Пусть abcd параллелограмм а o произвольная точка пространства докажите что
Пусть abcd параллелограмм а o произвольная точка пространства докажите что
В параллелограмме ABCD расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон AD, AB и BC, вторая — сторон AD, CD и BC.
а) Докажите, что общая внутренняя касательная l окружностей проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
а) Пусть O — точка пересечения диагонали AC параллелограмма с общей внутренней касательной l к данным окружностям, P и Q — точки пересечения прямой l со сторонами AD и BC соответственно. Достаточно доказать, что O — середина диагонали AC.
Пусть O1 и O2 — центры первой и второй окружностей соответственно. Первая окружность касается стороны AD в точке K, вторая окружность касается стороны BC в точке L.
Лучи AO1 и CO2 — биссектрисы равных углов BAD и BCD, значит, прямоугольные треугольники AKO1 и CLO2 равны по катету (радиусы равных окружностей) и противолежащему острому углу. Тогда AK = CL. Аналогично KP = LQ. Следовательно,
Значит, треугольники AOP и COQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому AO = OC, а точка O — середина диагонали AC, то есть центр параллелограмма ABCD.
б) Поскольку ABCD — прямоугольник, его сторона AD равна сумме диаметра окружности и отрезка O1O2, то есть 2r + O1O2 = AD, 2r + 10 = 16, следовательно, r = 3.
Четырёхугольник O1MO2N — параллелограмм, так как его противоположные стороны O1M и O2N равны и параллельны. Диагонали O1O2 и MN параллелограмма O1MO2N пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.
Площадь параллелограмма O1MO2N в четыре раза больше площади треугольника OO1M, в котором 
По теореме Пифагора
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
|