Как сделать таблицу для гиперболы

Как в экселе построить гиперболу?

В программе эксель можно построить многие функции, которые проходят в школе на уроках математики. Давайте рассмотрим подробную инструкцию, как в программе эксель построить гиперболу.

Второй этап. В ячейке «В2» пропишем следующую формулу: «=1/A2». После необходимо её скопировать на остальные ячейки, кроме пустой строки. В итоге данные для построения гиперболы готовы.

Третий этап. Выделим область со значением, в т.ч. пустую строку. После на верхней панели зайдем во вкладку «Вставка», где среди возможных графиков, выберем «Точечная». В появившемся меню выберем второй график.

Четвертый этап. График гиперболы готов, но его стоить оформить: подписать оси и функцию.

Пятый этап. Чтобы подписать оси, вам нужно на панели «Вставка», справа отыскать блок «Текст», в котором нажать на иконку с надписью «Надпись». Появившимся курсором, нажимаете на любую область графика, прописываете название оси и потом перетаскиваете в нужное место, чтобы получилось в итоге обе подписи:

Шестой этап. Выделите надпись «Ряд1», нажмите на правую клавишу, чтобы появилось меню, в котором выберете «Выбрать данные», на экране появиться новое меню, в его левой части вы увидите название «Ряд1», выделите его и нажмите на кнопку «Изменить», в появившемся меню можете отредактировать название, после закрывайте все дополнительные таблицы. Сверху может тоже появиться название функции, его можно удалить.

Видео как постоить гиперболу в excele

Источник

Гипербола. График функции и свойства.

теория по математике 📈 функции

Гипербола имеет две ветви и может располагаться в 1 и 3 координатных четвертях, либо во 2 и 4. Это зависит от знака числа k. Рассмотрим данную кривую на рисунке, где показано ее расположение в зависимости от знака k.

График функции симметричен относительно начала координат (0;0). Поэтому функцию еще называют – обратная пропорциональность.

Построение графика функции

Для построения графика функции необходимо подбирать несколько положительных и несколько отрицательных значений переменной х, затем подставлять их в заданную функцию для вычисления значений у. После этого по найденным координатам построить точки и соединить их плавной линией. Рассмотрим построение графиков на примерах.

Для этого построим две таблицы для положительных и отрицательных значений х. Подбирать желательно такие значения х, чтобы число 10 на них делилось

Теперь делим на эти числа 10, получим значения у:

Выполняем построение точек, они будут располагаться в первой и третьей координатных четвертях, так как число k положительное.

Для этого построим также две таблицы для положительных и отрицательных значений х. Подбирать желательно такие значения х, чтобы число минус 5 на них делилось. Выполняем деление и получаем значения у. При делении обращаем внимание на знаки, чтобы не допускать ошибок.

Теперь отмечаем точки во 2 и 4 координатных четвертях (число k отрицательное) и соединяем их для получения ветвей гиперболы.

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) y = x²

Для решения данной задачи необходимо знать вид графиков функций, а именно:

y = x² — парабола, в общем виде это y = ax²+bx+c, но в нашем случае b = c = 0, а а = 1

x/2 — прямая, в общем виде график прямой имеет вид y = ax + b, в нашем случае b = 0, а = 1/2

y = 2/x — гипербола, в общем виде график функции y = a/x + b, в данном примере b = 0, a = 2

Парабола изображена на рисунке А, гипербола на рисунке Б, а прямая — В.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.

Таким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.

Второе правило, которым я пользуюсь, звучит так:

Следовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Способы построения гиперболы самостоятельно

Гипербола в математике — что это такое

Гипербола представляет собой линию, определяемую в некой декартовой прямоугольной системе координат каноническим уравнением:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Ось ординат не имеет общих точек с гиперболой. В состав гиперболы входят две части, которые не связаны между собой. Они носят название ветвей гиперболы. Числа «a» и «b» являются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Ветви гиперболы — это две отдельные кривые, из которых состоит гипербола.

Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы являются вершинами гиперболы.

Большая ось гиперболы — наименьшее расстояние между двумя ее ветвями.

Центр гиперболы — это середина ее большой оси.

Большая полуось гиперболы — расстояние, на которое удалены центр и одна из вершин, обозначается «а».

Фокальное расстояние гиперболы — расстояние, на которое удалены друг от друга центр и один из фокусов, обозначается «с».

Оба фокуса гиперболы расположены на продолжении большой оси и равноудалены от центра гиперболы.

Прямая, включающая в себя большую ось гиперболы, носит название действительной, или поперечной, оси гиперболы.

Прямая в виде перпендикуляра к действительной оси, которая пересекает центр гиперболы — мнимая, или сопряженная ось гиперболы.

Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, который перпендикулярен к действительной оси, — это фокальный параметр.

Прицельный параметр — расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы, обозначается «b».

Перечисленные характеристики гиперболы взаимосвязаны. Справедливы следующие соотношения:

Оси симметрии гиперболы представляют собой оси канонической системы координат, а начало канонической системы является центром симметрии.

Когда требуется исследовать форму гиперболы, следует начать с поиска ее пересечения с произвольной прямой, пересекающей начало координат. Уравнение прямой можно задать в виде:

Такой выбор связан с тем, что прямая \(x=0 \) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек пересечения можно вычислить с помощью уравнения:

Таким образом, при \(b^<2>-a^<2>k^ <2>> 0\) получим:

Полученное равенство позволит рассчитать координаты точек пересечения:

Руководствуясь свойством симметрии, можно проанализировать смещение первой из точек при изменении k, как показано на рисунке.

Прямая \(y=bx/a\) с угловым коэффициентом \(b/a\) не имеет точек пересечения с гиперболой, как и прямые с большими угловыми коэффициентами. Какая-либо прямая, обладающая меньшим положительным угловым коэффициентом, пересекает гиперболу.

К прямой \(y=-bx/a\) относится все, что было сказано о \(y=bx/a\) : она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из вышесказанного следует вывод, что гипербола имеет вид, изображенный на рисунке.

Асимптоты гиперболы являются прямыми, описываемыми уравнениями \(y=bx/a\) и \(y=-bx/a \) в канонической системе координат.

Предположим, что уравнения асимптот имеют вид:

Расстояния от точки \(M(x, y)\) до асимптот составят

В том случае, когда точка M расположена на гиперболе:

Из данного определения можно вывести ключевое свойство, которым обладают асимптоты гиперболы.

В том случае, когда точка совершает движение по гиперболе таким образом, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.

В действительности получим, что хотя бы одно из расстояний \(h_<1>\) или \(h_<2>\) при этих условиях должно неограниченно увеличиваться. Если предположить, что утверждение не справедливо, то произведение не было бы постоянной величиной.

Введем такое число с, что:

Фокусы гиперболы — точки \(F_<1>\) и \(F_<2>\) с координатами \((c, 0)\) и \((-c, 0)\) в канонической системе координат.

Расстояния от произвольной точки \(M(x, y)\) на гиперболе до каждого из фокусов определяются абсциссой \(x\) :

Следует отметить, что равенства \eqref можно представить в более подробной форме:

Директрисы расположены поблизости от центра в отличие от вершин. Из этого можно сделать вывод, что директрисы не имеют точек пересечения с гиперболой. Директриса и фокус, которые расположены по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.

Для того чтобы точка \(M\) была расположена на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы 2a.

С целью доказательства достаточности данного условия его следует записать в виде:

Следующие действия отличаются от доказательства соответствующего утверждения для эллипса только тем, что нужно воспользоваться равенством:

Можно доказать, к примеру, необходимость условия для фокуса \(F_<2>(-c, 0).\) Предположим, что \(M'(x, y)\) является точкой гиперболы. Расстояние от \(M’\) до директрисы с уравнением \(x=-a/\varepsilon\) равно:

Касательная к гиперболе в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\) представляет собой биссектрису угла между отрезками, которые соединяют рассматриваемую точку с фокусами.

Как построить гиперболу самостоятельно

Построение графика гиперболы следует начать с изображения прямоугольной системы координат Декарта. Алгоритм действий:

Гипербола представляет собой график функции, которая задана формулой:

где \(k\) — является каким-то коэффициентом, не равным нулю;

\(x\) — представляет собой независимую переменную.

Принцип построения гиперболы можно рассмотреть на примере, когда функция задана следующей формулой:

Полученные 6 точек с координатами необходимо отложить на системе координат. Далее точки соединяют с помощью кривых линий, как изображено на рисунке. В итоге получилась гипербола.

Построение гиперболы по фокусам

Источник

Что такое гипербола

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие гиперболы

Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:

, где a и b — положительные действительные числа.

Кстати, канонический значит принятый за образец.

В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.

Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.

Вспомним особенности математической гиперболы:

Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:

Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:

Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).

В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.

Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения

на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:

— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);

— определяет нижние дуги гиперболы.

Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:

Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.

Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.

Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.

Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.

Мнимая полуось гиперболы — число b.

В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.

Форма гиперболы

Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.

Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.

Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.

Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.

Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.

Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.

Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).

Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:

Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:

Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:

Запишем это уравнение в координатной форме:

Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:

, т.е. выбранная система координат является канонической.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.

ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.

Директориальное свойство гиперболы звучит так:

Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.

Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие

можно записать в координатной форме так:

Построение гиперболы

Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.

Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.

В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:

Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:

Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.

По определению эксцентриситет гиперболы равен

Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.

Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.

Источник