Квантор общности и квантор существования что это

MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)

В алгебре высказываний применяют логические знаки для записи различных утверждений. Однако нам не достаточно этих знаков для выражения мысли типа «Всякий элемент %%x%% из множества %%D%% обладает свойством %%P(x)%%».

Понятие кванторов

Введем новые логические знаки, обозначаемые %%\forall%%, %%\exists%% и %%\exists!%%. Знак %%\forall%% называется квантором всеобщности, знак %%\exists%% — квантором существования, а %%\exists!%% — квантором существования и единственности.

Пусть %%P(x)%% — одноместный предикат, определенный на множестве %%D%%.

Квантор всеобщности

Используя квантор всеобщности, можно составить следующее высказывание

Читается как: «для любого %%x%% выполняется %%P(x)%%»; «для всякого %%x

P(x)%%»; «для всякого %%x%% верно %%P(x)%%» и т.п.

Пусть %%P(x)%% предикат %%x^2 \geq 0%%, определенный на множестве действительных чисел %%D = \mathbb R %%. Тогда высказывание %%\forall x

P(x)%% имеет вид %%\forall x

x^2 \geq 0%%. Это истинное высказывание, так как для любого значения пременной %%x = a \in \mathbb R %% получаем истинное высказывание %%a^2 \geq 0%%. Однако, высказывание %%\forall x

x^2 > 0%% ложно, например, как при %%x = 0%% получаем ложное высказывание %%0 > 0%%.

Квантор существования

Используя квантор существования, можно составить следующее высказывание

Читается как: «существует %%x%% такой, что %%P(x)%%»; «существует %%x%% с условием %%P(x)%%» и т.п.

Квантор существования и единственности

Используя квантор существования и единственности, можно составить следующее высказывание

Читается как: «существует единственный %%x%% такой, что %%P(x)%%»; «существует единственный %%x%% с условием %%P(x)%%» и т.п.

Отрицание «кванторов»

Докажем первое из них. Пусть высказываине %%\overline<\forall x

P(x)>%% истинно. Тогда высказывание %%\forall x

P(x)%% ложно. Поэтому для некоторого %%x = a%% имеем %%P(a)%% ложно. Тогда %%\overline%% истинно. Итак, для некоторого значения %%x = a

\overline%% истинно. Поэтому высказывание %%\exists x

Аналогично доказывается второе утверждение.

Применение одного из кванторов «понижает» степень предиката на единицу. Из двуместного предиката получается одноместный предикат, а из одноместного — предикат %%0%% степени или высказывание.

Правила перестановки кванторов

P(x,y) \equiv \exists y

P(x,y) \equiv \forall y

Однако, разноименные кванторы переставлять местами нельзя. Рассмотрим двуместный предикат %%P(x, y): x + y = 0%%, определенный на множестве %%\mathbb R%%. Тогда высказывание %%\exists x

x + y = 0%% можно прочитать так: «существует %%x%%, которое в сумме с любым %%y%% равно 0». Это ложно высказывание.

Переставим разноименные кванторы местами и получим высказывание %%\forall y

x+ y = 0%%, которое можно прочитать так: «для любого %%y%% существует %%x%% такой, что их сумма равна 0». Это истинное высказывание. В итоге получили различные истинностные значения высказываний.

Для записи одноименных кванторов существуют следующие сокращения:

\forall y \equiv \forall x, y

\exists y \equiv \exists x, y. \end $$

Источник

Статья:: Милтон-модель: использование кванторов в речи

Умение говорить неопределённо – один из важнейших навыков коммуникации. И навык этот нужен при создании и поддержании раппорта, и при конструировании метафор, и при речевой интервенции, а так же в большом количестве других случаев.

Когда мы говорим, человек подбирает опыт, подходящий, по его мнению, под описание. Правда это происходит до тех пор, пока он считает, что у него есть соответствие. Чем более неопределённа речь, тем к большему число ситуаций она подходит. Но при этом слишком неопределённая речь может раздражать собеседника, вызывать у него протест.

— Люди ошибаются.
— Да нет, не все ошибаются!

Что произошло? Вполне общая фраза «люди ошибаются» слушателем была интерпретирована как «все люди ошибаются» и вызвала у него протест. Ну, знаете, реклама, политические лозунги, чтение заголовков газет – и к различным сверхобобщениям начинаешь относиться довольно критически. И если слышишь это в речи собеседника – раппорт рвётся.

Аналогичную реакцию может вызывать не только сверхобобщения, но и просто излишне неконкретная речь:

— Встречаются люди, которые почему-то пренебрегают некоторыми нормами.
— Если кто-то кое-где у нас порой честно жить не хочет.

Соответственно, при построении фраз желательно уметь контролировать уровень неконкретности и не создавать неопределённости сверх необходимого. Те есть говорить с оптимально подходящим уровнем (не)конкретности.

Кванторы

Квантор (от лат. quantum — сколько), логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа «все», «каждый», «некоторый», «существует», «имеется», «любой», «всякий», «единственный», «несколько», «бесконечно много», «конечное число», а также все количественные числительные.

В моделях языка, используемых в НЛП (мета и Милтон- моделях), рассматривается только квантор всеобщности. Я хочу показать, что использование других кванторов, в особенности кванторов существования, может дать дополнительные инструменты и расширить возможности речевого воздействия человека, практикующего НЛП или Эриксоновский гипноз.

Когда мы начинаем говорить о множестве предметов или действий, кванторы необходимы для понимания того, относится ли высказывание ко всему множеству или только к его части. Например, если мы говорим «люди», можно интерпретировать высказывание и как «все люди», и как «некоторые люди». Аналогично с глаголами: «ошибаются» можно интерпретировать и как «во всём ошибаются», и как «хоть в чём-то ошибаются», и как «постоянно ошибаются», и как «иногда ошибаются».

Кванторы всеобщности

Кванторы общности в речи создают определённые ограничения, так как утверждают, что «правило исключений не имеет». В языке они выражаются словами: все, всегда, постоянно, каждый, никто, ничто, никогда и т.п.
— Все выступавшие смеялись.
— Никто не обращал на него внимания.
— Она постоянно удивляется.
— Иван Петрович никогда не опаздывал.
При этом квантор общности может принимать значение как значение «для всех/всего»: всё, все, всегда, вечно, везде; так и значение «ни для кого/чего»: никогда, нигде, никто, ничего.

Кванторы существования

Кванторы существования сообщают что «множество не пустое», что какое-то явление или вещь существует, при этом придавая речи оттенок неопределённости. В речи будут выражаться словами: кое-кто, кое-что, какой-то, несколько, некоторый, иногда, однажды, бывает, случается и т.д.

— У нас что-то произошло.
— У кого-то нет еды.
— Мужчины бывают непоследовательны.
— Иногда Иванов заходил к соседу сверху.

С грамматической точки зрения, кванторы существования могут быть выражены:

местоимением: кто-то, что-то, какой-то, чей-то, кое-кто, кое-что, кое-какой, что-либо;
глаголом: бывает, случается, происходит;
наречием: изредка, иногда;
прилагательным:редкий, возможный, вероятный;
числительным: одни, много, немного, мало, немало, несколько;
причастием:случающийся, происходящий, бывающий.

Как вы видите, кванторов существования в речи намного больше, чем кванторов общности.

Количественные числительные

Количественные числительные просто сообщают о точном размере множества или его части. В неконкретной речи используются мало.

Один, оба, трое, пять, половина, две трети.

Виды неопределённости

Для субъекта (подлежащего) неопределённость касается как «размера доли», которую квантор описывает, так и точности её определения.

— Мужчины думают о семье.
— Некоторые мужчины думают о семье.
— Большинство мужчин думают о семье.
— Какие-то мужчины думают о семье.

Аналогично для объекта (дополнения):

— Мужчины думают о семье.
— Мужчины думают хоть о какой семье.
— Мужчины думают о всей семье.
— Мужчины думают о чьей-то семье.

Для предиката (сказуемого) неопределённость существует практически всегда и касается: продолжительности, частоты использования, места, причины и т.д.

— Мужчины думают о семье.
— Мужчины хотя-бы изредка думают о семье.
— Мужчины постоянно думают о семье.
— Мужчины где-то думают о семье.
— Мужчины зачем-то думают о семье.

Увеличение неопределённости

Посмотрим, как растёт неопределённость при использовании кванторов.

Кванторы всеобщности

Сообщают об отсутствии исключений – либо «всё», либо «ничего». Соответственно, ни о какой неопределённости речи идти не может. И именно это часто вызывает протесты и желание проверить: а действительно ли исключений нет.

— Все сотрудники….
— Ни одна из компаний…

Количественный числительные

Довольно конкретны, но они сообщают, например, о размере части, но не о том, кто или что конкретно в эту часть входит. Так что могут быть варианты.

— Половина сотрудников против.
— Две трети компаний испытывают недостаток наличности.

Кванторы существования

Ещё более неопределённы – неизвестно не только что входит в «дольку», но и точные размеры этой «дольки».

— Некоторые сотрудники…
— Большинство компаний…

К тому же внутри кванторов существования тоже можно провести деление. Например, слова редко, часто, многие, большинство, несколько более конкретны чем изредка, кое-кто, кое-где, случается.

Отсутствие квантора

— Сотрудники против.
— Компании испытывают недостаток в наличности.

Замещение смысловых слов

Кванторы могут замещать смысловые слова:

— Все люди работают.
— Все работают.

— Многие рабочие были против.
— Многие были против.

При этом неопределённость растёт, так как непонятно, к какому конкретно множеству относится квантор. Например последняя фраза, даже в определённом контексте, может обозначать и «многие рабочие», и «многие рабочие и их родственники», и «руководство завода», и «большая часть населения города» и т.д.

Правда здесь неопределённость увеличивается относительно уровня неопределённости, задаваемой самим квантором.

Использование

Размер доли

никто
нигде
ничего
пусто

кое-где кое-кто изредка мало немного меньшинство меньшая часть одна восьмая	бывает случается иногда некоторые половина	часто регулярно большинство большая часть две трети много	все всё всегда вечно постоянно целиком

Аккуратное использование «размером» во многих случаях будет весьма полезным. Например, если вы хотите повысить авторитетность высказывания, желательно сообщить о большой доле:

— Большинство физиков с этим согласно.
— Я постоянно оцениваю ситуацию на рынке.

При этом желательно очень аккуратно залезать в крайности, то есть использовать кванторы всеобщности. Фраза: «все психологи это знают», вместо «большая часть психологов это знает» может быть воспринята «в штыки». Но в то же время, если есть возможность сослаться на «всех», фраза будет звучать более внушительно.

— Все члены руководства хотят изменит ситуацию.
— Мы всегда правильно оформляем бумаги.

В то же время, если вы хотите указать на редкость случая, размер доли желательно уменьшить:

— Изредка приходится пересматривать ситуацию.
— Все мы иногда ошибаемся.
— Никто из нас не хочет тебе плохого.

— Случается, что люди обижаются.
— Некоторые компании пытаются договориться полюбовно.

Создание трюизмов

Кванторы можно эффективно использовать для конструирования трюизмов – (как бы) совершенно истинных утверждений:

— Женщины бывают болтливы.
— Сейчас где-то кто-то что-то ест.
— Иногда очень хочется бросить всё.

При этом нам надо создать выражение, которое бы полностью соответствовало карте Клиента и не создавало бы у него возражений. В большинстве случаев слишком точные выражения, за исключением общеизвестных фактов, не слишком подходят. То есть кванторы всеобщности и количественные числительные годятся только для проверяемых ситуаций.

— Вы все сидите. (Действительно, в помещении никто не стоит).
— На столе два карандаша. (Если их действительно два).

Так что кванторы всеобщности и количественные числительные в трюизмах удобнее всего использовать с кванторами существования.

— Почти половина человечества – мужчины.
— В жизни каждой женщины когда-нибудь наступает момент, когда она готова взорваться.

Так же нужно с осторожностью относиться к отсутствию кванторов, так как наиболее частая интерпретация – это как раз квантор всеобщности. Например, в ответ на фразу: «Женщины обидчивы», можно услышать: «Ну не все же!»

В результате, наиболее часто используемый инструмент – это кванторы существования.

— Редкая птица долетит до середины Днепра.
— В некоторых ситуация разобраться трудно.
— Случается, что люди понимают вас неправильно.

Теперь по поводу использования трюизмов.

Установление и поддержание раппорта.

Если вы говорите о чём-то, полностью соответствующим действительности, вы скорее всего точно попадаете в карту собеседника.

— Большинство компаний в конце концов разоряются.
— Некоторые пишут полную ерунду.
— Иногда бывает трудно с собой справиться.

Создание определённой рамки восприятия.

— Мы хоть иногда задумываемся о вечном.

Эта фраза позволяет сдвинуть фокус внимания на «вечное» и подготавливает к разговору на эту тему. Если Клиент очень переживает из-за своих действий, то речь можно начать с фразы:

— Все люди хоть иногда ошибаются.

Эта фраза предполагает, что даже вполне успешные люди могут ошибаться, и Клиент может быть успешен даже если он сделал что-то «не то».

Для большей уверенности в собственных силах, Клиенту можно сказать:

— Мы можем справиться практически с любой проблемой, если приложим усилия.

На одну и ту же ситуацию можно иметь несколько противоположных, но при этом совершенно истинных, взгляда.

— Женщины бывают крайне раздражительны.
— Встречаются очень уравновешенные женщины.

Так что всё зависит от вашей цели.

Разрушение ограничивающих убеждений

Кванторы всеобщности довольно часто встречаются в ограничивающих убеждениях:

— Меня никто не любит.
— Мужчины постоянно обманывают.
— Всё хорошее когда-нибудь кончается.

Для разрушения такого убеждения нужно каким-то образом повысить неопределённость утверждения, что создаст дополнительные выборы.

Добавление квантора существования.

Например, к кванторам общности можно добавить кванторы существования и получиться «общее правило, но не для всех».

— Всегда существует опасность.
— Всегда где-то для кого-то существует опасность, но даже это не обязательно.
— Всех обманывают.
— Да, ты прав. Всехиногда обманывают.

Обратите внимание, что в последнем варианте квантор всеобщности является субъектом, а квантор существования относится к предикату. Собственно, на этом можно и играть, – так как неопределённость повышается при добавлении квантора существования к любой части сообщения.

Замена квантора всеобщности на квантор существования.

— Люди всегда ошибаются.
— Да, все изредка ошибаются.

Соответственно, если в ограничивающем убеждении отсутствуют кванторы, и, судя по всему, отсутствие трактуется как квантор общности – один из простых способов, это просто добавить квантор существования.

— [Все] мужчины непостоянны.
— На самом деле только некоторые мужчины непостоянны.

Создание замешательства.

Ещё один способ использования кванторов – создание замешательства. Совмещая различные типы кванторов или используя их грамматически или логически не совсем правильно, мы можем создать парадоксальные фразы (речевые парадоксы).

— всё и ничего;
— редко, но постоянно;
— две трети, то есть половина;
— постоянно изредка случается.

— Вы меня ненавидите.
— Некоторые из нас двоих всегда относятся к тебе хорошо.

— Мужчины постоянно обманывают.
— Мужчины обманывают постоянно, но крайне редко.

— Меня никто не любит.
— Большая часть никого о тебе даже не знает.

— Он всегда меня обманывает.
— Случается, что он всегда тебя обманывает?

Источник

Кванторы

Кроме известных нам логических операций для предикатов вводятся две новые: операция навешивания кванторов существования и общности.

Высказывания «для всех х» (для любого х, для каждого х) называется квантором общности и обозначается х.

Высказывание «существует х» (для некоторых х, хотя бы для одного х, найдется такое х) называется квантором существования и обозначается х.

Высказывание «существует одно и только одно х» (для единственного значения х) называется квантором единственности : ! х.

Например: «Все кустарники являются растениями». Это высказывание содержит квантор общности («все»). Высказывание «существуют числа, кратные 5» содержит квантор существования («существуют»).

Для того чтобы получить высказывание из многоместного предиката, надо связать кванторами каждую переменную. Например, если Р(х; у) – двухместный предикат, то (хХ) (уY) Р(х; у) – высказывание.

Если не каждая переменная связывается квантором, то получается не высказывание, а предикат, зависящий от той переменой, которая не связана квантором. Так, если перед предикатом Р(х; у) поставить квантор у, то получим предикат (уY) Р(х; у), зависящий от переменной х.

Выясним, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие предикатами: а) найдется такое х, что х+ у = 2;

b) для любых х и у имеет место равенство х + у = у + х.

Решение: Выявим логическую структуру данных предложений.

а) Предложение «Найдется такое х, что х + у = 2» можно записать в виде (хR) х + у = 2. Так как квантором связана только переменная х, то рассматриваемое предложение с двумя переменными является предикатом.

b) Предложение «для любых х и у имеет место х + у = у + х» можно записать в виде: (хR) (уR) х + у = у + х, где обе переменные являются связанными. Следовательно, данное предложение является высказыванием.

Если какое-либо предметное переменное в формуле не связано квантором, то его называют свободным переменным.

Например: (х) ху=ух. Здесь переменное у не связано каким-либо квантором, поэтому оно свободно. От него не зависит истинность данного высказывания.

Кванторы (х) (х) называются двойственными друг другу.

Одноименные кванторы можно менять местами, что не влияет на истинность высказывания.

Например: (у) (х) х + у = 5. Это утверждение имеет тот же смысл, что и (х) (у) х + у = 5.

Для разноименных кванторов изменение порядка может привести к изменению истинности высказывания.

Например: (х) (у) х Просмотров 40 677 Комментариев 0

Источник