Разделы математики и что они изучают

Разделы математики

Существует три официальных способа подразделения математики.

Содержание

Математика как специальность

Математика как специальность научных работников министерства науки и технологий Российской Федерации [1] подразделяется на научные специальности

Математика как учебная дисциплина

Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе, и образованную дисциплинами:

и высшую математику, изучаемую в ВУЗе. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности. Программа обучения по специальности математика [2] образована следующими учебными дисциплинами:

Знаком (ф) отмечены дисциплины, которые изучаются при обучении по специальности «физика».

Систематизация научных работ

Для систематизации научных работ используется Универсальная десятичная классификация 51.

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Разделы математики» в других словарях:

МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ — Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… … Энциклопедия Кольера

История математики — История науки … Википедия

История математики в России — Данная статья часть обзора История математики. Содержание 1 Древность и средневековье 2 XVII век 3 … Википедия

Философия математики — учение о сущности математического знания и о базовых принципах математических доказательств, раздел философии науки; её можно также назвать «метаматематикой». Содержание 1 Возможность оснований математики 2 Литература … Википедия

История математики в Индии — Данная статья часть обзора История математики. Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний.… … Википедия

Институт математики и механики (НИИММ СПбГУ) — Научно исследовательский институт математики и механики имени академика В. И. Смирнова (НИИММ СПбГУ) структурное подразделение Санкт Петербургского государственного университета. Выполняет организационную роль, является материальной базой для… … Википедия

Математика — Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля Математика (от др. греч … Википедия

Дискретная математика — Дискретная математика область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, которые возникают как в пределах самой математики, так и в её приложениях. К числу таких структур могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а… … Википедия

Математический анализ — У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Математический анализ совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей… … Википедия

МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ — способ построения теории, при к ром в ее основу кладутся нек рые ее положения – аксиомы или постулаты, – из к рых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых д о к а з а т е л ь с т в а м и. Правила, по к рым… … Философская энциклопедия

Источник

Математика

Содержание

Основные сведения

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ниже).

Этимология

В текстах на русском языке слово «математика» или «мафематика» встречается по крайней мере с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год) [5]

Определения

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт [6] :

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Это определение Энгельса [8] ; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,— именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Приведём ещё несколько современных определений.

Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.

Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Программа обучения по специальности математика [13] образована следующими учебными дисциплинами:

2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации [14] подразделяется на специальности:

3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика» [15] универсальной десятичной классификации (УДК).

4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это MSC 2010. Предыдущая версия — MSC 2000.

Обозначения

Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.

Краткая история

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Философия математики

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство , при 3″ border=»0″ /> является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях». [16]

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Основания

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

Теоретико-множественный подход

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

Формализм

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.

Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).

Конструктивная математика

Основные темы

Числа

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

Натуральные числа Целые числа Рациональные числа Вещественные числа
Комплексные числа	Кватернионы

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион

Преобразования

Арифметика	Дифференциальное и интегральное исчисление	Векторный анализ	Анализ
Дифференциальные уравнения	Динамические системы	Теория хаоса

Структуры

Пространственные отношения

Более наглядные подходы в математике.

Дискретная математика

Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.

Математическая логика	Теория вычислимости	Криптография	Теория графов

Коды в системах классификации знаний

Онлайновые сервисы

Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные. [20] Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.

Источник

Разделы математики

Математику можно разделить на шесть разделов: арифметика, геометрия, теория чисел, прикладная математика, математическая философия и функциональный анализ.

Приводимая здесь классификация не является исчерпывающей и единственно верной.

По схеме изучения может быть другой порядок – это что касается основных разделов по математике

Арифметика

Действия с разными количествами при помощи операций с числами: сложение, вычитание, умножение, деление и т. д.

Раздел Арифметики лежит в основе математики, входит как базовый инструмент во все ее разделы.

Геометрия

ТОПОЛОГИЯ
Раздел геометрии, изучающий лишь связи между элементами одного объекта; длины и углы смогут свободно изменяться — это не влияет на основные свойства объекта.

ТРИГОНОМЕТРИЯ
Дисциплина, изучающая отношения между длинами сторон треугольника и его внутренними углами, как на плоскости, так и на выпуклых и вогнутых поверхностях.

ФРАКТАЛЫ
Используя геометрию и топологию к объектам настоящего мира, мы обнаруживаем «неровные» поверхности, и объекты, владеющие свойством самоподобия, — считается, что эти объекты и поверхности обладают дробной метрической размерностью.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Применение геометрических способов для изучения динамических систем либо способы счисления, используемые в комплексной геометрии.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Применение алгебраических выражений для описания граней и поверхностей фигур и объектов.

Теория чисел

АЛГЕБРА
Изучение взаимоотношений между числами за счет замены их числовых переменных значений неспециализированными знаками, среди которых значительно чаще встречаются x и y.

ТЕОРИЯ ГРУПП
Изучение свойств алгебраических структур — групп чисел, образованных в следствии одних и тех же математических операций над членами одного множества. Подобно числам, такие группы довольно часто складываются из более несложных групп.

ТЕОРИЯ ПОРЯДКА
Изучение неспециализированных правил, определяющих, из-за чего числа, количества либо другие математические элементы бывают «больше», «меньше», «раньше» либо «позднее» друг друга.

Функциональный анализ

СЧИСЛЕНИЕ
Раздел математики, передающий постоянные трансформации — от движения объектов материального мира до трансформации кривизны полностью условных алгебраических кривых — и разбивающий эти траектории на небольшие текущие отрезки.

ТЕОРИЯ ХАОСА
Объясняет, из-за чего и как именно развитие динамических систем может настолько сильно разниться даже в случае небольших трансформаций изначально заданных условий; описывает, из-за чего одна маленькая деталь может привести к огромным изменениям.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Данный раздел имеет дело с математическими выражениями, содержащими функции и производные от них. Функция — это конкретная операция, совершаемая над переменной исходной величиной; производная — мгновенный частный результат действия функции.

Математическая философия

ЛОГИКА
Изучает, из-за чего выражения вроде 1+1 = 2 являются истиной, и другие вопросы, образующие фундаментальные базы математики.

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Изучение и сравнение численных множеств, их связей и пересечений, и вопроса, являются ли они бесконечными.

Прикладная математика

ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ
Измерение и оценка единиц информации либо объемов данных, таких как те, что сохраняются в компьютерах и передаются от одного к другому.

ДИНАМИКА ЖИДКИХ СРЕД
Моделирует движение жидкостей и газов на базе подсчитываемых свойств этих сред — скорости, вязкости, давления и т. д.

ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Изучение связей между линиями, формами и другими объектами.

КРИПТОГРАФИЯ
Математика кодов и шифров — от двоичных чисел, используемых в программировании, до зашифрованных посланий, которыми обмениваются компьютеры.

ТЕОРИЯ ИГР
Математические способы оценки стратегий, направленных на решение задач в материальном мире: минимизацию утрат и максимизацию выигрыша на базе возможностей, и моделей поведения оппонентов и партнеров.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Математика шанса, вычисляющая возможность того, что некое событие случится, исходя из исходных условий и вероятных финалов.

СТАТИСТИКА
Разрешает извлечь полезные данные из математических выборок из реальной количественной информации о материальном мире.

Источник