Какие свойства арифметических действий дают возможность утверждать что данные выражения являются

Ответы к странице 34 №132-137 ГДЗ к учебнику Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Глава 2. Целые выражения
Ответы к параграфу 4. Тождественно равные выражения. Тождества

Задание 132

Какие свойства арифметических действий дают возможность утверждать, что данные выражения являются тождественно равными:
1) ab + cd и cd + ab;
2) (a + 1) + b и a + (1 + b);
3) a * 4b и 4ab;
4) (x + 2)(x + 3) и (3 + x)(2 + x);
5) 7(a − 4) и 7a − 28?

1) ab + cd = cd + ab − переместительное свойство сложения.

2) (a + 1) + b = a + (1 + b) − сочетательное свойство сложения.

3) a * 4b = 4ab − сочетательное свойство умножения.

4) (x + 2)(x + 3) = (3 + x)(2 + x) − переместительные свойства сложения и умножения.

5) 7(a − 4) = 7a − 28 − распределительное свойство умножения.

Задание 133

Является ли тождеством равенство:
1) 2x − 12 = 2(x − 6);
2) a − b = −(b − a);
3) 3m + 9 = 3(m + 9);
4) (a + b) * 1 = a + b;
5) (a + b) * 0 = a + b;
6) (a − a)(b + b) = 0;
7) 3a − a = 3;
8) 4x + 3x = 7x;
9) a − (b + с) = a − b + с;
10) m + (n − k) = m + n − k;
11) 4a − (3a − 5) = a + 5;
12) (a − 5)(a + 3) = (5 − a)(3 + a).

1) 2x − 12 = 2(x − 6)
2x − 12 = 2x − 12
является тождеством

2) a − b = −(b − a)
a − b = −b + a
a − b = a − b
является тождеством

3) 3m + 9 = 3(m + 9)
3m + 9 = 3m + 9
является тождеством

4) (a + b) * 1 = a + b
a + b = a + b
является тождеством

5) (a + b) * 0 = a + b
0 ≠ a + b
не является тождеством

6) (a − a)(b + b) = 0
0 * 2b = 0
0 = 0
является тождеством

7) 3a − a = 3
3a ≠ 3 + a

8) 4x + 3x = 7x
7x = 7x
является тождеством.

9) a − (b + с) = a − b + с
a − b − с ≠ a − b + с
не является тождеством

10) m + (n − k) = m + n − k
m + n − k = m + n − k
является тождеством

11) 4a − (3a − 5) = a + 5
4a − 3a + 5 = a + 5
a + 5 = a + 5
является тождеством

12) (a − 5)(a + 3) = (5 − a)(3 + a)
(a − 5)(a + 3) ≠ (5 − a)(a + 3)
не является тождеством

Задание 134

Является ли тождественно равными выражения:
1) 8(a − b + c) и 8a − 8b + 8c;
2) −2(x − 4) и −2x − 8;
3) (5a − 4) − (2a − 7) и 3a − 11?

1) 8(a − b + c) = 8a − 8b + 8c
8a − 8b + 8c = 8a − 8b + 8c
выражения тождественно равные

2) −2(x − 4) = −2x − 8
−2x + 8 ≠ −2x − 8
выражения не тождественно равные

3) (5a − 4) − (2a − 7) = 3a − 11
5a − 4 − 2a + 7 = 3a − 11
3a + 3 ≠ 3a − 11
выражения не тождественно равные

Задание 135

Сравните значение выражений a$^2$ и |a| при a = −1; 0; 1. Можно ли утверждать, что равенство a$^2$ = |a| является тождеством?

При a = −1
a$^2$ = (−1)$^2$ = 1;
|a| = |−1| = 1, следовательно a$^2$ = |a|.
При a = 0
a$^2$ = 0$^2$ = 0;
|a| = |0| = 0, следовательно a$^2$ = |a|.
При a = 1
a$^2$ = 1$^2$ = 1;
|a| = |1| = 1, следовательно a$^2$ = |a|.
Можно утверждать, что равенство a$^2$ = |a| является тождеством.

Задание 136

Какому из данных выражений тождественно равно выражение −3a + 8b − a − 11b:
1) −4a + 3b;
2) −3a + 3b;
3) −4a − 3b;
4) −3a − 3b.

1) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−4a − 3b ≠ −4a + 3b
не тождественно равно

2) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−3a + 3b ≠ −4a − 3b
не тождественно равно

3) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−4a − 3b = −4a − 3b
выражения тождественно равны

4) −3a + 8b − a − 11b = −4a − 3b
−3a − 3b ≠ −4a − 3b
не тождественно равно

Задание 137

Среди выражений
−10a + 7;
−10a − 7;
−14a + 7;
−14a − 7 найдите выражение, тождественно равное выражению −12a + (7 − 2a).

−12a + (7 − 2a) = −12a + 7 − 2a = −14a + 7
−12a + (7 − 2a) = −14a + 7
Ответ: −14a + 7

Источник

Сочетай, перемещай, свойства действий

Как найти значение выражения используя свойства арифметических действий?

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Пример:
3 + 8 = 8 + 3; 5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Сочетательный закон умножения

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = <[(a·b)•c]•d>…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Источник

Какие свойства арифметических действий дают возможность утверждать, что данные выражения являются тождественно равными: 1) аb + cd и cd + ab;

Ответы

1) переставную свойство добавления;
2) соединительная свойство добавления;
3) переставная и соединительная свойства умножения;
4) переставные свойства сложения и умножения;
5) распределительное свойство умножения относительно вычитания.

Резкая ломка устоявшихся социальных структур, маргинализация части населения

Появление современных СМИ, способных воздействовать на малообразованные слои населения

Наличие всеобщей единственной идеологии при монополии государства на СМИ, отсутствие идейного, духовного плюрализма

Кризис политической власти

Возникновение массовых политических партий, способных организовать массы

Наличие единственной массовой партии, сросшейся с государственным аппаратом, отсутствие плюрализма в политической сфере

Разрушение гражданского общества

Наличие опыта государственного управления, мобилизации и манипулирования массами людей

Государственный контроль над экономикой, отсутствие реального плюрализма в экономической сфере

Деформация политического сознания

Создание сильного репрессивного аппарата

Использование репрессий, террора, подавление оппозиции, монополия на средства вооруженной борьбы

ответ к заданию по физике

Источник

Свойства сложения и вычитания

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Свойства сложения

Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число

Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.

Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.

Сумма — это число, которое получается в результате сложения.

Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:

При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.

Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.

Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.

Свойства вычитания

Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.

Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.

Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.

Вычитаемое — это число, которое вычитают.

Разность — это число, которое получается в результате вычитания.

Примеры использования свойств сложения и вычитания

Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:

Пример 1

Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:

а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15

б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22

в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43

Пример 2

Применить разные свойства при вычислении разности:

Пример 3

Найти значение выражения удобным способом:

а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 10) + (3 + 9) = 21 + 11 = 32

Источник

Преемственность на уроках математики на примере свойств арифметических действий

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

НА ПРИМЕРЕ СВОЙСТВ

МКОУ «Средняя общеобразовательная школа №1 имени А.М. Горького»

«Нельзя относиться к образованию только

как к накоплению знаний.

В современных условиях – это прежде всего

развитие аналитических способностей

и критического мышления у учеников.

Это – умение учиться.

Умение самому воспринимать знание,

успевать за переменами».

Современное общество требует от нас учителей, чтобы выпускник был:

— адаптированным к постоянно изменяющимся социальными и экономическими условиями;

— готов к непрерывному образованию, то есть к непрерывной познавательной деятельности, саморазвитию.

Система образования относится к наиболее важным сферам человека. Знания и навыки, полученные в школе, являются фундаментом для детей, которым в будущем предстоит решать важные, сложные задачи в современном мире. Сегодня важнейшим приоритетом образования в России является качество образования, а условием достижения такого качества является обеспечение непрерывности образования.

Введение утверждённых на государственном уровне стандартов ФГОС существенно способствует обеспечению преемственности и перспективности повышения качества образования.

«Преемственность» трактуется как «связь между различными этапами или ступенями развития, сущность которой состоит в сохранении тех или иных элементов целого или отдельных его характеристик при переходе к новому состоянию».

Непрерывный процесс обучения и воспитания имеет общие и специфические цели для каждого возрастного периода, но при этом переход от одного к другому должен быть последовательным, с постепенным изменением содержания, форм и технологий.

Детство, как нам кажется, с высоты нашего возраста – самый прекрасный период. А оказалось, что переходный период от дошкольного к школьному детству, из четвёртого в пятый класс считается сложным. Многочисленные исследования психологов и педагогов показывают, что наличие знаний само по себе не определяет успешность обучения, гораздо важнее, чтобы ребёнок умел самостоятельно их добывать и применять.

Основанием преемственности разных ступеней образовательной системы может стать формирование умения учиться как ориентация на ключевой стратегический приоритет непрерывного образования. В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, т. е. способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта. В более узком значении термин можно определить как совокупность способов действия учащегося, а также связанных с ними навыков учебной работы, обеспечивающих способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений.

«Арифметика … есть основание всей математики» Л.Н. Толстой.

В пятых и шестых классах заканчивается изучение систематического курса арифметики. Здесь имеется полная возможность уточнить математические понятия, правила и определения, полученные учащимися в младших классах, и дополнить их новыми, применительно к программам пятого и шестого классов. В частности, особое внимание должно быть уделено изучению свойств арифметических действий. Это можно сделать и в порядке повторения и в порядке изучения нового.

Само собой разумеется, что свойства арифметических действий не могут быть строго доказаны в пятом классе, но рассмотреть их на конкретных примерах и сформулировать крайне важно вообще и, в частности для осмысленного изучения алгебры в старших классах. Умение применять эти свойства необходимо при изучении любого раздела алгебры.

Особое внимание надо уделять устным вычислениям, все вычисления, которые могут быть выполнены в уме, должны производиться устно. Устный счёт воспитывает внутреннее внимание, сосредоточенность, последовательное мышление.

Рассмотрим свойства арифметических действий на примерах.

1.Переместительное свойство сложения.

«От перестановки слагаемых значение суммы не меняется».

Задание. Выбери пары выражений, в которых слагаемые переставлены, и найди их значения.

Источник

• ← Какие свойства автомобиля называются эксплуатационными и что они определяют
• Какие свойства действий позволяют не выполняя вычислений утверждать что верно равенство 247 →