Как сделать развернутую форму числа
Развернутая форма записи числа
Система счисления
Система счисления — это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называютсяцифрами.
Внепозиционных системах счисления значение цифры не зависит от положения в числе.
Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:
Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.
В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются.
Пример 2.
VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.
Пример 3.
MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +
+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.
Впозиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.
Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая — три десятка, третья — три единицы.
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметьалфавит из n цифр. Обычно для этого при n 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:
Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:
Развернутая форма записи числа
Пусть Aq — число в системе с основанием q, аi — цифры данной системы счисления, присутствующие в записи числа A, n + 1 — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа:
Развернутой формой числа А называется запись в виде:
Например, для десятичного числа:
В следующих примерах приводится развернутая форма шестнадцатеричного и двоичного чисел:
В любой системе счисления ее основание записывается как 10.
Если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную. Например, перевод в десятичную систему написанных выше чисел производится так:
Как сделать развернутую форму числа
Любой вид информации можно представить в виде чисел. Кодирование информации с помощью чисел осуществляется по определённым правилам. Для понимания этих правил, разберём логику образования любого числа.
| Система счисления – это правила записи чисел с помощью знаков – цифр и операций над ними.
Любое число, в данной системе счисления, образуется путём повторения одинаковых элементов (палочка, камешек, ракушка и т.д.).
Данная система счисления позволяет записывать только натуральные числа и запись «большого» числа получается очень громоздкой.
В дальнейшем, у человечества возникла необходимость производить серьёзные подсчёты. Для этого были придуманы непозиционные системы счисления.
| Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра не изменяет своего значения, от изменения позиции в числе.
Египетская система счисления 
Кириллическая система счисления 
Римская система счисления 
| Позиционная система счисления – это система счисления, в которой цифра изменяет своё значения, при изменении позиции в числе.
Вспомним, что любое число в десятичной (арабской) системе счисления можно разложить на разряды. Например, в числе 753 цифра 7 обозначает сотни (700), цифра 5 – десятки (50), цифра 3 – единицы. Таким образом, число можно представить, как:
753 = 7 * 100 + 5 * 10 + 3 * 1
| Алфавит системы счисления – совокупность всех её цифр.
| Основание системы счисления – указывает на количество цифр в данной системе счисления.
Алфавит десятичной системы счисления состоит из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, основанием данной системы счисления является 10.
Тогда, любое число будем записывать по правилу, с указанием основания данной системы счисления:
Число читается, как «семьсот пятьдесят три по основанию десять» или «семьсот пятьдесят три в десятичной системе счисления».
| Разряд – это позиция цифры в числе (нумерация в целых числах производится с права налево, начиная с нуля).
Укажем разряд каждой цифры в числе 753:
Развёрнутая форма представления чисел
В результате разбиения числа на разряды, любое такое число можно представить в развёрнутой форме.
Формула развёрнутой формы представления чисел:
q – основание системы счисления;
a – цифра данного числа;
n – число разрядов в числе.
Представим число 75310 в развёрнутой форме.
1) Определим позиции каждой цифры в числе:
Каждую цифру в числе, умножим в соответствии занимаемой позицией:
Для упрощения данной записи, представим данное число, как основание 10 в степени n:
Запишем полученный результат.
Обратите внимание, что степень основания числа совпадает с позицией каждой цифры в числе!
Перевод числа в десятичную систему счисления
С помощью развёрнутой формы представления чисел можно перевести число из любой системы счисления в десятичную.
✒ Определение: каждую цифру числа нужно умножить на его основание, возведённое в степень, равную позиции цифры в числе.
Двоичная система счисления
Алфавит системы счисления: 0, 1.
Перевод десятичного числа в двоичную систему счисления методом подбора степеней числа 2
Для перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления, используют метод подбора степеней двойки.
Пусть дано десятичное число 2110.
1) Подберём ближайшую наименьшую степень числа 2 к данному числу: 2 4 = 16;
3) Повторить, пока не достигнем нуля.
В результате, мы получим следующие степени:
Найденные нами степени – это позиции цифры 1 в двоичном числе, а отсутствующие степени – это нули:
Перевод целого десятичного числа в другую систему счисления методом деления на новое основание
✒ Определение: Для перевода целого десятичного числа в другую систему счисления, необходимо делить данное число на новое основание (той системы счисления, в которую необходимо осуществить перевод). Ответ складывается из остатков от деления.
Переведите число 1310 в двоичную систему счисления.
Арифметические операции в двоичной системе счисления
Все вычисления в компьютере выполняются в двоичной системе счисления.
Рассмотрим базовые арифметические операции.
Кодирование числовой информации в памяти компьютера
Для представления целого числа без знака в памяти компьютера, необходимо:
1. перевести число в двоичную систему счисления;
2. поместить число в ячейку памяти компьютера;
3. заполнить пустые ячейки незначащими нулями.
Представьте число 5610 в компьютерной форме.
1. переведём число в двоичную систему счисления:
2. число состоит из 6 разрядов и помещается в одну ячейку:
3. дополним незначащими нулями:
Диапазон значений целых чисел без знака 
Хранение чисел со знаком отличается от беззнаковой формы.
Знак «+» принято обозначать за «0», а знак «–» за «1». Знак записывается в старший бит ячейки. Для хранения таких чисел выделяют 1, 2 или 4 байта.
Для представления целого числа со знаком «+» в памяти компьютера, необходимо:
1. перевести число в двоичную систему счисления;
2. поместить число в ячейку памяти;
3. выделить старший бит ячейки под знак и поставить на это место нуль.
4. заполнить оставшиеся биты незначащими нулями.
Представьте число +29210 в компьютерной форме.
1. переведём число в двоичную систему счисления:
2. число состоит из 9 разрядов и для хранения требует двух ячеек:
3. число положительное, значит в старший бит необходимо поместить нуль:
4. заполним оставшиеся биты незначащими нулями:
Для представления целого числа со знаком «–» в памяти компьютера применяют метод прямого и обратного кода:
1. перевести модуль данного числа в двоичную систему;
2. Прямой код: поместить число в ячейку памяти и дополнить его незначащими нулями;
3. Обратный код: выполнить инверсию (заменить нули на единицы и наоборот);
4. Дополнительный код: увеличить получившееся число на единицу.
Представьте число –8710 в компьютерной форме.
1. переведём модуль числа в двоичную систему счисления:
2. число состоит из 7 разрядов и помещается в одну ячейку. Поместим число в ячейку и дополним незначащими нулями:
4. прибавляем к числу единицу:
Обратите внимание на старший бит. Здесь 1 – это знак числа.
Переводы
1. Выполните перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную систему методом развёрнутой формы представления числа:
| а) 11002 | д) 11000112 | з) 10011101110002 |
| б) 110002 | е) 1001011012 | к) 10010000101112 |
| в) 1010102 | ж) 1011101102 | л) 1011101011112 |
| г) 11000112 | з) 1111112 | м) 11111112 |
2. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом подбора степеней числа 2:
| а) 42 | д) 232 | з) 400 |
| б) 97 | е) 286 | к) 405 |
| в) 111 | ж) 309 | л) 528 |
3. Выполните перевод из десятичной системы счисления в двоичную методом деления на новое основание:
| а) 20 | д) 100 | з) 568 |
| б) 31 | е) 102 | к) 443 |
| в) 49 | ж) 127 | л) 500 |
| г) 96 | з) 269 | м) 600 |
Арифметические операции в двоичной СС
4. Выполните сложение чисел:
| а) 10012 + 11002 | д) 1000012 + 110002 |
| б) 10102 + 10102 | е) 1011102 + 10101002 |
| в) 1110012 + 1101102 | ж) 10111112 + 10111112 |
| г) 1010102 + 1100112 | з) 11110112 + 11110012 |
5. Выполните вычитание чисел:
6. Выполните умножение чисел:
| а) 11002 × 1012 | д) 1011002 × 10112 |
| б) 10102 × 1112 | е) 1011112 × 11012 |
| в) 110112 × 10112 | ж) 1011012 × 11112 |
| г) 111102 × 10112 | з) 1010112 × 11102 |
7. Найти значение выражения:
Кодирование чисел
8. Представьте целое десятичное число со знаком в памяти компьютера. Сколько ячеек памяти нужно выделить для хранения данного числа?
| а) +25 | д) +204 | з) +512 |
| б) +64 | е) +212 | к) +4096 |
| в) +96 | ж) +256 | л) +32256 |
| г) +128 | з) +302 | м) +65536 |
9. Представьте целое десятичное число со знаком в памяти компьютера. Сколько ячеек памяти нужно выделить для хранения данного числа?
10. Дано внутреннее представление целого числа со знаком. Какому десятичному числу оно соответствует?
Как записать число в развернутой форме информатика
2.5. РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЧИСЛА
Развернутая форма записи числа – это запись в виде разрядных слагаемых, записанных с помощью степени соответствующего разряда и основания степени (основание счета).
1. Десятичная система:
Пронумеруем разряды, начиная с младшего:
Теперь запишем выражение:
2. Двоичная система:
Пронумеруем разряды, начиная с младшего:
3. Шестнадцатеричная система:
Пронумеруем разряды, начиная с младшего:
Другие системы счисления записываются аналогично вышеприведенным системам с тем лишь исключением, что основание степени будет соответствовать основанию счета.
В позиционной системе счисления число можно представить в развернутой форме (в виде суммы разрядных слагаемых) и в свернутой форме. Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.
Десятичное число А10= 4718,63 в развернутой форме будет имеет вид:
Рассмотрим еще примеры записи чисел в развернутом виде
58910 → 500 + 80 + 9 = 5*100 + 8*10 + 9*1 = 5*10 2 +8*10 1 + 9*10 0
10 = 5*10 2 + 8*10 1 + 9*10 0
= 4*10 5 + 8*10 4 + 5*10 3 + 7*10 2 + 6*10 1 + 3*10 0
= 1*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0
= 7*8 2 + 6*8 1 + 4*8 0
= 7*16 2 + 6*16 1 + 4*16 0
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Запишите числа в развернутой форме
| 1) | 11110102 | 6) | 111101,0012 | 11) | 1110,112 | 16) | 100011102 |
| 2) | 2174,55 | 7) | 5771,0015 | 12) | 89784515 | 17) | 514763175 |
| 3) | 6479118 | 8) | 1622,848 | 13) | 1114878 | 18) | 113874,3348 |
| 4) | 1214710 | 9) | 512001410 | 14) | 1874,59610 | 19) | 1554,01410 |
| 5) | 1247,032116 | 10) | 15789416 | 15) | 163201,9816 | 20) | 88541216 |
Перевод чисел в десятичную систему счисления
1. Записать число в развернутом виде
2. Выполнить вычисления как в десятичной системе счисления
→ 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 = 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110
→ 3*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0 = 3*64 + 4*8 + 7*1 = 192 + 32 + 7 = 23110
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Студент – человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10571 – 
| 7330 – 
или читать все.
78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Сайт учителя информатики. Технологические карты уроков, Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, программирование, полезный материал и многое другое.
Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?
Ответ
Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:
Переход от свернутой формы к развернутой
1. Посмотрите на данное вам число и определите количество его цифр.
Пример:
Напишите 5827 в развернутом виде.
Прочитайте число вслух: пять тысяч восемьсот двадцать семь.
Обратите внимание, что в этом числе есть четыре цифры. В результате развернутая форма будет содержать четыре слагаемых.
2. Перепишите число в виде суммы его цифр, оставив между ними некоторое расстояние, чтобы умножить каждую цифру на некоторую цифру (об этом далее).
Пример:
5827 перепишите так:
3. Цифры числа расположены в определенных позициях, которые соответствуют (справа налево) единицам, десяткам, сотням, тысячам и так далее. Определите название позиции и ее значение для каждой цифры (справа налево).
Пример:
Так как в данном числе четыре цифры, то вам нужно определить названия четырех позиций (справа налево).
7 соответствует единицам (значение = 1 = 10 0 ).
2 соответствует десяткам (значение = 10 = 10 1 ).
8 соответствует сотням (значение = 100 = 10 2 ).
5 соответствует тысячам (значение = 1000 = 10 3 ).
4. Умножьте каждую цифру данного числа на значение соответствующей ей позиции.
Пример:
5 · 10 3 + 8 · 10 2 + 2 · 10 1 + 7 · 10 0
Развернутая форма записи числа
В позиционной системе счисления число можно представить в развернутой форме (в виде суммы разрядных слагаемых) и в свернутой форме. Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.
Десятичное число А10= 4718,63 в развернутой форме будет имеет вид:
Рассмотрим еще примеры записи чисел в развернутом виде
58910 → 500 + 80 + 9 = 5*100 + 8*10 + 9*1 = 5*10 2 +8*10 1 + 9*10 0
10 = 5*10 2 + 8*10 1 + 9*10 0
= 4*10 5 + 8*10 4 + 5*10 3 + 7*10 2 + 6*10 1 + 3*10 0
= 1*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0
= 7*8 2 + 6*8 1 + 4*8 0
= 7*16 2 + 6*16 1 + 4*16 0
Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Запишите числа в развернутой форме
| 1) | 11110102 | 6) | 111101,0012 | 11) | 1110,112 | 16) | 100011102 |
| 2) | 2174,55 | 7) | 5771,0015 | 12) | 89784515 | 17) | 514763175 |
| 3) | 6479118 | 8) | 1622,848 | 13) | 1114878 | 18) | 113874,3348 |
| 4) | 1214710 | 9) | 512001410 | 14) | 1874,59610 | 19) | 1554,01410 |
| 5) | 1247,032116 | 10) | 15789416 | 15) | 163201,9816 | 20) | 88541216 |
Перевод чисел в десятичную систему счисления
1. Записать число в развернутом виде
2. Выполнить вычисления как в десятичной системе счисления
→ 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 = 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110
→ 3*8 2 + 4*8 1 + 7*8 0 = 3*64 + 4*8 + 7*1 = 192 + 32 + 7 = 23110