Какие свойства преобразования подобия вы знаете докажите что

19.09.202218.09.2022 admin 0 Comments

Преобразование подобия

Содержание:

Гомотетия и ее свойства

Пусть дан многоугольник ABCD (рис. 2.439).

1. Возьмем произвольную точку О.

2. Построим векторы и т. д.

3. Многоугольник будет подобным многоугольнику (рис. 2.439).

В этом построении использовалось требование, при котором точка X переходит в такую точку , что а точка о переходит в себя.

Таким образом, задача построения фигуры, подобной данной фигуре, приводит к новому виду преобразований, которое называют гомотетией.

Определение. Гомотетией с центром O и коэффициентом называют преобразование, при котором каждая точка X переходит в точку , такую, что

Если при гомотетии фигура переходит в фигуру , то эти фигуры называют гомотетичными.

Если k = 1, то каждая точка X перейдет сама в себя.

Если k > 0, то гомотетичные фигуры располагаются по одну сторону от центра гомотетии (рис. 2.440, 2.441).

Если k 0 (рис. 2.440), то точки X и лежат на прямой ОХ по одну сторону от центра гомотетии (так, векторы сонаправлены).

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Презентация по геометрии на тему «Преобразование подобия»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ПОВОРОТ Д В И Ж Е Н И Е

Свойства движения: При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок. Сохраняются расстояния между точками. Сохраняются углы между лучами.

Что такое подобие и где оно встречается? Посмотрите на эту картинку.

Все матрешки имеют одинаковое лицо, костюмы и пропорции. Значит они являются ПОДОБНЫМИ ФИГУРАМИ. Что такое подобные фигуры? Простым языком Это те фигуры, которые имеют разные массы, размеры, но одинаковые формы!

Где встречается подобие? Посмотрите вокруг. Мы живем в мире подобия. В самом Человеке заложен Принцип Подобия, каждый его орган или часть тела подобна всему телу. Даже все люди похожи. У каждого из нас одинаковый набор органов. У каждого два уха, два глаза и тп. Мы живем на планете Земля, наша планета подобна другим планетам. Она такая же круглая как и все планеты во вселенной.

В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.

А для чего нам нужно подобие? Для решения задач. А вы знали, что при помощи зеркала можно найти высоту рядом находящегося предмета. Как измерить высоту дерева с которым мы стоим рядом?

Подобие фигур Преобразование фигуры F в фигуру F’ называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Две фигуры F и F’ называются подобными, если одна из них переводится в другую подобием. F F’ Y Х Y’ Х’ Х Х’ Y Y’ Х’Y’ = k ХY число k называется коэффициентом подобия. В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

О – центр гомотетии ОВ′ = k∙ОВ k – коэффициент гомотетии. О А А′ В В′ С С′

Источник

Какие свойства преобразования подобия вы знаете докажите что

Признака подобия треугольников

Две фигуры `F` и `F’` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F’` подобны, то пишется `F

F’`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC

Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,

`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.

Два треугольника подобны, если:

1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.

Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.

Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.

И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.

Delta COB` по двум углам (рис. 10б):

`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.

3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение

`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.

Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.

Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.

Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.

Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.

Попытайтесь доказать это самостоятельно.

Прямоугольные треугольники подобны, если:

1. они имеют по равному острому углу;

2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;

3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.

Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.

СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС

Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` — его высоты, то `Delta A_1B_1C

Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).

Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).

В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.

Таким образом, `Delta A_1 B_1 C

$$\left.\begin
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos C =b \cos C;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos C =a \cos C,
\end
\right\>\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC,$$

коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.

$$\left.\begin
\Delta AA_1C, \angle A_1 =90^\circ \Rightarrow A_1C=AC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|;\\
\Delta BB_1C, \angle B_1 =90^\circ \Rightarrow B_1C=BC\cdot \cos\varphi =b |\cos C|,
\end
\right\>\Rightarrow \Delta A_1B_1C\sim \Delta ABC$$

с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.

В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).

Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).

Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).

По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.

Аналогично `Delta AB_1C_1

Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.

Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.

Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.

Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.

Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.

Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.

По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x 1`.

Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16

Источник

Презентация по геометрии по теме: «Преобразование подобия. Свойства преобразования подобия.»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Преобразование подобия. Свойства преобразования подобия.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС А В А1 В1 ВЕКТОР ПЕРЕНОСА

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ – симметрия относительно прямой А В А1 В1 a ОСЬ СИММЕТРИИ

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ – симметрия относительно точки А1 А В В1 О ЦЕНТР СИММЕТРИИ

ПОВОРОТ О А В А1 В1 НАПРАВЛЕНИЕ ПОВОРОТА:  ИЛИ    ЦЕНТР ПОВОРОТА УГОЛ ПОВОРОТА  

Все ли представленные здесь преобразования являются движениями?

Преобразование подобия и его простейшие свойства.

Преобразование подобия и его простейшие свойства. Подобие в природе.

Преобразование подобия и его простейшие свойства.

Преобразование фигуры F в фигуру F′ называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и то же число раз. Преобразование подобия и его простейшие свойства. F′ = kF k – коэффициент подобия.

Преобразование подобия и его простейшие свойства. Определите коэффициент подобия. При k = 1 преобразование подобия является движением.

F – данная фигура, О – фиксированная точка Пусть k = 2 Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка Х переходит в точку Х′, построенную указанным способом, называется гомотЕтией относительно центра О. – центр гомотЕтии Фигуры F и F′ называют гомотетичными. (гомотЕтия (греч.) – одинаково расположенный) F F′ O коэффициент гомотЕтии Т ГомотЕтия есть преобразование подобия.

Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми. Преобразование подобия и его простейшие свойства.

Задача. Постройте отрезок (треугольник), гомотетичный данному относительно центра О с коэффициентом к = 1,5 (к = 0,5).

Итог урока. 1. Что такое преобразование подобия? 2. Что такое гомотетия, центр гомотетии, коэффициент гомотетии? 3. Чем является гомотетия? 4. Какие свойства преобразования подобия вам известны?

Домашнее задание: п. 100, 101 – учить, вопросы 1,2,4 стр. 155, ТПО № 2 (б,г), № 4.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДA-042680

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

В школах Тюмени запустят раздельный сбор отходов

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В России утверждены новые аккредитационные показатели для школ и колледжей

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах

Время чтения: 2 минуты

Псковских школьников отправили на дистанционку до 10 декабря

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник