Пусть aa1 и bb1 высоты остроугольного треугольника abc докажите что ca1b1 cab
Пусть aa1 и bb1 высоты остроугольного треугольника abc докажите что ca1b1 cab
Также доступны документы в формате TeX
Решение
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, a r – её радиус.
Как известно, треугольники B1AC1 и CAB подобны.
Пусть X – точка касания вписанной окружности треугольника B1AC1 со стороной AC1 (то есть с прямой AB). При указанном подобии точка TB переходит в X. Поэтому AX : ATB = AB1 : AB, то есть треугольники AB1B и AXTB тоже подобны. Значит, угол AXTB – тоже прямой, поэтому прямая TBX проходит через центр OA вписанной в треугольник B1AC1 окружности. Таким образом, TBOA ⊥ AB, то есть TBOA || ITC.
Аналогично, TCOA || ITB, то есть TBOATCI – параллелограмм. Значит, TBOA = ITC = r. Точно так же и все стороны шестиугольника равны r.
Замечания
1. Для знатоков. Перпендикулярность прямых TBX и AC1 можно доказать по-другому. При подобии треугольников отрезок AC отображается на отрезок AC1 линейно. В силу единственности такого отображения оно совпадает с ортогональной проекцией AC на AC1. Поэтому точка X является проекцией соответственной ей точки TB.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6469 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 2001/2002 |
| Номер | 23 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, основной вариант, 10-11 класс |
| Задача | |
| Номер | 5 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 65 |
| Год | 2002 |
| вариант | |
| Класс | 11 |
| задача | |
| Номер | 5 |
Пусть aa1 и bb1 высоты остроугольного треугольника abc докажите что ca1b1 cab
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Поскольку угол ACB тупой, основания высот A1 и B1 будут лежать на продолжениях сторон BC и AC соответственно. Диагонали четырёхугольника AA1B1B пересекаются, поэтому он выпуклый. Поскольку ∠AA1B = ∠AB1B = 90°, каждый из прямоугольных треугольников AA1B и AB1B вписан в окружность с диаметром AB. Это означает, что все вершины четырёхугольника AA1B1B лежат на одной окружности. Тогда углы ∠AB1A1 и ∠ABA1 равны как вписанные углы, опирающиеся на дугу A1A. Аналогично, ∠BA1B1 = ∠BAB1. Значит, указанные треугольники подобны по двум углам.
Укажем общую теорему.
Основания двух высот треугольника (остроугольного или тупоугольного) и одна из его вершин образуют треугольник, подобный исходному; коэффициент подобия равен модулю косинуса их общего угла.
Аналогичное задание с остроугольным треугольником: 340341.
Приведем решение Романа Решетилова.
Углы ACB и A1CB1 равны как вертикальные, следовательно, треугольники A1CB1 и ACB подобны по отношению двух сторон, заключающих равные углы.
Пусть aa1 и bb1 высоты остроугольного треугольника abc докажите что ca1b1 cab
Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы и 
равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 
Рассмотрим треугольники 
и 
углы 
и 
равны как вертикальные, из предыдущей пропорции 
следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.
Пусть aa1 и bb1 высоты остроугольного треугольника abc докажите что ca1b1 cab
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
б) Найдите BC, если 
и ∠BAC = 60°.
а) Заметим, что высота AA1 треугольника ABC проходит через точку H. В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC1B1 и AHB1 опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB1 = ∠AC1B1.
Углы BC1C и BB1C — прямые, значит, точки B, C, B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,
б) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности 
откуда
В прямоугольном треугольнике BB1A имеем:
В прямоугольном треугольнике CC1A имеем:
Получаем, что 
Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и 
следовательно, они подобны. Тогда 
Значит, BC = 2B1C1 = 24.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Аналоги к заданию № 505425: 505419 505452 511406 Все
Пусть aa1 и bb1 высоты остроугольного треугольника abc докажите что ca1b1 cab
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
б) Найдите BC, если и ∠BAC = 60°.
а) Заметим, что высота AA1 треугольника ABC проходит через точку H. В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы AC1B1 и AHB1 опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB1 = ∠AC1B1.
Углы BC1C и BB1C — прямые, значит, точки B, C, B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,
б) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности откуда
В прямоугольном треугольнике BB1A имеем:
В прямоугольном треугольнике CC1A имеем:
Получаем, что Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и следовательно, они подобны. Тогда Значит, BC = 2B1C1 = 24.
Аналоги к заданию № 505425: 505419 505452 511406 Все