градусов. Получаем, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу):

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу):

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Таким образом, получили, что гипотенуза АВ и два прилежащих к ней угла треугольника АВС соответственно равны гипотенузе А₁В₁ и двум прилежащим к ней углам треугольника А₁В₁С₁. Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Теорема (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету):

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольнике равны.

Приложим треугольники друг к другу равными катетами, получаем:

В результате получаем, что у прямоугольных треугольников АВС и А₁В₁С₁ равны и вторые катеты. А следовательно, эти треугольники равны по трём сторонам (или по двум катетам). Теорема доказана.

На рисунке отрезки СА и DB перпендикулярны прямой АВ, отрезок ОА=ОВ. Доказать, что отрезок СА=DB.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АСО и BDO. АО=OB по условию задачи. Углы AOC и BOD равны как вертикальные.

Тогда треугольники АСО и ВDО равны по катету и острому углу. Откуда отрезки СА и DB равны как стороны равных треугольников. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АСD и А₁С₁D₁. У них гипотенуза АD=А₁D₁. Углы САD и С₁А₁D₁ равны как половины равных углов САВ и С₁А₁В₁. Получаем, что треугольники АСD и А₁С₁D₁равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, АС и А₁С₁ равны как стороны равных треугольников. Тогда и треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны, так как катет АС=А₁С₁ и ∠ВАС=∠В₁А₁С₁. Что и требовалось доказать.

Источник

Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.

Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

Формулы:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

Источник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Источник

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют доказать равенство треугольников всего по двум парам элементов.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу

1) Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2) Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

35 Comments

Спасибо, все коротко и ясно.

спасибо большое) доступно все объяснили

А где пятый признак?

Max, признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу разбивается на два признака: по катету и противолежащему углу и по катету и прилежащему углу, потому что доказывают их отдельно.

Можно написать 5-ый признак равенства прямоугольных треугольников исходя из третьего признака равенства треугольников(не обязательно прямоугольных): если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Спасибо выручили.
Очень рад, что всё так доступно и понятно.

есть еще по катету и противолежащему острому углу

Да, признак равенства по катету и острому углу иногда разбивают на два.

Офигенно! Большое спасибо!

Спс,как раз геометрию не слушал.

В геометрии знание теории — основа. Поэтому желательно слушать)

Роман, если использовать признаки равенства в ходе решения других задач, то каждый раз доказывать их не нужно.

Спасибо у нас злая алгебраических которая ничего не объясняет поэтому никто не понял.

А вы на уроке попробуйте не шуметь. От этого выиграет и класс, и учитель.

Спасибо, помогли подготовиться к зачёту!

Удачно Вам сдать зачёт!

Скоро зачёт,и решил почитать не из учебника,а тут.Итог: Всё быстро и понятно,без так сказать «воды»,вообщем,спасибо

Игорь, удачи Вам на зачёте!

Спасибо большое у меня через 1 месяц экзамен

Илья, желаю Вам успешно сдать экзамен!

Здравствуйте. Хотелось бы к Вам обратиться по имени, но не вижу его. Спасибо Вам за сайт. Доступно, понятно, наглядно! Приятно, что при доказательстве теорем Вы стремитесь к оптимальному, более короткому пути, например в свойстве медиан треугольника. Что же касается признака равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу. Вы объясняли в переписке некоторым людям, что он разбивается на два признака. Тем не менее, Вы оставляете некорректную формулировку: «Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны». При этом поясняющий рисунок соответствует верному случаю и не показывает другой — неверный. Все же нужно согласиться с тем, что это два различных признака с различными формулировками, как у Вас и написано, правда в другом месте, в разделе доказательства.
С уважением,
Олег.

Здравствуйте, Олег!
Спасибо Вам за внимание к моему ресурсу.

Зовут меня Светлана Михайловна. Учу детей математике 28 лет: 16 — в школе, 12 — как репетитор. Сайты (у меня их несколько) создавала для помощи школьникам и их родителям. К сожалению, информация в учебнике не всегда изложена доступно. Очень хочется, чтобы ученики поняли, что математика (в частности, геометрия) — интересный и не такой уж сложный предмет.

Насколько я Вас поняла, Вы предлагаете разделить признаки равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу на два отдельных признака, как это сделано, к примеру, в учебнике Бутузова? Вы считаете, это принципиально важно для дальнейшей работы? Ведь оба признака доказаны.

Спасибо Светлана за такой отличный сайт скоро экзамен помогает надеюсь,что ваш сайт будет продвигаться вперёд,для школьников и родителей! Ещё раз спасибо!?

Никита, желаю Вам успешно сдать экзамен!

Cпасибо Вам огромное, Светлана Михайловна! Полгода геометрии прослушал, сейчас всё понятно. И всё-таки, Олег прав, по катету и острому углу — 2 различные теоремы. Скиньте ссылку на остальные Ваши сайты мне на почту, пожалуйста
С уважением,
Влад

Спасибо) помогло при подготовке к экзаменам.

Здравствуйте, Светлана Михайловна. Давно к Вам не заходил. Я оставил комментарий от 28.04.2018, касающийся теоремы:
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Вы ответили:
«Насколько я Вас поняла, Вы предлагаете разделить признаки равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу на два отдельных признака…? Вы считаете, это принципиально важно для дальнейшей работы? Ведь оба признака доказаны.»
Да, это важно, поскольку Ваша формулировка неверна. Неверно, что если катет и острый прилежащий угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
С уважением
Олег Леонидович Шлейфман.

Воу, последний комментарий аж 2019 года. Спасибо всё коротко и ясно, как говорится, краткость — сестра таланта!)

Источник